线性代数知识点全归纳.docx
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1、线性代数学问点1, 行列式1. 行列式共有个元素,绽开后有项,可分解为行列式;2. 代数余子式的性质:, 与的大小无关;, 某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0;, 某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为;3. 代数余子式与余子式的关系:4. 设行列式:将上, 下翻转或左右翻转,所得行列式为,那么;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,那么;将主对角线翻转后转置,所得行列式为,那么;将主副角线翻转后,所得行列式为,那么;5. 行列式的重要公式:, 主对角行列式:主对角元素的乘积;, 副对角行列式:副对角元素的乘积;, 上, 下三角行列式:主对角元素的乘积;, 与:副对角元素的乘积;,
2、拉普拉斯绽开式:, , 范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;, 特征值;6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;7. 证明的方法:, 反证法;, 构造齐次方程组,证明其有非零解;, 利用秩,证明;, 证明0是其特征值;2, 矩阵8. 是阶可逆矩阵: EMBED Equation.DSMT4 是非奇异矩阵; EMBED Equation.DSMT4 是满秩矩阵 EMBED Equation.DSMT4 的行列向量组线性无关;齐次方程组有非零解; EMBED Equation.DSMT4 ,总有唯一解; EMBED Equation.DSMT4 与等价; EMBED Equation.DSM
3、T4 可表示成假设干个初等矩阵的乘积; EMBED Equation.DSMT4 的特征值全不为0; EMBED Equation.DSMT4 是正定矩阵; EMBED Equation.DSMT4 的行列向量组是的一组基; EMBED Equation.DSMT4 是中某两组基的过渡矩阵;9. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;10. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数与;11. 关于分块矩阵的重要结论,其中均, 可逆:假设,那么:, ;主对角分块, ;副对角分块, ;拉普拉斯, ;拉普拉斯3, 矩阵的初等变换与线性方程组12. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准
4、形是唯一确定的:;等价类:全部与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形态最简洁的矩阵;对于同型矩阵, ,假设;13. 行最简形矩阵:, 只能通过初等行变换获得;, 每行首个非0元素必需为1;, 每行首个非0元素所在列的其他元素必需为0;14. 初等行变换的应用:初等列变换类似,或转置后接受初等行变换、 假设,那么可逆,且;, 对矩阵做初等行变更,当变为时,就变成,即:;, 求解线形方程组:对于个未知数个方程,假如,那么可逆,且;15. 初等矩阵与对角矩阵的概念:, 初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置确定:左乘为初等行矩阵, 右乘为初等列矩阵;, ,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘
5、,乘的各列元素; , 对调两行或两列,符号,且,例如:;, 倍乘某行或某列,符号,且,例如:;, 倍加某行或某列,符号,且,如:;16. 矩阵秩的根本性质:, 假设,那么;, 假设, 可逆,那么;可逆矩阵不影响矩阵的秩, 假如是矩阵,是矩阵,且,那么:, 的列向量全部是齐次方程组解转置运算后的结论;, 假设, 均为阶方阵,那么;17. 三种特殊矩阵的方幂:, 秩为1的矩阵:确定可以分解为列矩阵向量行矩阵向量的形式,再接受结合律;, 型如的矩阵:利用二项绽开式;二项绽开式:;注:, 绽开后有项;, 组合的性质:;, 利用特征值与相像对角化:18. 伴随矩阵:, 伴随矩阵的秩:;, 伴随矩阵的特征
6、值:;19. 关于矩阵秩的描述:, ,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;两句话, ,中有阶子式全部为0;, ,中有阶子式不为0;20. 线性方程组:,其中为矩阵,那么:, 与方程的个数一样,即方程组有个方程;, 与方程组得未知数个数一样,方程组为元方程;21. 线性方程组的求解:, 对增广矩阵进展初等行变换只能运用初等行变换;, 齐次解为对应齐次方程组的解;, 特解:自由变量赋初值后求得;22. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:, 向量方程,为矩阵,个方程,个未知数, 全部按列分块,其中;, 线性表出, 有解的充要条件:为未知数的个数或维数4, 向量组的线性相关性23. 个维列向量所组
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