九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题.docx

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1、圆【学问梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的间隔 等于定长的全部点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是随意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：依据垂径定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，假如具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对

2、的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以为端点的弧记为“”，读作“圆弧”或“弧”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区分优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径等圆：可以完全重合的两个圆

3、叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，可以相互重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的间隔 叫做弦心距.（3）对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长） 2.及圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角及圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四

4、边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点及圆的位置关系及其数量特征： 假如圆的半径为r，点到圆心的间隔 为d，则 点在圆上 ;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点及一个定点、的间隔 相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必需的具备两个条件: 圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 经过一点可以作多数个圆,经过两点也可以作多数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种状况:(1) 经过同始终线上的三点不能作圆.(2)经过不在同始终线上的三点,能且仅能作一

5、个圆.定理: 不在同始终线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的间隔 相等.5. 直线及圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线及圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直

6、线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线及圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为r，圆心O到直线的间隔 为d；dr 直线L和O相交. 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.3. 切线的总断定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:假如一条直线具备下列三个条件中的随意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

7、 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的间隔 相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的协助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个

8、惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质及断定:(1)两圆外离 d(2)两圆外切 (3)两圆相交 d (Rr)(4)两圆内切 (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质: 假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆

9、内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形随意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长2R (R表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的间隔 叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R表示圆的半径)6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n

10、表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5)图5(1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 例题解析【例题1】如图1，是的外接圆，是直径，若，则等于（ ） A60 B50 C40 D30 图1 图2 图3【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦及小圆相切于点C，若大圆半径为10，小圆半径为6，则弦的长为 【例题3】如图3，内接于O，120，为O的直径，6，那么【例题4】如图4已知O的两条弦，相交于点E，70o，50o，那么的值为（） A. B. C. D. 图4PBCEA（图8）【例题5】如图5，半圆的直径，点C在半圆上，

11、（1）求弦的长；（2）若P为的中点，交于点E，求的长 三、课堂练习 1、如图6，在O中，40，则 度CABS1S2BCAO 图6 图7 图82、如图7，是O的直径，是弦，若 = 32，则的度数等于 3、已知O的直径8，C为O上的一点，30，则.4、如图8，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 5、如图9，O的半径10，P为上一动点，则点P到圆心O的最短间隔 为。 图96、如图10，在O中，60，（1）求的度数； （2）求O的周长7、已知：如图11，O的直径及弦相交于，弧弧，O的切线及弦的延长线相交于点F(1)求证(2)连结,若O的半径为4,求线段、的长 8、如图12，在中

12、，以为直径的O及交于点D，过D作，交的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线是O的切线；(2)当5，8时，求的值 图12 四、经典考题解析 1.如图13，在O中，已知A 60 ，3，则的周长是. 图13 图14 图152.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图14，为O的直径，弦于点E，1寸，10寸，则直径的长为（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3.如图15，已知是半圆O的直径，弦和相交于点P，那么等于（ ） A B C D4.O的半径是5，、为O的两条弦，且，6，8，求 及之间的间隔

13、5.如图16，在M中，弧所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴及弧的交点。（1）求圆心M的坐标；（2）若点D是弦所对优弧上一动点，求四边形的最大面积 图16 五、课后训练 1.如图17，在O中，弦1.8，圆周角30 ，则 O的直径等于 图17 图18 图192.如图18，C是O上一点，O是圆心若35，则的度数为（ ） A35 B70 C105 D150 3.如图19，O内接四边形中，则图中和1相等的角有 4.在半径为1的圆中，弦、分别是和，则 的度数为多少？5.如图20，弦的长等于O的半径，点C在O上，则C的度数是. 图20 图21 图22 6.如图2

14、1，四边形 内接于O，若100，则的度数为（ ） A50 B80 C100 D1307.如图22，四边形为O的内接四边形，点E在的延长线上，假如120，那么等于（ ） A30 B60 C90 D1208.如图，O的直径10，于点H，2 （1）求的长； （2）延长到P，过P作O的切线，切点为C，若22，求的长九年级数学圆练习题一、 填空题：（21分）1、 如图，在O中，弦，则=2、如图，在O中，是直径，则3、如图，点O是的外心，已知，则BCOA（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）4、如图，是O的直径，弧弧，则 （5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，O的直径为8，弦垂直平分半径，

15、则弦 6、已知O的半径为2，弦2，P点为弦上一动点，则线段的范围是 7、如图，在O中，50，20，则的二、解答题（70分）1、如图，是O的直径.若，及 的大小有什么关系？为什么？2、已知：如图，在O中，弦.求证：弧弧；3、如图，已知：O中，、为弦，交于D，求证：（1），（2）；4、已知如图，、为弦，于M，于N，是的中位线吗？5、已知如图，、是O的直径，、是弦，且，求证：B6、已知如图，是O的直径，C是O上的一点，于D，平分，交O于E，求证：弧弧 7、如图，已知，3，4，90，以点C为圆心作C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在C外.(2)当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外.(2)

16、当r在什么范围时，C及线段相切。三、计算下列各题：（40分） 1、如图，已知为O的直径，为弦，交于D， =，求的长；ABCDE2、如图，在中，C90，3，4，以点C为圆心，为半径的圆及、分别交于点D、E，求、的长3、如图，O的直径和弦相交于点E，且1，5，60，求的长。4、如图，在直径为100 的半圆铁片上切去一块高为20 的弓形铁片，求弓形的弦的长. 5、如图所示，已知矩形的边。（1）以点A为圆心，4为半径作A，则点B、C、D及A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？ 四、作图题：（9分）如图是一块圆形砂轮破裂后的局部残片,试找出它的圆心, 并将它复原成一个圆要求：、尺规作图；、保存作图痕迹（可不写作法）ACDB 五、探究拓展及应用（10分）1、在讨论圆周角及圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特别状况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：是的外角又 2即假如的两边都不经过圆心，如图(2)、（3），那么上述结论是否成立？请你说明理由。