微积分下学期末试卷及复习资料.docx

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1、微积分下期末试题一一, 填空题(每题3分,共15分)1、 ,那么.2、 , 那么.3, 函数在 点取得极值.4, ,那么1.5, 以(为随意常数)为通解的微分方程是.二, 选择题(每题3分,共15分6 知及均收敛,那么常数的取值范围是( C ).(A) (B) (C) (D) 7 数在原点连续,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8, 假设,那么以下关系式成立的是( A). (A) (B) (C) (D) 9, 方程具有特解(D ). (A) (B) (C) (D) 10, 设

2、收敛，那么(D ).(A) 确定收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定11, 求由,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且时，。于是 12, 求二重极限 . 解：原式 (3分) (6分)13, 由确定，求.解：设，那么 ， ， ， (3分) (6分)14, 用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解： 令,得,为微小值点. (3分)故在下的微小值点为,微小值为 (6分)15, 计算.解： (6分)16, 计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.解： (6分)17, 解微分方程.解：令,方程化为,于是 EMBED Equation.3 EMBED Equatio

3、n.3 (3分) EMBED Equation.3 (6分)18, 判别级数的敛散性.解： (3分) 因为 19, 将函数绽开成的幂级数,并求绽开式成立的区间.解：由于, , (3分)那么 ,. (6分20, 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.依据统计资料,销售收入(万元)及电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的阅历公式:，求最优广告策略 解：公司利润为令即得驻点,而 (3分),所以最优广告策略为：电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)四, 证明题(每题5分,共10分)21, 设，证明：.证：22, 假设及都收敛,那么收敛.证：由于, (

4、3分)并由题设知及都收敛,那么收敛,从而收敛。 (6分)微积分下期末试题二一, 填空题(每题3分,共15分)1, 设，且当时，那么 。答案2, 计算广义积分= 。答案3, 设，那么 。答案4, 微分方程具有 形式的特解. 答案5, 设，那么。答案1二, 选择题(每题3分,共15分)1, 的值为 A A.3 B.0 C.2 D.不存在2, 和存在是函数在点可微的 A 。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3, 由曲面和及柱面所围的体积是 D。A. ； B. ；C, ； D. 4, 设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，那么其通解为

5、 C 。 A.； B.； C.； D.5, 无穷级数(为随意实数) DA, 收敛 B, 确定收敛 C, 发散 D, 无法推断 三, 计算题(每题6分,共60分)1, 求以下极限：。解： 3分 6分2, 求由及直线, , 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解： 4分 6分3, 求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有 3分方程两边对求导得:,有 6分4, 求函数的极值。解：，那么， 求驻点，解方程组得和. 2分对有，于是，所以是函数的极大值点，且 4分对有，于是， 不是函数的极值点。 6, 计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：. 4分 6分7, 连续函数满足，且，求。解：关系

6、式两端关于求导得：即 2分这是关于 EMBED Equation.3 的一阶线性微分方程，其通解为： = 5分又，即，故，所以 6分8, 求解微分方程=0 。解：令，那么，于是原方程可化为： 3分 即，其通解为 5分 即故原方程通解为： 6分9, 求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,. 3分当时,级数为收敛；当时,级数为发散. 故的收敛区间是, 5分那么的收敛区间为. 6分10, 判定级数是否收敛，假如是收敛级数，指出其是确定收敛还是条件收敛。解：因为 2分由比值判别法知收敛()， 4分从而由比拟判别法知收敛，所以级数确定收敛. 6分四, 证明题(每题5分,共10分)1, 设正项级数收敛,

7、证明级数也收敛。证：， 3分而由收敛，故由比拟原那么，也收敛。 5分2, 设,其中为可导函数, 证明.证明：因为, 2分 4分所以. 5分微积分下期末试题三一, 填空题(每题3分,共15分)1, 设，且当时，那么 。答案2, 计算广义积分= 。答案3, 设，那么 。答案4, 微分方程具有 形式的特解.5, 级数的和为 。答案二, 选择题(每题3分,共15分)1, 的值为 B A, 0 B, 3 C, 2 D, 不存在2, 和在存在且连续是函数在点可微的 B A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3, 由曲面和及柱面所围的体积是 BA

8、. ； B. ；C, ； D. 4, 设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，那么其通解为 D A, ； B, ； C, ； D, 5, 无穷级数(为随意实数) AA, 无法推断 B, 确定收敛 C, 收敛 D, 发散三, 计算题(每题6分,共60分)1, 求以下极限：。解： 3分 6分 2, 求由在区间上,曲线及直线, 所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。 解： 4分 6分3, 求由所确定的隐函数的偏导数。解：一令 EMBED Equation.3 那么 ， ， 利用公式，得 3分 6分二在方程两边同时对x求导，得 解出 ， 3分同理解出 6分4, 求函数的极值。解：，那么，求驻点，解方程组得和.

9、 2分对有，于是，所以点不是函数的极值点. 4分对有，于是，且，所以函数在点取得微小值, 6分 5分6, 计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；解： 4分 6分7, 连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即 2分这是关于 EMBED Equation.3 的一阶线性微分方程，其通解为： 5分又，即，故，所以 6分8, 求微分方程的通解。解 这是一个不明显含有未知函数的方程作变换 令 ，那么，于是原方程降阶为 3分， 别离变量，积分得 即 ，从而 5分再积分一次得原方程的通解 y 6分9, 求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,. 3分当时,级数为收敛；当时,级数为发散. 故的收敛区间

10、是, 5分那么的收敛区间为. 6分10, 判定级数是否收敛，假如是收敛级数，指出其是确定收敛还是条件收敛：解：因为 2分由比值判别法知收敛()， 4分从而由比拟判别法知收敛，所以级数确定收敛. 6分四, 证明题(每题5分,共10分)1, 设级数收敛，证明也收敛。证：由于， 3分而,都收敛，故收敛，由比拟原那么知 收敛.。5分2, 设,证明:。证明： 因为 , 2分, , 4分所以 5分微积分下期末试题及答案四一, 选择题(每题2分)1, 设定义域为1,2，那么的定义域为A, 02B, 0，2 C, 10,100 D, 1,22, 1是函数=的A, 跳动连续点 B, 可去连续点 C, 无穷连续点

11、D, 不是连续点3, 试求等于A, EMBED Equation.DSMT4 B, 0 C, 1 D, 4, 假设，求等于A, B, C, D, 5, 曲线的渐近线条数为A, 0 B, 1 C, 2 D, 36, 以下函数中，那个不是映射A, B, C, D, 二, 填空题每题2分1, 2, , 3, 4, 5, 三, 推断题每题2分1, ( )2, ( )3, ( )4, ( )5, ( )四, 计算题每题6分1, 2, 3, 4, 5, 6, 五, 应用题1, 设某企业在生产一种商品件时的总收益为，总本钱函数为，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的状况下，总税额最大？8分2, 描绘函数的图形12分六, 证明题每题6分1, 用极限的定义证明：设2, 证明方程试题四答案一、 选择题1, C 2, C 3, A 4, B 5, D 6, B二, 填空题1, 2, 3, 18 4, 3 5, 三, 推断题1, 2, 3, 4, 5, 四, 计算题1, 2, 3, 解： 4, 解：5, 解：6, 解：五, 应用题1, 解：设每件商品征收的货物税为，利润为2, 解：000拐点无定义极值点渐进线： EMBED Equation.DSMT4 图象六, 证明题1, 证明：2, 证明：