年级下册勾股定理知识点归纳.docx

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1、 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题一、 根底知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证. 勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关

2、系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必需明白所考察的对象是直角三角形. 勾股定理的应用直角三角形的随意两边长，求第三边在中，那么，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长，满意，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和及较长边的平方作比拟，假设它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；否那么，就不是直角三角形。 定理中，及只是一种表现形式，不

3、可认为是唯一的，如假设三角形三边长，满意，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；，8,15,17等用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数； 为正整数；，为正整数勾股定理的应用勾股定理能够扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展

4、计算，应设法添加协助线通常作垂线，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进展比拟，切不可不加思索的用两边的平方和及第三边的平方比拟而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：二、经典例题精讲题型一：直接考察勾股定理中，求的长，求的长分析：直接应

5、用勾股定理解： 题型二：利用勾股定理测量长度例题1 假如梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一的题。把实物模型转化为数学模型后，.斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！依据勾股定理222, 即2+92=152,所以2=144,所以12.例题2 如图8，水池中离岸边D点的C处，直立长着一根芦苇，出水局部的长是，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知中,90,在中，只知道1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一

6、的类型。标准解题步骤如下仅供参考：解：如图2，依据勾股定理，222 设水深 xx22= 0.52 解之得2. 故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题3 如图3，正方形中，E是边上的中点，F是上一点，且那么是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把许多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。细致读题会意可以发觉规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设4a，那么2 a3 a a,那么在 、和 中，分别利用勾股定理求出和的长，反过来再利用勾股定理逆定理去推断是否是直角三角形。 具体解题步骤如下：解：设正方形的边长为4a,那么2 a3 a a在中，222=(4a)2+(2 a)2=20 a2同

7、理2=5a2, 2=25a2 在中，2+ 2=5a2+ 20a2=25a22是直角三角形，且90.注：此题利用了四次勾股定理，是驾驭勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度例题4 如图4，长方形中810,在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，求的长.解析：解题之前先弄清晰折叠中的不变量。合理设元是关键。解：依据题意得90, 10, 设，那么8x在中由勾股定理得：222，即822=102，6 106=4()在中由勾股定理可得：222，即(8x) 22+42 64162=2+16 3(),即3 注：此题接下来还可以折痕的长度和求重叠局部的面积。题型五：利用勾股定理逆定理推断垂直

8、例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的外表边是否垂直及边和边，他测得80，60，100，边及边垂直吗？怎样去验证边及边是否垂直？解析：由于实物一般比拟大，长度不简单用直尺来便利测量。我们通常截取局部长度来验证。如图4，矩形表示桌面形态，在上截取12,在上截取9(想想为什么要设为这两个长度？)，连结，测量的长度。假如15,那么222,所以边及边垂直；假如15,那么92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。例题6 有一个传感器限制的灯，安装在门上方，离地高的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动翻开，一个身高的学生，要走到离门多远的地方灯刚好翻开？解析

9、：首先要弄清晰人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应当是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示限制灯，表示人的高度，,当头B点距离A有5米时，求的长度。,所以3米，由勾股定理，可计算4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好翻开。题型六：关于翻折问题如图，矩形纸片的边10，6，E为上一点，将矩形纸片沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，求的长.变式：如图，是的中线，45，把沿直线翻折，点C落在点C的位置，4,求的长.三、勾股定理练习题一、选择题1、以下各组数中，能构成直角三角形的是 A：4，5，6 B：1，1， C：6，8，11 D：5，12，232、在中，C90，a1

10、2，b16，那么c的长为( ) A：26 B：18 C：20 D：213、在平面直角坐标系中，点P的坐标是(3,4)，那么的长为( )A：3 B：4 C：5 D：4、在中，C90，B4510，那么a的长为( ) A：5 B： C： D： 5、中，90，假设14，10，那么的面积是 A、242B、362C、482D、602 6、假设等腰三角形的腰长为10，底边长为12，那么底边上的高为 A、6 B、7 C、8 D、9ABEFDC第7题图7、，如图长方形中，3，9，将此长方形折叠，使点B及点D重合，折痕为，那么的面积为 A、32 B、42 C、62 D、1228、假设中，高12,那么的长为 A、1

11、4 B、4 C、14或4 D、 以上都不对 9、 如图，正方形网格中的，假设小方格边长为1，那么是 A直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对DBCA第10题图10、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假如两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高是 A、 17 B、14 C 、16 D、1 5 二、填空题1、假设一个三角形的三边满意，那么这个三角形是 。2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80，宽为60，对角线为100，那么这个桌面 。填“合格或“不合格 3、直角三角形两

12、直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高为。4、如右图所示的图形中，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，那么正方形A，B，C，D的面积的和为 。ABCDEF5、如右图将矩形沿直线折叠,顶点D恰好落在边上F处,38,那么。6、将一根长为15的筷子置于底面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，那么h的取值范围是。 第6题图三、解答题1、的三边分别为k21，2k，k2+1k1，求证：是直角三角形.9分如图，在2、如图，四边形中，3，4，12，13，且900，求四边形的面积。2题图 3如图，在中，90， 6，8， 求、的长3题图 4题图

13、 4如图，小红用一张长方形纸片进展折纸，该纸片宽为8，长为10当小红折叠时，顶点D落在边上的点F处折痕为想一想，此时有多长？ 5如图，A、B是笔直马路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(d2=400000m2)，现要在马路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？5题图 参考答案：一、A 、 9、A 10 、D二、直角三角形、合格、 、 6、三、提示：证k212+2k2=k2+122、解：连接 在中， 5S6 在中，=25+144=169，=132=169，=是 S30 2S四边形 S S6+30=36 23、解：在中，6，8 、解析:依据勾股定理可求得6,所以4.设 ,那么(8) 依据勾股定理，得x2+42=(8)2 45、解析:依据勾股定理可求得A、B两个村庄的水平距离是600m, 再依据勾股定理可求得最小值是1000m