正余弦定理知识点权威总结.docx
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1、正余弦定理学问点权威总结正余弦定理学问点权威总结:一, 正弦定理和余弦定理1, 定理正弦定理余弦定理2, 内容1, 正弦定理:在中,, , 分别为角, , 的对边,为的外接圆的半径,则有 3, 推论a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;4, 留意(1)在ABC中,已知A,a,b,探讨三角形解的状况.先由可进一步求出B;则C =180-(A+B),从而.(2)在ABC中,sinAsinB是AB的充要条件。(sinAsinB EMBED Equation.DSMT4 abAB)由余弦定理推断三角形的形
2、态a2=b2+c2A是直角ABC是直角三角形,a2b2+c2A是钝角ABC是钝角三角形,a2b2+cA是锐角/ABC是锐角三角形。(留意:A是锐角/ ABC是锐角三角形 ,必需说明每个角都是锐角)5, 三角形面积公式三角形面积公式:; ,其中,为内切圆半径; ,为外接圆半径6, 已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解, 一解, 无解三种状况1.当A为钝角或直角时,必需ab才能有且只有一解;否则无解2.当A为锐角时,假如ab,那么只有一解;假如ab,那么可以分下面三种状况来探讨:(1)若absinA,则有两解;(2)若a=bsinA,则只有一解;(3)若absinA,则无解留意在已知三角形的两
3、边和其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且bsinAab时,有两解;其他状况时则只有一解或无解(1)A为直角或钝角(2) A为锐角7, 解三角形的一般思路:(1)已知两角和一边,利用正弦定理求解;(2)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的状况可能不唯一;(3)已知两边和其夹角,利用余弦定理求解;(4)已知三边,利用余弦定理求解.8, 方法与技巧总结1, 已知两角A, B,一边,由A+B+C=和,可求角C,再求, ;2, 已知两边, 与其夹角A,由2=2+2-2 EMBED Equation.3 cosA,求出,再由余弦定理,求出角B, C;3, 已知三边, , ,由余
4、弦定理可求出角A, B, C;4, 已知两边, 和其中一边的对角A,由正弦定理,求出另一边的对角B,由C=-(A+B),求出,再由求出C,而通过求B时,可能出一解,两解或无解。二, 例题精讲&变式练习考点一:运用正余弦定理解三角形例题1:在ABC中,a2,b6,A30,解三角形变式1:在ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A60,a,b1,则c等于()A1 B2 C.1 D.变式2:在ABC中,已知a2,A30,B45,解三角形规律小结:对于已知两边和其中一边的对角,或者已知两个角以和随意一边的状况下,套用正弦定理,可以干脆求出对应的角或边考点二:运用余弦定理解三角形例题
5、2:在ABC中,已知,B=45,求b和A变式1:在ABC中,边a,b的长是方程x25x20的两个根,C60,求边c.规律小结:在已知两边和夹角可利用余弦定理求出第三边;在已知三边的状况下,可利用余弦定理求出随意边所对的角。考点三:利用正弦定理, 余弦定理推断三角形的性状和求取值范围例2(1)(10上海文)若的三个内角满足则A确定是锐角三角形. B确定是直角三角形.C确定是钝角三角形. D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.解析:由和正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得,所以角C为钝角(2)在锐角ABC中,BC1,B2A,则的值等于_,AC的取值范围为_解析:由正弦定理得. 即.
6、2.ABC是锐角三角形,0A,02A,03A,解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(,) 答案:2(,)1在ABC中,若,则ABC是()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知:,tan Atan Btan C,ABC.2在ABC中,sin A,a10,则边长c的取值范围是()A. B(10,) C(0,10) D.答案D解析,csin C0c.3在ABC中,a2bcos C,则这个三角形确定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理:sin A2sin Bcos C,sin(BC)2sin Bcos
7、 Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C,sin(BC)0,BC.4, 在ABC中,cos2,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形态为 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析:cos2,cosB, a2c2b22a2,即a2b2c2,ABC为直角三角形 答案:B例题3:在中,若,试推断形态变式1:在中,已知,则为 三角形变式2:在ABC中,sin Asin Bsin C234,试推断三角形的形态变式3:在ABC中,已知(abc)(bca)3bc,且sin A2sin Bcos C,试确定ABC的形态变式4:在三角形A
8、BC中,若acosB=bcosA,试推断这个三角形的形态变式5:在ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,假如(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),推断三角形形态解:由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=k则a=ksinA,b=ksinB代入(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),并把k约分(sin2A+sin2B)sin(A-B)=(sin2A-sin2B)sin(A+B)sin2Asin(A-B)+sin2Bsin(A-B)=sin2Asin(A+B)-sin2Bsin(A+B)sin2Asin(A+B)-sin(A-B)
9、=sin2Bsin(A-B)+sin(A+B)利用和角公式,整理有sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosBsin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0sinAsinB(2sinAcosA-2sinBcosB)=0sinAsinB(sin2A-sin2B)=0sinA0,sinB0所以sin2A=sin2B2A=2B 或2A+2B=180度A=B或A+B=90度所以是等腰三角形或直角三角形 规律小结:推断三角形形态的题型中,常常只给出三边的关系,或者正余弦之间的关系式,那么,在做这类题型时,常常要将题目中的全部角度利用正余弦全部转化为边的关系,进而化简得到特殊
10、关系;或者将全部的边利用正弦定理转化为角度的关系,再利用三角恒等公式或者帮助角公式进行变换,最终得到特殊角,进而求解考点四:面积问题例3(2009浙江文)在中,角所对的边分别为,且满足, (I)求的面积; (II)若,求的值解析:() INCLUDEPICTURE :/192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/2009-1/2009189344.jpg * MERGEFORMAT 又,而,所以,所以的面积为:()由()知,而,所以,所以1, 在中,角所对的边分别为,且满足, (I)求的面积; BDCA(II)若,求的值解 (1)因为,又由得, (2)对于,又,或,由余弦
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