空间向量与立体几何知识点与例题.docx

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1、空间向量与立体几何知方法总结一学问要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。2向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样，空间向量的加法, 减法与数乘运算如下如图。 ;运算律：加法交换律：加法结合律：数乘安排律：运算法那么：三角形法那么, 平行四边形法那么, 平行六面体法那么3. 共线向量。1假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。2共线向量定理：空间随意两个向量, ，存在实数，使。3三点共线：A, B, C三点共线

2、4与共线的单位向量为4. 共面对量 1定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间随意的两向量都是共面的。2共面对量定理：假如两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。3四点共面：假设A, B, C, P四点共面 5. 空间向量根本定理：假如三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。假设三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，那么对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： 1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存

3、在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：点A关于x轴的的对称点为(),关于平面的对称点为().即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,0),在平面中的点设为(0)2假设空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=3空间向量的直角坐标运算律：假设，那么， ， 。假设，那么。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：假设，那么点P坐标为。推导：设P那么,明显，当P为中点时，三角形重心P坐标

4、为 EMBED Equation.3 的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。单位向量外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：移项，内积为0，那么垂直重心P：中线的交点，三等分点中位线比中心：正三角形的全部心的合一。4模长公式：假设，那么，5夹角公式：。中A为锐角A为钝角，钝角6两点间的距离公式：假设，那么，或 7. 空间向量的数量积。1空间向量的夹角及其表示：两非零向量，在空间任取一点，作，那么叫做向量与的夹角，记作；且规定，明显有；假设，那么称与相互垂直，记作：。2向量的模：设，那么有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。3向量的数量积：向量，那么叫做的数量积，记作，

5、即 EMBED Equation.DSMT4 。4空间向量数量积的性质：。5空间向量数量积运算律：。交换律。安排律。不满意乘法结合率： 二空间向量与立体几何(高考答题必考)1线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直共面与异面两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直 3线线夹角 两条异面直线所成的角：1, 定义：设a, b是两条异面直线，过空间任一点O作直线，那么与所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角2, 范围：两异面直线所成角的取值范围是3, 向量求法：设直线a, b的方向向量为, ，其夹

6、角为，那么有4, 留意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角nP3-2线面夹角 EMBED Equation.3 ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，假设为锐角角即可，假设为钝角，那么取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. , 3-3面面夹角二面角 EMBED Equation.3 :1假设, 分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，那么二面角的大小就是向量与的夹角如图a所示2设, 是二面角的两个角, 的法向量，那么向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角的大小如图b所示

7、假设两面的法向量一进一出，那么二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，那么二面角等于法向量的夹角的补角. 4点面距离 ：如图a所示，平面，垂足为O，那么点B到平面的距离就是线段的长度假设是平面的任一条斜线段，那么在中， 假如令平面的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面的距离为 4-1线面距离线面平行：转化为点面距离4-2面面距离面面平行：转化为点面距离应用举例：例1：如右下列图,在长方体A1B1C1D1中, 4, =3, 1= 2. E, F分别是线段, 上的点，且 1.(1) 求二面角CC1的正切值;(2) 求直线1与1所成的余弦值. 解：I以A为原点，分别为x轴，y轴轴的正向

8、建立空间直角坐标系，那么D(0,3,0), D1(0,3,2), E(3,0,0), F(4,1,0), C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1垂直，那么有设1与1所成角为，那么例2：如图，四棱锥，底面是菱形，600，平面，点E为中点，点F为中点。1证明平面平面； 2求二面角的平面角的余弦值证明：1面是菱形，600，是等边三角形，又E是中点，连结 300，600，900， 如图建立坐标系，设1，那么， P0，0，1，E，0，0，B，0 =，-1，= ，0，-1，平面的一个法向量为=0，1，0 ，设平面的法向量为=x, y, 1)由 =, 0, 1)=0 即 平面平面(2)解:由(1)知平面

9、的法向量为=, 0, 1),设平面的法向量为1=x, y, -1)，由1知：F0，0，=，-， = ，0，-，由 1=-, 0, -1)二面角的平面角的余弦值= | = 例3：在棱长为4的正方体1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱1上，且1=4.()求直线与平面1B1所成的角的大小结果用反三角函数值表示；()设O点在平面D1上的射影是H，求证：D1H；()求点P到平面1的距离.解: ()如图建立坐标系1, 棱长为4 A4，0，0，B4，4，0，P0，4，1 = (-4, 4, 1) , 明显=0，4，0为平面1B1的一个法向量 直线与平面1B1所成的角的正弦值= 为锐角

10、，直线与平面1B1所成的角为 () 设平面1的法向量为=x, y, 1)，=0，4，0，=-4，0，4 由， 得 =1, 0, 1)， 点P到平面1的距离 d = 例4：在长, 宽, 高分别为2，2，3的长方体1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系1，那么O1，1，0，A12，2，3，C0，2，0 设A1O与B1C的公共法向量为，那么 A1O与B1C的距离为d =例5：在棱长为1的正方体1B1C1D1中，E, F分别是B1C1, C1D1的中点，求A1到面的距离。解：如图，建立坐标系1，那么B1，1，0，A11，0，1，E，1，1 设面的法向量为，那么 A1到面的距离为d =附：