最短路径问题将军饮马问题教学设计.docx

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1、最短路径问题将军饮马问题及延长湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题 教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称探讨某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中常常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行探讨。本节课以数学史中的一个经典故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题探讨，让学生经验将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置：1、 能利用轴对称解决最短路径问题。2、 在解题过程能总结出解题方法，能进行肯定的延长。3、体会

2、“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学情分析：1、八年级学生的视察、操作、猜想实力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习实力也须要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有肯定的探究精神和合作意识，能在肯定的亲身经验和体验中获得肯定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理实力有待加强。2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学条件

3、分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发觉利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，试验验证了结论的一般性；最终通过逻辑推理证明。教具打算：直尺、ppt教学过程：环 节老师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识说明这个问题？的问题，我们称为“最短路径”问题。1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探究新知一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中就隐含着一个好玩的数学问题，古时候有位将军，每

4、天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？细致读题，细致思索。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手，由简到难，逐步深化。二探究新知究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应当怎样走，才能使总路程最短呢？（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。巡察发觉学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。赐予学生肯定的提示。（3）【度量】：如何才能推断哪种猜想是正确的呢？（测

5、量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生视察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。【回答】：学生思索并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C，使C满意AC+BC的值最小。【学生展示】：作法1： 作法2：作法3：【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是ACBC。不能说明AC+BC最短第3种作法应当是正确的。学生主动探究，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲

6、突，引发学生进一步探究的学习欲望。二探究新知【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？假如做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满意了BCBC。其实直线L上全部点到B和B的距离都相等。也可是依据垂直平分线的性质，L就是线段BB的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维实力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动阅历。（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短

7、呢？【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C（与点C不重合），只要证明AC+BCAC+BC即可。老师动手操作，验证结论的正确性。（1）学生自主证明，老师纠错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，老师版书。（3）共同完成证明过程。细致视察，思索，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C（不与点C重合）让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维实力。通过动画演示，从特别到一般地验证了前面的结论。三发散思维除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？还可以作点A关于直线l的对称点。发散思维，培育学生一题多解的实力。四得出结论【问题】：我们是如何解决将军饮马问

8、题的？先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满意最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培育数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。五 变式巩固【问题】：如图，已知：P、Q是ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗？在详细问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。六 拓展提升【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A动身，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最终回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？【问题】：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先

9、到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你扶植确定这一天的最短路线。七巩固练习1. 【题目】：如图，已知： MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。2. 【题目】：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？习题难度，由易到难，逐步深化。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。八课堂小结1.【问题】：本节课探讨问题的基本过程是什么？ 当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是

10、抽象成一个数学模型，这样可以扶植我们进行试验视察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最终再将结论运用到实际问题里。2.【问题】：今日我们学习了最短路径的相关问题，我们应当怎么样找到它们的最短路径呢？先确定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后视察试验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最终再将结论运用到实际问题里。如何求解培育学生总结在课题学习的基本思路。九课后拓展【问题】：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？依据解题方法进行深度拓展（难度大）