函数的单调性PPT.ppt

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1、67. 456. 771.1960.3319851990 1994 1997邢台市年生产总值统计表邢台市年生产总值统计表生产总值生产总值(亿元亿元)年份年份30201042335920917619851990 19941997450150250350人数人数(人人)邢台市邢台市日平均出生人数统计表日平均出生人数统计表年份年份yx1 1-1Oyxxyy21yx1 1-1OOyxy2x2 xy21xyyx1 1-1y21OOOyyxxy2x2 yx22x xy2xy1yxO1yxyx1 1-1y21OOOyyxxy2x2 yx22x xy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO

2、01x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO1x)(1xfxy2yxO 观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？映了相应函数的哪些变化规律吗？ 随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？函数图象是否具有某种对称性？ 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x)=x; 从左至

3、右图象上升还从左至右图象上升还是下降是下降? ? _ 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 上升上升(-，+)增大增大 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （2）f(x)=x2 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 减小减小(-，0)增大增大0 ，+)从上面的观察分析，能得出什么结论？从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数，从上面的观察分析可以看出：不同的

4、函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质一个重要性质如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1Oxyx1x2如何用如何用x与与f(x)来描述

5、上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图

6、象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2函数函数f (x)在给定

7、区间上为在给定区间上为增函数增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图

8、象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定区间上为在给定区间上为增函数增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的

9、图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(

10、x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.函数函数f (x)在给定在给定区间上为减函数区间上为减函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域

11、I I内某个区间内某个区间D D上的上的任意任意两个自变量两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx如果函数如果函数yf（x），在区间），在区间D上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性具有（严格）单调性，区间，区间D叫做叫做yf（x）的）的单调区间单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的，减在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的函数的图象是下降的2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=

12、f(x)在某个区间上是增函数或减在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严在这一区间具有（严格的）单调性，区间格的）单调性，区间D叫做叫做y=f(x)的单调区间：的单调区间：注意：函数的单调区间是其定义域的注意：函数的单调区间是其定义域的子集子集；应是该区间内应是该区间内任意任意的两个实数，忽略需要的两个实数，忽略需要任意任意取值这个条件，就不能保证函数是增函取值这个条件，就不能保证函数是增函数或减函数数或减函数;几何特征几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数象上升，

13、则为增函数，图象下降则为减函数.注意：注意：函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；间时，包括不包括端点都可以； 例例1 1：下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 -5-5，55上的函数上

14、的函数y= =（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2解：解：yf（x）的单调区间有）的单调区间有 5 5，2 2），）， 2 2，1 1），），11，3 3），），33，5.5. 其中其中yf（x）在）在 5 5，2 2），），11，3 3）上）上是减函数是减函数， 在在 2 2，1 1），），33，5 5）上是增函数）上是增函数. .)(xfy 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）

15、为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之Vkp 分析：分析：按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在区间（在区间（0 0，+）上是减函数即可）上是减函数即可Vkp 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之Vkp 证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1 1,

16、,V2 2是定义域是定义域（0 0，+）上的任意两个实数，且）上的任意两个实数，且V1 1 00； 由由V1 1 00 021VpVp 又又k00，于是，于是 21VpVp 即即 所以，函数所以，函数 是减函数也就是是减函数也就是说，当体积说，当体积V减小时，压强减小时，压强p将增大将增大, 0,VVkp取值取值作差作差定号定号下结论下结论 证明函数单调性的证明函数单调性的一般步骤一般步骤： 取值取值：设：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意是给定区间内的两个任意值，且值，且x1x 2）；）； 作差作差：作差：作差f(x1)f(x2)，并将此差式变形，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式

17、符号为止）；（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； 定号定号：判断：判断f(x1)f(x2)的正负（要注意说的正负（要注意说理的充分性）理的充分性）,必要时要讨论；必要时要讨论； 下结论下结论：根据定义得出其单调性：根据定义得出其单调性.例例3证明函数证明函数在（在（1，+）上为增函数）上为增函数 xxy1 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象 （1 1）这个函数的定义域）这个函数的定义域I是什么？是什么？ （2 2）它在定义域）它在定义域I上的单调性是怎样的？上的单调性是怎样的？证明你的结论证明你的结论xy1 1 1请根据下图描述某装配线的生产效率请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系与生产线上工人数量间的关系生产效率生产效率工人数量工人数量O 2. 2.根据图象说出函数的的单调区间，以及在根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数每一单调区间上，函数是增函数还是减函数y1 2 3 4 5xy=（x）-1 O本节课主要学习了以下内容：本节课主要学习了以下内容： 2 2根据定义证明函数的单调性的主要步根据定义证明函数的单调性的主要步骤骤 1 1函数的单调性及单调区间的概念；函数的单调性及单调区间的概念；