知识讲解解三角形应用举例提高.docx

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1、解三角形应用举例【学习目标】1.能够利用正弦定理, 余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2.提高运用所学学问解决实际问题的实力，并初步驾驭数学建模的思想方法；3.驾驭运用正弦定理, 余弦定理解决几何计算问题的方法.【学习策略】解斜三角形的学问主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.【要点梳理】要点一, 解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用特殊广泛，如测量, 航海, 几何, 物理等方面都要用到解三角形的学问，解题时应细致分析题意，并做到算法简练，算式工整，计

2、算正确.其解题的一般步骤是：(1)精确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确和所求，理清量与量之间的关系；(2)依据题意画出示意图，并将条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所探讨的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有依次的求解；(4)将三角形的解复原为实际问题，留意实际问题中的单位及近似计算要求，答复实际问题.要点二, 解三角形应用题的根本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三, 实际问题中的一些名词, 术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时

3、叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如下图：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0360。如图，点的方位角是。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向指以正南方向为始边，向正西方向旋转；如图为北偏东方向指从正北开场向正东方向旋转. 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方

4、向, 西北方向等；要点四, 解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离，在测量过程中，要依据实际须要选取适宜的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底顶部不能到达的物体的高度.测量过程中，要留意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“依据须要，对某些物体定位.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1如图，某公司要在A, B两地连线上的定点C处建立广告牌，其中D为顶端，长35米，长80米，设点A, B在

5、同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和(1)设计中是铅垂方向，假设要求2，问的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12，18.45，求的长(结果精确到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【思路点拨】(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告知了边, 的长以及以A, C为顶点的两个角，依据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到的长度。2依据三角形的内角和定理和正弦定理，解得的长。【解析】(1)设的长为x米，那么，2，即，解得0，即的长至多为28.28米(2)设a，b，m，那么180123.4

6、3，由正弦定理得，即，答：的长为26.93米【总结升华】1. 此题虽为解三角形问题的简洁应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应留意解除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目精确地提炼出来.2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：1量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。2量与未知量涉及两个或几个三角形，这时须要选择条件足够的三角形优先探讨，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。3. 在探讨三角形时，灵敏依据两个定理可以找寻到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最正确的计算方式

7、。举一反三：【变式1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角60，C点的仰角45以及75；从C点测得60山高100m，那么山高m【答案】中，45，90，100，100中，75，60，45，由正弦定理可得，即 ，解得100中，10060150(m)，故答案为：150【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D, E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得400m，600m， 60，又测得A, B两点到隧道口的距离80m，40m(A, D, E, B在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，400m，600m， 60，由余弦定理得 答：隧道长约为409.2

8、m.【变式3】2021春 邢台校级期中张晓华同学骑电动自行车以24 h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，那么电动车在点B时与电视塔S的距离是 A B C D【答案】如图，由可得，在中，30，6，18075=105，45由正弦定理可得应选B 类型二：测量高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，假设沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.【思路点拨】画出空间图形后，先找寻可解的三角形，进而解目标所在三角形。【解析】由上图所示

9、，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，米故所求塔高为米【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要留意它们的区分与联系.举一反三：【变式1】2021 绵阳校级模拟如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15, 山脚C处的俯角为45，60，那么山的高度为。 【答案】在中，45，90，200，60，18075，15+45=60，18045。在中，由正弦定理得，即解得。，。故答案为：300。【变式2】在某点B处测得建筑物的顶端A的仰角为，沿

10、方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再接着前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物的高。【答案】所求角，建筑物高度为15m。类型三：方位角问题例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北的方向上,行驶后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,求此山的高度.【思路点拨】欲求出，只需在中求出或，而在中先求边比拟适合；或设,列方程解答.【解析】方法一：在中, ，,依据正弦定理： = ,有， .方法二：设，那么，依据正弦定理： = ,有，解得，即.【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.举一反三：【变式1】两灯塔A,

11、 B与海洋视察站C的距离都等于a ,灯塔A在视察站C的北偏西30，灯塔B在视察站C南偏西60，那么A, B之间的距离为 ；【答案】；如图，。【变式2】如图示，两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于，灯塔A在视察站C的北偏东20，灯塔B在视察站C的南偏东40，那么灯塔A与灯塔B的距离为( )A. B. C. D.【答案】B 类型四：航海问题【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】例4如下图，在海岸A处，发觉北偏东45方向，距A为()的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A为2 的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时走私船正以10的速度从B处向北偏东30方向逃跑，那么缉私船沿

12、什么方向能最快追上走私船并求出所须要的时间.【思路点拨】这里必需弄清楚三个概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出的方位角及由C到D所需航行的时间.【解析】设缉私船追上走私船需，那么，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，精确的画出图形.举一反三：【变式1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，

13、位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立刻前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点须要多长时间？【答案】由题意知5(3)海里，906030，904545，180(4530)105，在中，由正弦定理得10 (海里)又30(9060)6020海里在中，由余弦定理得22223001 2002102090030(海里)，那么须要的时间t1(小时)答：救援船到达D点须要1小时【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式2】如下图，海中小岛A的四周38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，假如此船不变更航向，接着向南航行，有无触礁紧急？【答案】船接着向南航行，有无触礁的紧急，取决于A到直线的距离与38海里的大小.于是，只要先算出(或)，再算出A到所在直线的距离，将它与38海里比拟即得问题的解.在中，由正弦定理知：，于是A到所在直线的距离为(海里)它大于38海里，所以接着向南航行无触礁紧急.