名师名校典型题2014高考数学二轮复习名师知识点总结等差数列等比数列.docx
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1、等差数列、等比数列【高考考情解读】高考对本讲学问的考察主要是以下两种形式:1.以选择题、填空题的形式考察,主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题,属于根底题;2.以解答题的形式考察,主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等学问交汇综合命题,考察用数列学问分析问题、解决问题的实力,属低、中档题1 an与Sn的关系Sna1a2an,an2 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n2)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)断定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an1anan2(n1)an为等差数列(
2、3)通项公式法:anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法:SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(5)an为等比数列,an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法:aanan2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式法:ancqn(c、q均是不为0的常数,nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列(a0且a1)性质(1)若m、n、p、qN*,且mnpq,则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等差数列(1)若m、n、p、qN*,且mnpq,则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列
3、依次每n项和(Sn0)仍成等比数列前n项和Snna1d(1)q1,Sn(2)q1,Snna1考点一与等差数列有关的问题例1在等差数列an中,满意3a55a8,Sn是数列an的前n项和(1)若a10,当Sn获得最大值时,求n的值;(2)若a146,记bn,求bn的最小值解(1)设an的公差为d,则由3a55a8,得3(a14d)5(a17d),da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10,当n12时,Sn获得最大值(2)由(1)及a146,得d(46)4,an46(n1)44n50,Sn46n42n248n.bn2n5225232,当且仅当2n,即n5时,等号成立故bn的最小值为
4、32. (1)在等差数列问题中其最根本的量是首项和公差,只要依据已知条件求出这两个量,其他问题就可随之而解,这就是解决等差数列问题的根本方法,其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m,n,p,qN*,且mnpq,则amanapaq;Sm,S2mSm,S3mS2m,仍成等差数列;aman(mn)dd(m,nN*);(A2n1,B2n1分别为an,bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2019浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的
5、是()A若d0,则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项,则d0D若对随意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列(2)(2019课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C(2)C解析(1)利用函数思想,通过探讨Snn2n的单调性推断设an的首项为a1,则Snna1n(n1)dn2n.由二次函数性质知Sn有最大值时,则d0,不妨设a11,d2,明显Sn是递增数列,但S110,d0,Sn必是递增数列,D正确(2)am2,am13,故d1,因为Sm0,故ma1d0,故a1,因为amam15,故amam12a1(2m1)d(m1
6、)2m15,即m5.考点二与等比数列有关的问题例2(1)(2019课标全国)已知an为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2019浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22,S43a42,则q_.答案(1)D(2)解析(1)利用等比数列的性质求解由解得或或a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42,将a3a2q,a4a2q2代入得,3a22a2qa2q23a2q22,化简得2q2q30,解得q(q1不合题意,舍去) (1)证明数列是等比数列的两个方
7、法:利用定义:(nN*)是常数,利用等比中项aan1an1(n2,nN*)(2)等比数列中的五个量:a1,an,q,n,Sn可以“知三求二”(3)an为等比数列,其性质如下:若m、n、r、sN*,且mnrs,则amanaras;anamqnm;Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列(q1)(4)等比数列前n项和公式Sn能“知三求二”;留意探讨公比q是否为1;a10. (1)(2019课标全国)若数列an的前n项和Snan,则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时,a11;当n2时,anSnSn1anan1,故2,故an(2)n1.(2)(2019湖北)已知Sn是等比数列an的前n
8、项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2a3a418.求数列an的通项公式;是否存在正整数n,使得Sn2 013?若存在,求出符合条件的全部n的集合;若不存在,说明理由解设等比数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.由有Sn1(2)n.假设存在n,使得Sn2 013,则1(2)n2 013,即(2)n2 012.当n为偶数时,(2)n0.上式不成立;当n为奇数时,(2)n2n2 012,即2n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且全部这样的n的集合为n|n2k1,kN,k5考点三等差数列、等比数列的综合应用例3已知等差数列an的
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