考数学-基本不等式(知识点归纳).docx
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1、高中数学根本不等式的巧用一根本不等式1.1假设,那么 (2)假设,那么当且仅当时取“=2. (1)假设,那么 (2)假设,那么当且仅当时取“=(3)假设,那么 (当且仅当时取“=,那么 (当且仅当时取“=;假设,那么 (当且仅当时取“=假设,那么 (当且仅当时取“=,那么 (当且仅当时取“=假设,那么 (当且仅当时取“=,那么当且仅当时取“=注:1当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大2求最值的条件“一正,二定,三取等(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应
2、用应用一:求最值例1:求以下函数的值域1y3x 2 2yx解:1y3x 22 值域为,+ 2当x0时,yx22;当x0时, yx= x2=2值域为,22,+解题技巧:技巧一:凑项例1:,求函数的最大值。解:因,所以首先要“调整符号,又不是常数,所以对要进展拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。评注:此题须要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例1. 当时,求的最大值。解析:由知,利用根本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。留意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x2时取等号 当x2时,的最大值为8。评注:此题无
3、法直接运用根本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用根本不等式求最大值。变式:设,求函数的最大值。解:当且仅当即时等号成立。技巧三: 别离例3. 求的值域。解析一:此题看似无法运用根本不等式,不妨将分子配方凑出含有x1的项,再将其别离。当,即时,当且仅当x1时取“号。技巧四:换元解析二:此题看似无法运用根本不等式,可先换元,令t=x1,化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“号。评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用根本不等式来求最值。技巧五:留意:在应用最值定理求最值
4、时,假设遇等号取不到的状况,应结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,那么因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. 1 2 (3) 2,求函数的最大值.;3,求函数的最大值.条件求最值,那么的最小值是 .分析:“和到“积是一个缩小的过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 都是正数,当时等号成立,由及得即当时,的最小值是6变式:假设x,y的值技巧六:整体代换:屡次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否那么就会出错。2:,且,求的最
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