东南大学数值分析上机报告完整版.docx

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1、数值分析上机实验报告目录1.chapter1舍入误差及有效数12.chapter2Newton迭代法33.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法74.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法95.chapter4多项式插值与函数最佳逼近101.chapter1舍入误差及有效数1.1题目设SN=j=2N1j2-1，其精确值为。（1）编制按从大到小的顺序，计算SN的通用程序。（2）编制按从小到大的顺序，计算SN的通用程序。（3）按两种顺序分别计算,并指出有效位数。（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2编写相应的matlab程序cle

2、ar;N=input(please input N:);AValue=(3/2-1/N-1/(N+1)/2);sn1=single(0);sn2=single(0);for i=2:N sn1=sn1+1/(i*i-1); %从大到小相加的通用程序%endep1=abs(sn1-AValue);for j=N:-1:2 sn2=sn2+1/(j*j-1); %从小到大相加的通用程序%endep2=abs(sn2-AValue);fprintf(精确值为:%fn,AValue);fprintf(从大到小的顺序累加得sn=%fn,sn1); fprintf(从大到小相加的误差ep1=%fn,ep1

3、);fprintf(从小到大的顺序累加得sn=%fn,sn2); fprintf(从小到大相加的误差ep2=%fn,ep2);disp(=);1.3matlab运行程序结果 chaper1please input N:100精确值为:0.740050从大到小的顺序累加得sn=0.740049从大到小相加的误差ep1=0.000001从小到大的顺序累加得sn=0.740050从小到大相加的误差ep2=0.000000 chaper1please input N:10000精确值为:0.749900从大到小的顺序累加得sn=0.749852从大到小相加的误差ep1=0.000048从小到大的顺序累

4、加得sn=0.749900从小到大相加的误差ep2=0.000000 chaper1please input N:1000000精确值为:0.749999从大到小的顺序累加得sn=0.749852从大到小相加的误差ep1=0.000147从小到大的顺序累加得sn=0.749999从小到大相加的误差ep2=0.0000001.4结果分析以及感悟按照从大到小顺序相加的有效位数为：5,4,3。按照从小到大顺序相加的和的有效位数为：6,6,6。从程序的输出误差结果可以看出，按照不同的顺序相加造成的误差限是不同的，按照从大到小相加的顺序就是一个病态问题，而按照从小到大顺序相加的误差很小，并且在从大到小顺

5、序相加的误差随着n的增大而增大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。2.chapter2Newton迭代法2.1题目（1）给定初值及容许误差，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。（2）给定方程,易知其有三个根由牛顿方法的局部收敛性可知存在当时，Newton迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的。试取若干初始值，观察当时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2编写相应的matlab程序2.2.1定义f(x)函数function F=fu(x)F=x3/3-x;end2.2.2定义f(x)的导函数function F=dfu(x)F=x

6、*x-1;end2.2.3求根的通用程序clear;x0=input(请输入初始值x0:);ep=input(请输入容许误差：);flag=1;while flag=1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0; end x0=x1;endfprintf(方程的一个近似解为:%fn,x0);2.2.4求sigma的通用程序clear;eps=input(请输入搜索精度:);ep=input(请输入容许误差:);flag=1;k=0;x0=0;while flag=1; sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; fla

7、g1=1; while flag1=1&m=103 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)=ep flag=0; endendfprintf(最大的sigma值为：%fn,sigma);2.3运行结果2.3.1寻找最大的sigma值主要是在0的基础上，不断的增加步长，带入Newton公式，验证该值是否收敛于0，不断的循环，最后得到最小的不收敛于0的sigma值，此时也为最大满足收敛于0的最大的sigma值。改变不同的步长，分别得到不同的sigma值，取其中的最小值，即为满足条件的最大的sigma值。程序相应的运行结果如下： chapter2_2请输入搜索精度:1

8、0-6请输入容许误差:10-6最大的sigma值为：0.774597 chapter2_2请输入搜索精度:10-4请输入容许误差:10-6最大的sigma值为：0.774600 chapter2_2请输入搜索精度:10-2请输入容许误差:10-6最大的sigma值为：0.7800002.3.2运行chapter2_1程序（1）当初值x0属于（-，-1）内时，程序运行结果如下， chaper2_1请输入初始值x0:-10000请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:-100请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051

9、chaper2_1请输入初始值x0:-10请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:-1.1请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051可以得出不论取何值，Newton迭代式收敛，方程的近似解都收敛于-3。（2）当初值x0属于-1，-内时，程序运行结果如下， chaper2_1请输入初始值x0:-0.9请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:-0.85请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:-0.7745

10、98请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051可以得出不论取何值，在此区间上Newton迭代式不收敛。（3）当初值x0属于（-，）内时，程序运行结果如下， chaper2_1请输入初始值x0:-0.76请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:-0.5请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:-0.1请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:-0.01请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-0.00000

11、0 chaper2_1请输入初始值x0:0.01请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:0.1请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:0.5请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000 chaper2_1请输入初始值x0:0.76请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:0.000000可以得出在此区间内，不论取何值，Newton迭代式收敛，方程的近似解都收敛于0。（4）当初值x0属于（，1）内时，运行程序结果如下， chaper2_1请输入初始值x0:0.77

12、4598请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:0.8请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:0.9请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:0.95请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:-1.732051可以得出不论取何值，在此区间上Newton迭代式不收敛。（5）当初值x0属于区间1，+内时，运行程序结果如下， chaper2_1请输入初始值x0:1.1请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.7320

13、51 chaper2_1请输入初始值x0:10请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:100请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051 chaper2_1请输入初始值x0:10000请输入容许误差：10-6方程的一个近似解为:1.732051可以得出，不管x0取何值，Newton迭代式都收敛，且收敛于根3。3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法3.1题目对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元高斯消去法的通用程序；（2）用所编程序解线性方

14、程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；（3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？3.2程序编写：%通用Gauss列主元消去法n=input(输入线性方程组阶数: n=);b=zeros(1,n);A=input(输入系数矩阵：A=n);b(1,:)=input(输入线性方程组右端向量：b=n);b=b; C=A,b;for i=1:n-1 maximum,index=max(abs(C(i:n,i); %求取C矩阵列主元以及其所在列中位置 index=index+i-1; T=C(index,:); C(index,:)=C(i,:); C(i,:)=T; for k=i+1:n i

15、f C(k,i)=0 C(k,:)=C(k,:)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:); end endend%回代求解x=zeros(n,1);x(n)=C(n,n+1)/C(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/C(i,i);enddisp(该方程组的解为:);fprintf(%.5gn,x);3.3运行结果输入线性方程组阶数: n=9输入系数矩阵：A=31 -13 0 0 0 -10 0 0 0;-13 35 -9 0 -11 0 0 0 0;0 -9 31 -10 0 0 0 0 0;0 0 -10 79

16、-30 0 0 0 -9;0 0 0 -30 57 -7 0 -5 0;0 0 0 0 -7 47 -30 0 0;0 0 0 0 0 -30 41 0 0;0 0 0 0 -5 0 0 27 -2;0 0 0 -9 0 0 0 -2 29输入线性方程组右端向量：b=-15 27 -23 0 -20 12 -7 7 10该方程组的解为:-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.290233.4结果分析 从程序运行结果可得，该线性方程组的解向量为：-0.28923 0.34544 -0.71281 -0.2206

17、1 -0.4304 0.15431 -0.057823 0.20105 0.29023。通过该道题程序的编写，我加深了对Gauss列主元消去法的理解，也增强了MATLAB对矩阵、数组处理的能力。4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法4.1题目(1)编制解n阶线性方程组Ax=b的SOR方法的通用程序（要求）；(2)对于35题中所给的线性方程组，取松弛因子，容许误差，打印松弛因子、迭代次数、最佳松弛因子及解向量。4.2程序编写R=zeros(9,9);R(1,1)=31/2;R(1,2)=-13;R(1,6)=-10;R(2,2)=35/2;R(2,3)=-9;R(2,5)=

18、-11;R(3,3)=31/2;R(3,4)=-10;R(4,4)=79/2;R(4,5)=-30;R(4,9)=-9;R(5,5)=57/2;R(5,6)=-7;R(5,8)=-5;R(6,6)=47/2;R(6,7)=-30;R(7,7)=41/2;R(8,8)=27/2;R(8,9)=-2;R(9,9)=29/2;R=R+R;R(6,1)=0;R(5,2)=0;V=-15;27;-23;0;-20;12;-7;7;10;eps1=0.5e-5;detaeps=ones(99,1);k=zeros(99,1);deta=zeros(9,1);x=zeros(9,1);x1=ones(9,9

19、9);x0=ones(9,99);for i=1:99 w=i/50; while(detaeps(i)eps1) for j=1:9 sum=0; for t=1:j-1 sum=sum+R(j,t)*x1(t,i); end for t=j+1:9 sum=sum+R(j,t)*x1(t,i); end x1(j,i)=(1-w)*x0(j,i)+w*(V(j)-sum)/R(j,j); end k(i)=k(i)+1; for j=1:9 deta(j)=abs(x1(j,i)-x0(j,i); end detaeps(i)=max(deta); x0=x1; endendp=min(k

20、);for i=1:9 x(i)=x0(i,p);enddisp(p);disp(x);4.3运行结果 最少迭代次数p=10;最佳迭代因子w=0.2；解析向量x=-0.2892 0.3455 -0.7128 -0.2206 -0.4304 0.1544 -0.057 0.2011 0.2902。4.4结果分析通过此次的编程，对比不同的迭代因子，迭代因此不同，收敛速度也不相同，再次加强对于SOR的理解，提高MATLAB的编程能力。5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近5.1题目（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序; （2） 已知汽车曲线型值点的数据如下：0123456789102.

21、513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端点条件为=0.8，=0.2。用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,9)。5.2程序编写clc;clear;x=0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;y=2.51;3.3;4.04;4.7;5.22;5.54;5.78;5.4;5.57;5.7;5.8;dy=0.8;0.2;h=zeros(8,1);u=zeros(9,1);nameda=zeros(9,1);d=zeros(11,1);mm=zeros(11,1);m=zeros(11,11);k=0;f

22、or i=1:10 h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:9 u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1); nameda(i)=1-u(i);endd(1)=6*(y(2)-y(1)/h(1)-dy(1)/h(1);d(11)=6*(-(y(11)-y(10)/h(10)+dy(2)/h(10);for i=2:10 d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(x(i+1)-x(i-1);endfor i=2:10 m(i,i-1)=u(i-1); m(i,i)=2; m(i,i+1)=nameda(i-1);endm(1,1

23、)=2;m(1,2)=1;m(11,10)=1;m(11,11)=2;mm=inv(m)*d;fx=zeros(1,10);for j=1:10t=input(请输入0到10之间的一个整数:);t=t+0.5;i=fix(t);fx(j)=y(i+1)+(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-h(i+1)*(1/3*mm(i+1)+1/6*mm(i+2)*(t-x(i+1)+0.5*mm(i+1)*(t-x(i+1)2+1/(6*h(i+1)*(mm(i+2)-mm(i+1)*(t-x(i+1)3;disp(fx);endsx=zeros(901,1);for j=0:0.01:9 i=f

24、ix(j); k=k+1; sx(k)=y(i+1)+(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-h(i+1)*(1/3*mm(i+1)+1/6*mm(i+2)*(j-x(i+1)+0.5*mm(i+1)*(j-x(i+1)2+1/(6*h(i+1)*(mm(i+2)-mm(i+1)*(j-x(i+1)3;end5.3运行结果(1)i分别取0到9之间的整数时，函数输出结果i01234S(i+0.5)2.90863.67844.38154.98825.3833i56789S(i+0.5)5.72375.59445.42995.65985.7323(2)y-x曲线以及拟合曲线y-x曲线拟合曲线5.4结果分析 从以上的两个曲线可以看出，拟合曲线与y-x的曲线基本一致，三次样条函数较好的拟合原函数，通过本次的编程，提高了我对三次样条函数的认识，加深我对三次样条函数的理解。