全高中数学知识总结3.docx

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1、七、反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思索问题的证明方法，即：确定题设而否认结论，从而导出冲突推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的本质作过概括：“若确定定理的假设而否认其结论，就会导致冲突”。详细地讲，反证法就是从否认命题的结论入手，并把对命题结论的否认作为推理的已知条件，进展正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，冲突的缘由是假设不成立，所以确定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所根据的是逻辑思维规律中的“冲突律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相冲突的推断不能同时都为真

2、，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“冲突律”；两个互相冲突的推断不能同时都假，简洁地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到冲突的推断，根据“冲突律”，这些冲突的推断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否认的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否认的结论”这一对立的互相否认的推断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的根本规律和理论为根据的，反证法是可信的。反证法的证题形式可以简要的概括我为“否认推理否认”。即从否认结论开场，经过正确无误的推理导致逻辑冲突，到

3、达新的否认，可以认为反证法的根本思想就是“否认之否认”。应用反证法证明的主要三步是：否认结论 推导出冲突 结论成立。施行的详细步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出冲突；第三步，结论：说明反设不成立，从而确定原命题成立。在应用反证法证题时，确定要用到“反设”进展推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，假如欲证明的命题的方面状况只有一种，那么只要将这种状况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；假如结论的方面状况有多种，那么必需将全部的反面状况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中常常运用反证法，牛

4、顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否认形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否认结论更明显。详细、简洁的命题；或者干脆证明难以下手的命题，变更其思维方向，从结论入手进展反面思索，问题可能解决得非常干脆。、再现性题组：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b为异面直线，则_。A. a、b都与l相交 B

5、. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_。(97年全国理)A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例冲突，选A；2小题：采纳“特殊值法”，取a1、b0.5，选D；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；4小题：分析清晰结论的几种状况，列式是：CC436,选D。 S C A O B、示范性题组：例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平

6、面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”，呈“否认性”，考虑运用反证法，即假设“垂直”后再导出冲突后，再确定“不垂直”。【证明】 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内， ACSO， SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB， 平面SAB底面圆O，这明显出现冲突，所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。【注】否认性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出冲突。例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一个方程有实根。试务实数a的取值范围。【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面状况仅有一种：三个方程均没有实

7、根。先求出反面状况时a的范围，再所得范围的补集就是正面状况的答案。【解】 设三个方程均无实根，则有：,解得,即a1。所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根。【注】“至少”、“至多”问题常常从反面考虑，有可能使状况变得简洁。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面干脆求解，即分别求出三个方程有实根时（0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。例3. 给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上随意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图

8、像。(88年全国理)。【分析】“不平行”的否认是“平行”，假设“平行”后得出冲突从而推翻假设。【证明】 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上随意两个不同的点，则xx,假设直线MM平行于x轴，则必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 这与已知“a1”冲突， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函数y的反函数为y，图像一样。由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到，函数y的图像关于直线yx成轴对称图像。【注】对于“不平行”的否认性结论运用反证法，在假设“平行”的状况下，简洁得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a1互相

9、冲突。第问中，对称问题运用反函数对称性进展探讨，方法比拟奇妙，要求对反函数求法和性质运用娴熟。、稳固性题组：1. 已知f(x)，求证：当xx时，f(x)f(x)。2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，ac，求证：、不行能成等差数列。3. 已知f(x)xpxq，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 。4. 求证：抛物线y1上不存在关于直线xy0对称的两点。5. 已知a、bR，且|a|b|1，求证：方程xaxb0的两个根的确定值均小于1。 A F DB M NE C6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EMCN，求证：MN不行能垂直CF。第二章

10、 高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的根本学问分三类：一类是纯粹数的学问，照实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的学问，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的学问，主要表达是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来说明数之间的联络，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的准确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来准确地说明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是探讨现实

11、世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析其代数意义，又提醒其几何直观，使数量关的准确刻划与空间形式的直观形象奇妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，找寻解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对冲突，宇宙间万物无不是“数”和“形”的冲突的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要留意三点：第一要彻

12、底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的学问，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；随意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。、再现性题组：5. 设命题甲：0x5；命题乙：|x2|3，那么甲是乙的_。 （90年全国文）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 若log2log20，则_。(92年全国理)A. 0ab1 B. 0

13、bab1 D. ba17. 假如|x|,那么函数f(x)cosxsinx的最小值是_。 (89年全国文)A. B. C. 1 D. 8. 假如奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。(91年全国)A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 9. 设全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 (90年全国)A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 10. 假如是第二象限的角，且满意cossin,那么是_。A.第一象限角 B.第三象限角

14、C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角11. 已知集合E|cossin，02，F|tg乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B；3小题：设sinxt后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；7小题：利用单位圆，选A；8小题：将复数表示在复平面上，选B；9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的间隔 公式求解,答案。【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的

15、问题，即借助数轴（题）、图像（、题）、单位圆（、题）、复平面（、题）、方程曲线（题）。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x、示范性题组：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)内有唯一解，务实数m的取值范围。【分析】将对数方程进展等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进展解决。【解】 原方程变形为 即：设曲线y(x2) , x(0,3)和直线y1m，图像如图所示。由图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m1或30),椭圆中心D(2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么

16、范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的间隔 等于该点到直线L的间隔 ？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（探讨方程组解的状况）。【解】 由已知得：a2，b1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：，消y得：x(47p)x(2p)0所以1664p48p0,即6p8p20，解得：p1。结合范围(,4+)内两根，设f(x)x(47p)x(2p)，所以4+即p0、f(4+)0即p43。结合以上，所以43p。【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当

17、给出方程的解的状况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特殊要留意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等学问都在本题进展了综合运用。例4. 设a、b是两个实数，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m15 (mZ)，C(x,y)|xy144，探讨是否，使得AB与(a,b)C同时成立。(85年高考)【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得AB”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nZ)有解（AB时xnm）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nxy3n15上，且直线与圆xy144

18、有公共点，但原点到直线L的间隔 12。【解】 由AB得：nab3n15 ;设动点(a,b)在直线L：nxy3n15上，且直线与圆xy144有公共点，所以圆心到直线间隔 d3()12 n为整数 上式不能取等号，故a、b不存在。【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进展探讨。此题也属探究性问题用数形结合法解，其中还表达了主元思想、方程思想，并表达了对有公共点问题的恰当处理方法。本题干脆运用代数方法进展解答的思路是：由AB得：nab3n15 ,即b3n15an （式）；由(a,b)C得，ab144 （式）；把式代入式，得关于a的不等式：(1n)a2n(3n15)a(3n15)1440 （式）

19、,它的判别式4n(3n15)4(1n)(3n15)14436(n3)因为n是整数，所以n30,因此0,故式不行能有实数解。所以不存在a、b，使得AB与(a,b)C同时成立、稳固性题组：1. 已知5x12y60，则的最小值是_。A. B. C. D. 12. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，则b的取值范围是_。A. |b|3 B. |b|3 C. 3b3 D. 3b|x1|x1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_。6. 设zcos且|z|1,那么argz的取值范围是_。7. 若方程x3ax2a0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是_。8. sin2

20、0cos80sin20cos80_。9. 解不等式： bx10. 设Ax|1x0、a0、a2时分a0、a0和a0三种状况探讨。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形态或位置、不确定的结论等，都主要通过分类探讨，保证其完好性，使之具有确定性。进展分类探讨时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级探讨。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类探讨问题时，我们的根本方法和步骤是：首先要确定探讨对象以及所探讨对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进展合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进展探讨

21、，分级进展，获得阶段性结果；最终进展归纳小结，综合得出结论。、再现性题组：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范围是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，则p、q的大小关系是_。A. pq B. pq D.当a1时，pq；当0a1时，p0、a0、a1、0a1两种状况探讨，选C；3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种状况，答案4,-2,0；4小题：分、0、0、x0两种状况，选B；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种状况，选D；7小题：分截距等于零、不等于零两种状况，选C。、示范性题组：例1

22、. 设0x0且a1，比拟|log(1x)|与|log(1x)|的大小。【分析】 比拟对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类状况进展探讨。【解】 0x1 01x1 当0a0，log(1x)0; 当a1时，log(1x)0，所以|log(1x)|log(1x)|log(1x) log(1x)log(1x)0；由、可知，|log(1x)|log(1x)|。【注】本题要求对对数函数ylogx的单调性的两种状况非常熟识，即当a1时其是增函数，当0a1时其是减函数。去确定值时要判别符号，用到了函数的单调性；最终差值的符号推断，也用到函数的单调性。例2. 已知集合A和集合B

23、各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满意下面两个条件的集合C的个数： . CAB且C中含有3个元素； . CA 。【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：属于A 元素；不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 CCCCCC1084【注】本题是排列组合中“包含与解除”的根本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，到达分类完好及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是干脆运用“解除法”，即CC1084。例3. 设a是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 . 证明： 0，使得lg（Sc）成立？并证明结论。(95年

24、全国理)【分析】 要证的不等式和探讨的等式可以进展等价变形；再应用比拟法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q1和q1两种状况。【解】 设a的公比q，则a0，q0 当q1时，Sna，从而SSSna(n2)a(n1)aa0； 当q1时，S，从而SSSaq0；由上可得SSS，所以lg(SS)lg(S)，即lgS。. 要使lg（Sc）成立，则必有(Sc)(Sc)(Sc),分两种状况探讨如下：当q1时，Sna，则(Sc)(Sc)(Sc)(nac)(n2)ac(n1)aca0当q1时，S，则(Sc)(Sc)(Sc)c ccaqac(1q) aq0 ac(1q)0即c而ScS0,

25、 使得lg（Sc）成立。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类探讨。该题文科考生改问题为：证明logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类探讨的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进展分类，即题型为概念、性质型。例4. 设函数f(x)ax2x2，对于满意1x0，务实数a的取值范围。 1 4 x 1 4 x【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，须要先对开口方向探讨，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进展分类探讨，最终综合得解。【解】当a0时，f(x)a

26、（x）2 或或 a1或a；当a 。【注】本题分两级探讨，先对确定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。例5. 解不等式0 (a为常数，a)【分析】 含参数的不等式，参数a确定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种状况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。 所以分以下四种状况探讨：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当

27、a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax0)， y2ya 解得：y1 （0a1）由上可得，z(1)或(1)【注】本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程非常繁难，而挖掘隐含，对z分两类探讨则简化了数学问题。【另解】 设zxy，代入得 xy22xya； 当y0时，x2|x|a，解得x(1)，所以z(1)；当x0时，y2|y|a，解得y(1)，所以(1)。由上可得，z(1)或(1)【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy0而分x0和y0两种状况进展探讨求解。事实上，每种状况中确定值方程的求解，也浸透了分类探讨思想。例7. 在xoy平面上给定

28、曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上的点到点A的间隔 的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）【分析】 求两点间间隔 的最小值问题，先用公式建立目的函数，转化为二次函数在约束条件x0下的最小值问题，而引起对参数a的取值探讨。【解】 设M(x,y)为曲线y2x上随意一点，则|MA|(xa)y(xa)2xx2(a1)xax(a1)(2a1)由于y2x限定x0，所以分以下状况探讨：当a10时，xa1取最小值，即|MA2a1；当a10时，x0取最小值，即|MAa；综上所述，有f(a) 。【注】本题解题的根本思路是先建立目的函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们非常熟识，但含参数a，以及还有隐含条件x0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到df(a)的函数表达式。、稳固性题组：1. 若loglog(xa) (a0且a1)11.设首项为1，公比为q (q0)的等比数列的前n项和为S，又设T，求T 。12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数f(x)(|m|1)x2(m1)x1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。