九年级相似三角形知识点总结及例题讲解.docx

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1、相像三角形根本学问 学问点一：放缩与相像1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2. 把形态一样的两个图形说成是相像的图形，或者就说是相像性。留意：相像图形强调图形形态一样，与它们的位置、颜色、大小无关。 相像图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相像的状况。 我们可以这样理解相像形：两个图形相像，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形态与大小都一样，这时是相像图形的一种特例全等形3. 相像多边形的性质：假如两个多边形是相像形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。留意：当两个相像的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.学问点二：比例线段有关概

2、念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：n（或）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外项。5、比例内项：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例内项。6、第四比例项：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。7、比例中项：假如比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:bb:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。8.比例线

3、段：对于四条线段a、b、c、d，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（留意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.根本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）留意：事实上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差改变比例仍成立如： 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 假如，那么留意：(1)此性质的证明运用了“设

4、法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立学问点三：黄金分割1） 定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），假如，即AC2=ABBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中0.618。2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.作法：过点B作BDAB，使；连结AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金

5、分割点.黄金分割的比值为：.（只要求记住）3）矩形中，假如宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。学问点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 常常考，关键在于找由DEBC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平

6、行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE中BDCE 简记： 归纳： 和推广：类似地还可以得到和 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的断定定理三角形一边平行线断定定理 假

7、如一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线断定定理推论 假如一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：ADBECF,.2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，假如在始终线上所截得的线段相等，那么在另始终线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：. 重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点

8、的间隔 ，等于它到对边中点的间隔 的两倍.学问点三：相像三角形1、 相像三角形1）定义：假如两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相像三角形。几种特别三角形的相像关系：两个全等三角形肯定相像。两个等腰直角三角形肯定相像。两个等边三角形肯定相像。两个直角三角形和两个等腰三角形不肯定相像。补充：对于多边形而言，全部圆相像；全部正多边形相像（如正四边形、正五边形等等）；2） 性质：两个相像三角形中，对应角相等、对应边成比例。3） 相像比：两个相像三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相像比。 如ABC与DEF相像，记作ABC DEF。相像比为k。4）断定：定义法：对应角相等

9、，对应边成比例的两个三角形相像。三角形相像的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相像。 三角形相像的断定定理：断定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像简述为：两角对应相等，两三角形相像(此定理用的最多)断定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像断定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像简述为：三边对应成比例，两三角形相像直角三角形相像断定定理:.斜边与一条直角边对

10、应成比例的两直角三角形相像。.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相像，并且分成的两个直角三角形也相像。 补充一：直角三角形中的相像问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相像的断定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相像。 推论五：假如一个三角形的两边和其中一

11、边上的中线与另一个三角形的对应局部成比例，那么这两个三角形相像。相像三角形的性质 相像三角形对应角相等、对应边成比例. 相像三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相像比(对应边的比). 相像三角形对应面积的比等于相像比的平方.2、 相像的应用：位似1）定义：假如两个多边形不仅相像，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为位似比。需留意：位似是一种具有位置关系的相像，所以两个图形是位似图形，必定是相像图形，而相像图形不肯定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一

12、侧。位似比就是相像比。2）性质：位似图形首先是相像图形，所以它具有相像图形的一切性质。位似图形是一种特别的相像图形，它又具有特别的性质，位似图形上随意一对对应点到位似中心的间隔 等于位似比（相像比）。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。一、如何证明三角形相像例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD例3：已知，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC

13、=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相像三角形？请证明你的结论。二、如何应用相像三角形证明比例式和乘积式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE例6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）例7：如图ABC中，AD为中线，CF为任始终线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD

14、上的点，且。求证：AEF=FBD例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG例12、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合详细的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G外,

15、由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2分析：证明相像三角形应先找相等的角，明显C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=C=72又BD平分ABC，则DBC=36在ABC和BCD中，C为公共角，A=DBC=36ABCBCD例3分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相像，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有

16、成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且=DBEABC例4分析：本题要找出相像三角形，那么如何找寻相像三角形呢？下面我们来看一看相像三角形的几种根本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相像三角形(2)如图：其中1=2，则ADEABC称为“相交线型”的相像三角形。(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相像三角形。视察本题的图形，假如存在相像三角形只可能是“相交线型”的相像三角形，及EAF与ECA解：设AB=a，

17、则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF与ECA中，AEF为公共角，且所以EAFECA例5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相像三角形或平行线性质进展证明：证明：过D点作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例6 证明：（1）BAC=900，M是BC的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，评注：命题1 如图，假如1=2，那么A

18、BDACB，AB2=ADAC。命题2 如图，假如AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7 分析：图中没有现成的相像形，也不能干脆得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相像形。怎样作？视察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。与结论相比拟，明显问题转化为证。证明：过D点作DGAB交FC于G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相像） （1）D为BC的中点，且DGBFG为FC的中点则DG为CBF的中位线， （2）将（2）代入（1）得：例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相像三角

19、形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相像三角形来证，但要证的两个角所在的三角形明显不行能相像（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相像三角形，证明：作FGBD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD例9 分析：要证明两线平行较多采纳平行线的断定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目的，选择适当的比例线段。要证明SQAB，只需证

20、明AR：AS=BR：DS。证明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，则，SQAB，同理可证，RPBC例10分析：要证明AFCD，已知条件中有平行的条件，因此有好多的比例线段可供利用，这就要进展正确的选择。其实要证明AFCD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可胜利。证明：ABED，BCFE，两式相乘可得：例11 分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形明显不全等，但存在较多的平行线的条件，因此可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、

21、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联络的比作为过渡，最终必需得到（“？”代表一样的线段或相等的线段），便可完成。证明： FGACBE，ABEAGF 则有而FCDE AEDAFC则有 又BE=DE（正方形的边长相等），即GF=CF。例12 证明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。一、选择题1（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：；其中单独可以断定的个数为（ ）A1B2C3D4【关键词】三角形相像的断定.【答案】C2.（2009年上海市)如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）ABCD【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3

22、.(2009成都)已知ABCDEF，且AB：DE=1：2，则ABC的面积与DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【关键词】【答案】B4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE的面积与CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：A0个B1个C2个D3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相像三角形【答案】D 5.（2009重庆綦江）若ABCDEF, ABC与DEF的相像比为2，则ABC与DEF的周长比为（ ）A14B12C21D【关键词】【答案】B6.（2009年

23、杭州市）假如一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相像的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有多数个【关键词】相像三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）AAOM和AON都是等边三角形B四边形MBON和四边形MODN都是菱形C四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形DBCANMO【关键词】位似【答案】C 8.（2009年江苏省）如图，在方格纸

24、中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A先向下平移3格，再向右平移1格B先向下平移2格，再向右平移1格C先向下平移2格，再向右平移2格D先向下平移3格，再向右平移2格 【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发觉自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm【关键词】黄金比【答案】A10. （2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进展打靶训练，在用枪瞄准目的点B时，要使眼睛O、准星A、目的B

25、在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有稍微的抖动，致使准星A偏离到A，若OA=0.2米，OB=40米，AA=0.0015米，则小明射击到的点B偏离目的点B的长度BB为 （ ）A3米B0.3米C0.03米D0.2米【关键词】相像三角形【答案】B11.（2009恩施市）如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（）A2 B C D 【关键词】解直角三角形、相像【答案】B12.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，挪动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A12m B10mC8mD

26、7m【关键词】相像三角形断定和性质【答案】A13.（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90得AOB已知AOB=30，B=90，AB=1，则B点的坐标为AB C D【关键词】旋转【答案】A14.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能到达好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为A4cmB6cmC8cmD10cm【关键词】黄金比【答案】C 15. （2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影局部）与相像的是（ ）A.【关键词】相像三角形的断定【答案】A16.（2009年天津市）在和中，假如的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）A8，3B8，6C4，3D，6【关键词】相像三角形的性质【答案】A17.(2009年牡丹江市)如图， 中，于肯定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）A1B2 C3 D4