六年奥数综合练习题十二答案比和比例关系.docx

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1、六年奥数综合练习题十二答案比和比例关系比和比例，是小学数学中的最终一个内容，也是学习更多数学学问的重要根底.有了“比这个概念和表达方式，处理倍数, 分数等问题，要便利灵敏得多.我们渴望，小学同学学完这一讲，对“除法, 分数, 比例实质上是一回事，但各有用处有所理解.这一讲分三个内容：一, 比和比的支配；二, 倍数的变更；三, 有比例关系的其他问题.一, 比和比的支配最根本的比例问题是求比或比值.从一些比或者其他数量关系，求出新的比.例12，乙的长及宽之比是75.求甲及乙的面积之比.解：设甲的周长是2. 甲及乙的面积之比是答：甲及乙的面积之比是864875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2

2、 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲, 乙两局部，它们的面积之比是107.求上底AB及下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE及三角形CEA面积相等.三角形ADC及三角形ABC高相等，它们的底边的比ABCD=三角形ABC的面积三角形ADC的面积=10-772= 314.答：ABCD=314.两数之比，可以看作一个分数，处理时及分数计算几乎一样.三数之比，却及分数不一样，因此是这一节讲解并描述的重点.例3 大, 中, 小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.假如记号表示2大杯, 3中杯, 4小杯容量之和，求及之比.解：大杯及中杯容量之比是52=

3、104，中杯及小杯容量之比是43，大杯, 中杯及小杯容量之比是1043.=102+43+34105+44+33=4475.答：两者容量之比是4475.把52及43这两个比合在一起，成为三样东西之比1043，称为连比.例3中已告知你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3757=2135，74=7545=3520，甲乙丙=213520.花了多少钱？解：依据比例及乘法的关系，连比后是甲乙丙=21631632=324863.答：甲, 乙, 丙三人共花了429元.例5 有甲, 乙, 丙三枚长短不一样的钉子，甲及乙，而它们留在墙外的局部一样长.问：甲, 乙, 丙的长度之比是多少

4、？解：设甲的长度是6份.x=54.乙及丙的长度之比是而甲及乙的长度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲, 乙, 丙的长度之比是302526.于利用条件65，使大局部计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲, 乙, 丙三种糖果每千克价分别是22元, 30元, 33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很简洁列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子及分母，就有：

5、事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立刻可求出，所买数量之比是甲乙丙=151110.平均数是15+11+103=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的支配问题，当一个数量被分成假设干个数量，假如知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子及分母之和是100.假如分子加23，分母加32，解：新的分数，分子及分母之和是10+23+32，而分子及分母之比2例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲, 乙, 丙应各加工多少个？

6、所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应依据工作效率之比，按比例支配工作量.三人工作效率之比是他们分别须要完成的工作量是所需时间是7003=2100分钟=35小时 .答：甲, 乙, 丙分别完成700个，600个，525个零件，须要35小时.这是三个数量按比例支配的典型例题.例9 某团体有100名会员，男会员及女会员的人数之比是1411，会员分成三个组，甲组人数及乙, 丙两组人数之和一样多.各组男会员及女会员人数之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是1002=50人.乙, 丙两组男会员人数是 56-24=32

7、人.答：丙组有12名男会员.上面解题的最终一段，实质上及“鸡兔同笼解法一样，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡, 平路, 下坡三段，各段路程长之比依次是1256.他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路及下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡, 平路, 下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.23计算中用了两次，似乎重复计算，最终算式也颇费事.事实上，灵敏运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的1+2+3=6倍.假如上坡用的时二, 比的变更两个数量的比，当这两个数量发生增减变更后，当然比

8、也发生变更.通过变更的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲, 乙两同学的分数比是54.假如甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么他们的分数比是57.甲, 乙原来各得多少分？解一：甲, 乙两人的分数之和没有变更.原来要分成5+4=9份，变更后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9及12的最小公倍数是36，我们让变更前后都按36份来算.54=5444=2016.57=5373=1521.520=90分，516=72分.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节全部问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那

9、么乙的得分是4x.依据得分变更，可列出比例式.5x-22.54x+22.5=57即 54x+22.5=75x-22.515x=12x=18.甲原先得分185=90分，乙得184=72分.解：其他球的数量没有变更.增加8个红球后，红球及其他球数量之比是514-5=59.在没有球增加时，红球及其他球数量之比是13-1=19.因此8个红球是5-4.5=0.5份.现在总球数是答：现在共有球224个.9，就是充分利用这一特点.此题也可以列出如下方程求解：x+82x=59.例13 张家及李家的收入钱数之比是85，开支的钱数之比是83，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们接

10、受“假设方法求解.假如他们开支的钱数之比也是85，那么结余的钱数之比也应是8240x=85，x=150元.5中5份及83中3份的差，每份是1205-3=60.元.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍及李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是8份-2403.李家开支的8倍是5份-2708.从图上可以看出58-83=16份，相当于2708-2403=1440元.因此每份是144016=90元.张家收入是908=720元，李家收入是905=450元.此题也可以列出比例式：8x-2405x-270=83.然后求出

11、x.事实上，解方程求x的计算，及解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是85，每一数都削减34后，A是B的2倍，求这两个数.解：削减一样的数34，因此未减时，及减了以后，A及B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.85，就是8份及5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是21，两者相差1.将前项及后项都乘以3，即21=63，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2份或5-3=2份.因此，每份是342=17.A数是178=136，B数是175=85.答：A，B两数分别是136及85.此题也可以用例13解一“假设方法求解，不过要

12、把削减后的21，改写成84.例15 小明和小强原有的图画纸之比是43，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是52.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变更后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-14=11张.小明原有图画纸115-15=40张，小强原有图画纸112+8=30张.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可接受例13解一的“假设方法.先要将两个比中的前项化成同一个数事实上就是通分43=201552=208.但

13、现在是208，因此这个比的每一份是当然，也可以接受实质上及解方程完全一样的图解法.解三：设原来小明有4“份，小强有3“份图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，35-42=7份相当于图画纸152+85=70张.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差异.用算术方法，却可以充分利用数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些见机行事的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不简洁娴熟驾驭.例13的解一，也是一种通用的方法.

14、“假设这一思路是很有用的，渴望读者能很好驾驭，灵敏运用.从课外的角度，我们更应启发小同学擅长思索，去找敏捷的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲解并描述敏捷的解法，利于心算，促进思维.例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题变更一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等须要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍变成“相等，思索就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍困难的例子.例17 箱子里

15、有红, 白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过假设干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最终剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最终应剩51只.因为白球每次取7只，最终剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7321只，最终应剩 33 9只.因此.共取了51- 3373-15 7次.红球有 157 53 158只.白球有 77352只.原来红球比白球多 158-52106只.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三, 比例的其他问题 ，这里必需用分数来说，

16、而不能用比.事实上它还是隐含着比例关系：甲-7乙= 23.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最终剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于及其他数进展加, 减运算.这就是把比或除法写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就便利些.例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子 堆中拿到 A堆黑子, 白子各多少个？子100个，使余下黑子及白

17、子之比是40-10010031.再要从 B堆拿出黑子及白子到A堆，拿出的黑子及白子数目也要保持31的比.现在 A堆已有黑子 350 100 450个，及已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子及白子，要相差50个，又要符合31这个比，要拿出白子数是503-125个.再要拿出黑子数是 253 75个.答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.人，问高, 初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-51，相当于图中相差 17-125份，初中总人数是 5630份，因此，每份人数是52030-17= 40人.因此，高, 初中毕业生共有401712 1160人.答：高, 初中毕业生共1160人.计算

18、出每份是例21及例14是完全一样的问题，解一及例14的解法也是一样的.你是否发觉？解二是通常分数应用题的解法，明显计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数及比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵敏运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张, 李两人剩下的钱共28元.“1统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最终的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比.用100个银币买了100头牲畜，问猪, 山羊, 绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉17071783提出的问题

19、.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使1 5 A3 2 B100，或简写成 6A5B100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A5， B 4， 65 5450，50是 100的约数，符合要求.A5，猪 5头，绵羊 25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪山羊绵羊=512258.现在已把15和32两种比，组合在一起通常称为混合比.要留意，这样的问题常常有多种解答.A= 5， B14或 A15，B2才能产生解答，相应的猪, 山羊, 绵羊混合比是54253或15679.答：有三组解答.买猪, 山羊, 绵

20、羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很好用的方法，对数学有爱好的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵敏运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题及例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变更.例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10，买 3件降价 20.最终结算，平均每件恰好按原定价的 85出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数 85，可作比拟的基准.1人买3件少 53；1人买2件多 52；1人买1件多 15 1.1人买3件及1人买1件成A组，即按11比例，2人买3件及3人买2件成B组，即按23的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是76-23324-2 25人，A组人数是 33-258人，其中买 3件4人，买 1件4人.10 4 14人.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，及例23的解题思路完全一样，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B33，还要从买的件数考虑满足 4A12B76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.