选修45不等式选讲全册教案.docx

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1、第一讲 不等式和确定值不等式课题：第01课时 不等式的根本性质教学目的：1 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式讨论的根底。2 驾驭不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质推断不等关系和用比较法，反证法证明简洁的不等式。教学重点：应用不等式的根本性质推理推断命题的真假；代数证明，特殊是反证法。教学难点：敏捷应用不等式的根本性质。教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的根本数学关系。列子汤问中喜闻乐见的“两小儿辩日：“远者小而近者大、“近者热而远者凉，就从侧面说明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中休戚相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的

2、，而不做成方的呢、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？等，都属于不等关系的问题，须要借助不等式的相关学问才能得到解决。而且，不等式在数学讨论中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式含有确定值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等和它们的证明，数学归纳法和它的简洁应用等。人及人的年龄大小、高矮胖瘦，物及物的形态构造，事及事成因及结果的不同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、确定的，而相等那么是部分的、相对的。还可从引言中实际问

3、题动身，说明本章学问的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，假设再加m(m0)克糖，那么糖水更甜了，为什么分析：起初的糖水浓度为，参与m克糖 后的糖水浓度为，只要证即可。怎么证呢 二、不等式的根本性质：1、实数的运算性质及大小依次的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的根本性质：、假如ab，那么ba，假如bb。(对称性)、假如ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。、假如ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：假如

4、ab，且cd，那么a+cb+d即ab， cd a+cb+d、假如ab，且c0，那么acbc；假如ab，且c0，那么acb 0，那么 (nN，且n1)、假如ab 0，那么 (nN，且n1)。三、典型例题：例1、比较和的大小。分析：通过考察它们的差及0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例2、，求证：例3、ab0，cd0，求证：。四、课堂练习：1：，比较及的大小。2：ab0，cd0,求证：。五、课后作业：课本第1、2、3、4题六、教学后记：课题：第02课时 根本不等式教学目的：1.学会推导并驾驭均值不等式定理；2.可以简洁应用定理证明不等式并解决一些简洁的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证

5、明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程： 一、学问学习：定理1：假如a、bR，那么a 2b 2 2ab当且仅当ab时取“号证明：a 2b 22abab2 当ab时，ab20，当ab时，ab20所以，ab20 即a 2b 2 2ab由上面的结论，我们又可得到定理2根本不等式：假如a，b是正数，那么 当且仅当ab时取“号证明：222a b2 ，即 明显，当且仅当ab时，说明：1我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因此，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a 2b 22ab和成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a

6、，b都是正数.3“当且仅当的含义是充要条件.4几何意义.二、例题讲解：例1 x，y都是正数，求证：1假如积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2； 2假如和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2证明：因为x，y都是正数，所以 1积xy为定值P时，有 xy2上式当xy时，取“号，因此，当xy时，和xy有最小值2.2和xy为定值S时，有 xy S 2上式当x=y时取“号，因此，当x=y时，积xy有最大值S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应留意三个条件：函数式中各项必需都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必需是常数；等号成立条件必需存在。例2 ：a、b、c、d

7、都是正数，求证：abcdacbd4abcd分析：此题要求学生留意及均值不等式定理的“形上发生联络，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的相识.证明：由a、b、c、d都是正数，得0，0，abcd即abcdacbd4abcd例3 某工厂要建立一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，假如池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先须要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得l2400007

8、20x2400007202240000720240297600当x，即x40时，l有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应留意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家驾驭两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应留意定理的适用条件。五、课后作业课本P10习题1.1第5，6，7题六、教学后记

9、：课题：第03课时 三个正数的算术-几何平均不等式教学目的：1能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，解决最值问题；2理解根本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简洁的不等式，解决最值问题教学过程：一、学问学习：定理3：假如，那么。当且仅当时，等号成立。推广： 。当且仅当时，等号成立。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思索：类比根本不等式，是否存在：假如，那么当且仅当时，等号成立呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数的最小值。解一： 解二：当即时 上述两种做法哪种是错的？错误的缘由是

10、什么？变式训练1 的最小值。由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_例2 ：如以下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小一样的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 ：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值由例题，我们应当更牢记 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不行。另外，由不等号的方向也可以知道：积定_，和定_.三、稳固练习的最小值是 ( )A.6 B.的最小值是_3函数的最大值是 A.0 B.1 C. D. 4.(2021浙江自选)正数满意，求的最

11、小值。52021，江苏，21设为正实数，求证：四、课堂小结：通过本节学习，要求大家驾驭三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应留意定理的适用条件。五、课后作业P10习题1.1第11，12，13题六、教学后记：课题：第04课时 确定值三角不等式教学目的：1：理解确定值三角不等式的含义，理解确定值三角不等式公式及推导方法， 会进展简单的应用。2：充分运用视察、类比、揣测、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用确定值三角不等式公式进展推理和证明。教学重点：确定值三角不等式的含义，确定值三角不等式的理解和运用。教

12、学难点：确定值三角不等式的发觉和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入： 关于含有确定值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课讨论不等式证明这类问题。1请同学们回忆一下确定值的意义。 。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的间隔 称为这个点所表示的数的确定值。2证明一个含有确定值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质之外，常常还要用到关于确定值的和、差、积、商的性质：1，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。2， 3， 4那么二、讲解新课：结论：当且仅当时，等号成立.是实数，试证明：当且仅当时，等号成立.方法一：证明:10 .当ab0时, 20. 当ab

13、，对一实在数都成立，务实数的取值范围。四、课堂练习：解以下不等式：1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。六、教学后记：第二讲 证明不等式的根本方法课题：第01课时 不等式的证明方法之一：比较法教学目的：能娴熟地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能娴熟地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设都是正数，且，求证：。例2、假设实数，求证：证明：采纳差值比较法： = = = = 讨论：假设题设中去掉这一限制

14、条件，要求证的结论如何变换？例3、求证此题可以尝试运用差值比较和商值比较两种方法进展。 证明：1) 差值比较法：留意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2商值比较法：设 故原不等式得证。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。假如，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从动身地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要答复题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从动身地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其

15、中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：假如，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1比较下面各题中两个代数式值的大小：1及；2及.2 求证：1 23假设，求证四、课时小结：比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差或作商、变形、推断符号。“变形是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是“变形的常用方法。五、课后作业：课本23页第1、2、3、4题。六、教学后记：课题：第02课时 不等式的证明方法之二：综合法及分析法教学目的：1、 结合已经学过的数学实例，理解干脆证明的两种根本方法：分析法和综合法。2、 理解分析

16、法和综合法的思索过程。教学重点：会用综合法证明问题；理解综合法的思索过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种干脆证明方法，也是不等式证明中的根本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以相识、学习，以便于比照讨论两种思路方法的特点。所谓综合法，即从条件动身，根据不等式的性质或的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，那么是由结果开始，倒过来找寻缘由，直至缘由成为明显的或者在中。前一种是“由因及果，后一种是“执果索因。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，逐步找寻，直

17、至找到他，这是“综合法；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法。二、典型例题：例1、，且不全相等。求证： 分析：用综合法。例2、设，求证证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证明显成立. 由此命题得证。证法二 综合法 留意到，即，由上式即得，从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、a，b，m都是正数，并且求证： 1证法一 要证1，只需证 2要证2，只需证 3要证3，只需证 44成立，所以1成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采纳综合法。证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得两边同时除以正数得1。例4、证明：通过水

18、管放水，当流速一样时，假如水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速一样时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，那么周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以此题只需证明。证明：设截面的周长为，那么截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。为了证明上式成立，只需证明。两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。上式明显成立，所以 。这就证明了：通过水管放水，当流速一样时，假如水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：。证法一： 因为 2 3 4所

19、以三式相加得 5两边同时除以2即得1。 证法二：所以1成立。例6、证明： 1证明 1 23 4 55明显成立。因此1成立。例7、都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：此题可以考虑利用因式分解公式 着手。证明： = = 由于都是正数，所以而，可知 即等号在时成立探究：假如将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且.三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上或减去一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方

20、法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、求证：2、求证3、求证4、求证：12 5、都是正数。求证：1 26、都是互不相等的正数，求证五、课后作业： 课本25页第1、2、3、4题。六、教学后记：课题：第03课时 不等式的证明方法之三：反证法教学目的：通过实例，体会反证法的含义、过程及方法，理解反证法的根本步骤，会用反证法证明简洁的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简洁的命题。教学难点：会用反证法证明简洁的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的干脆证法。也就是说，干脆从题设动身，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对

21、于一些较困难的不等式，有时很难干脆入手求证，这时可考虑采纳间接证明的方法。所谓间接证明即是指不干脆从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地到达目的。其中，反证法是间接证明的一种根本方法。反证法在于说明：假设确定命题的条件而否认其结论，就会导致冲突。详细地说，反证法不干脆证明命题“假设p那么q，而是先确定命题的条件p，并否认命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到冲突，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出及所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定动身，应用证

22、确的推理方法，推出冲突结果；第四步 断定产生冲突结果的缘由，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例1、，求证：且例1、设，求证证明：假设，那么有，从而 因为，所以，这及题设条件冲突，所以，原不等式成立。例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，那么 1 另一方面，由确定值不等式的性质，有 2 1、2两式的结果冲突，所以假设不成立，原来的结论正确。留意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满意某个不等式时，通常采纳反证法进展。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果，通常是指所推出的结果及公理、定义、定理或条件、已证不

23、等式，以及及临时假定冲突等各种状况。试根据上述两例，讨论找寻冲突的手段、方法有什么特点？例3、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,那么三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 那么b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0冲突， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0三、课堂练习：1、利用反证法证明：假设a，b，m都是正数，并且，那么 2、设0 a, b, c 0，且x + y

24、 2，那么和中至少有一个小于2。提示：反设2，2 x, y 0，可得x + y 2 及x + y 2冲突。四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出及所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；第四步 断定产生冲突结果的缘由，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本29页第1、4题。六、教学后记：课题：第04课时 不等式的证明方法之四：放缩法教学目的：1感受在什么状况下，须要用放缩法证明不等式。2探究用放缩法证明不等式的理论根据和技巧。教学重、难点：1驾驭证明不等

25、式的两种放缩技巧。2体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度。教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大或缩小，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用途更为广泛。下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的根本思想。二、典型例题：例1、假设是自然数，求证证明： = =留意：事实上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在确定程度上表达了放缩法的根本思想。例2、求证：证明：由是大于2的自然数 得 例3、假设a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b,

26、c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 三、课堂练习：1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，假如分子不变，分母缩小分母仍为正数，那么分式的值放大；假如分子不变，分母放大，那么分式的值缩小。五、课后作业：课本29页第2、3题。第三讲 柯西不等式及排序不等式课题：第1课时 二维形式的柯西不等式一教学目的：相识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习打算：1. 提问： 二元均值不等

27、式有哪几种形式？ 答案：及几种变式.2. 练习：a、b、c、d为实数，求证 证法：比较法=.=二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理1：假设a、b、c、d为实数，那么. 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：综合法 . 要点：绽开配方 证法三：向量法设向量，那么，. ，且，那么. . 证法四：函数法设，那么0恒成立. 0，即. 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或. 提出定理2：设是两个向量，那么. 即柯西不等式的向量形式由向量法提出 讨论：上面时候等号成立？是零向量，或者共线 练习：a、b、c、d为实数，求证. 证

28、法：分析法平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？构造三角形2. 教学三角不等式： 出示定理3：设，那么.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：假设，那么结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例：例1：a,b为实数，求证说明：在证明不等式时，联络经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学讨论的有力工具。例题2：求函数的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并找寻不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，假设能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。解：函数的定义域为【1，5】，且y0 当且仅

29、当时，等号成立，即时，函数取最大值课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)2的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：留意到，有了就可以用柯西不等式了。四、稳固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式两点、三点六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9七、教学后记：课题：第02课时二维形式的柯西不等式二教学目的：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发觉详细问题及经典不等式之间的关系，

30、经过适当变形，根据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：；2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值 要点：利用变式.二、讲授新课：1. 最大小值： 出例如1：求函数的最大值？ 分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 推广： 练习：，求的最小值. 解答要点：凑配法. 讨论：其它方法 数形结合法2. 不等式的证明： 出例如2：假设，求证：.分析：如何变形后利用柯西

31、不等式？ 留意比照 构造 要点： 讨论：其它证法利用根本不等式 练习：、，求证：.三、应用举例：例1a1,a2,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例2a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特殊是右边式子的字母排列依次启发我们，可以用柯西不等式进展证明。分析：由形式，联络柯西不等式，可以通过构造12+22+32作为一个因式而解决问题。四、稳固练习：1. 练习：教材P37 8、9题 练习：1设x，y，z为正实数，且x+y+

32、z=1，求的最小值。 2a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。08广一模 5a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。08东莞二模 6x+y+z=，那么m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州调研)五、布置作业：教材P37 1、6、7题 ，且，那么的最小值. 要点：. 其它证法 假设，且，求的最小值. 要点：利用三维柯西不等式变式：假设，且，求的最大值.六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目的式进展变形，留意凑配、构造等技巧.

33、七、教学后记：课题：第03课时 一般形式的柯西不等式教学目的：1.相识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理1：柯西不等式的代数形式设均为实数，那么，其中等号当且仅当时成立。定理2：柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，那么，其中等号当且仅当两个向量方向一样或相反即两个向量共线时成立。定理3：三角形不等式设为随意实数，那么： 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.

34、| | .将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.比照二维形式和三维形式的柯西不等式，你能揣测出一般形式的柯西不等式吗？定理4：一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，1，2，为随意实数，那么：即，其中等号当且仅当时成立当时，约定，1，2，。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对随意实数，恒成立，那么其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立当时，约定，1，2，。假如全为0，结论明显成立。三、应用举例：例3 a1,a2,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特殊是右边