第二章第三节函数的单调性与最值.ppt

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1、1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何 意义意义 2会运用函数的图象理解和研究函数的性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质函数的单调性与最值函数的单调性与最值理理 要要 点点一、函数的单调性一、函数的单调性1单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定义定义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1，x2，当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就，那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说

2、函数那么就说函数f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数f(x1)f(x2) 增函数增函数减函数减函数图象图象描述描述自左向右看图象自左向右看图象是是 自左向右看图象是自左向右看图象是 逐渐上升逐渐上升逐渐下降逐渐下降2单调区间的定义单调区间的定义若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是 或或 ，则称函数，则称函数f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，单调性， 叫做叫做f(x)的单调区间的单调区间增函数增函数减函数减函数区间区间D二、函数的最值二、函数的最值前提前提设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足满足条件条件对于任意对

3、于任意xI，都有，都有 存在存在x0I，使得，使得 对于任意对于任意xI，都，都有有存在存在x0I，使得，使得 结论结论M为最大值为最大值M为最小值为最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M究究 疑疑 点点1如果一个函数在定义域的几个区间上都是增如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减减)函数，函数， 能不能说这个函数在其定义域上是增能不能说这个函数在其定义域上是增(减减)函数？函数？2函数函数f(x)在区间在区间a，b上单调递增与函数上单调递增与函数f(x)的单调递增的单调递增 区间为区间为a，b含义相同吗？含义相同吗？提示：提示：含义不同含义不同f(x)在区间在区间a，b上单调

4、递增并不上单调递增并不能排除能排除f(x)在其他区间单调递增，而在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区的单调递增区间为间为a，b意味着意味着f(x)在其他区间不可能单调递增在其他区间不可能单调递增答案：答案： A2下列说法正确的是下列说法正确的是 ()A定义在定义在(a，b)上的函数上的函数f(x)，若存在，若存在x1x2，有，有f(x1)f(x2)， 那么那么f(x)在在(a，b)上为增函数上为增函数B定义在定义在(a，b)上的函数上的函数f(x)，若有无穷多对，若有无穷多对x1，x2(a， b)，使得当，使得当x1x2时，有时，有f(x1)f(x2)，那么，那么f(x)在在(a，b)上

5、为上为增函数增函数C若若f(x)在区间在区间I1上为增函数，在区间上为增函数，在区间I2上也为增函数，上也为增函数，那么那么f(x)在在I1I2上也一定为增函数上也一定为增函数D若若f(x)在区间在区间I上为增函数，且上为增函数，且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那，那么么x1x2答案：答案：D归纳领悟归纳领悟 判断或证明函数单调性的常用方法：判断或证明函数单调性的常用方法：1定义法定义法第一步：取值，即设第一步：取值，即设x1、x2是该区间内任意两个值且是该区间内任意两个值且x10)的单调增区间是的单调增区间是 ()A(0，)B(1，)C(，1) D(，3答案：答案： A解析：解析：二

6、次函数的对称轴为二次函数的对称轴为x1，又因为二次项系，又因为二次项系数为正数，拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，数为正数，拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为所以其单调增区间为(0，)2函数函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令令f(x)0，解得，解得x2.答案：答案：D3求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性(1)f(x)x22|x|3；(2)f(x)x315x233x6.解：解：

7、(1)依题意，可得依题意，可得当当x0时，时，f(x)x22x3(x1)24；当当x0时，时，f(x)x22x3(x1)24.由二次函数的图象知，由二次函数的图象知，函数函数f(x)x22|x|3在在(，1，0,1上是增上是增函数，在函数，在1,0，1，)上是减函数上是减函数(2)f(x)3x230 x333(x11)(x1)，当当x11时，时，f(x)0，f(x)单调递增；单调递增；当当1x11时，时，f(x)0，即，即x|x1或或x1令令u(x)x21，图象如图所示，图象如图所示由图象知，由图象知，u(x)在在(，1)上是减函数，在上是减函数，在(1，)上上是增函数是增函数而而f(u)lo

8、g2u是增函数是增函数故故f(x)log2(x21)的单调增区间是的单调增区间是(1，)，单调减区间是单调减区间是(，1)归纳领悟归纳领悟 求函数的单调性或单调区间的方法求函数的单调性或单调区间的方法1利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性2定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义3图象法：如果图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者f(x)的图的图 象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间4导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.2若若f

9、(x)为为R上的增函数，则满足上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数的实数m的的取值范围是取值范围是_解析：解析：f(x)在在R上为增函数，上为增函数，2m0，m1或或m0时，时，f(x)1.(1)求证：求证：f(x)是是R上的增函数；上的增函数；(2)若若f(4)5，解不等式，解不等式f(3m2m2)3.解：解：(1)证明：设证明：设x1，x2R，且，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即即f(x)是是R上的增函数上的增函数解：解：函数函数f(x)对于任意对于任意x，y

10、R，总有，总有f(x)f(y)f(xy)，令令xy0，得，得f(0)0.再令再令yx，得，得f(x)f(x)f(x)在在R上是减函数，上是减函数，f(x)在在3,3上也是减函数，上也是减函数，f(x)在在3,3上的最大值和最小值分别为上的最大值和最小值分别为f(3)与与f(3)而而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在在3,3上的最大值为上的最大值为2，最小值为，最小值为2.归纳领悟归纳领悟 f(x)在定义域上在定义域上(或某一单调区间上或某一单调区间上)具有单调性，则具有单调性，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则，若函数是增函数，则f(x1)f(x

11、2)x1x2，函数不等式，函数不等式(或方程或方程)的求解，总是想方的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程或方程)求解，求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行一、把脉考情一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调

12、性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法转化、数形结合、分类讨论的思想方法 预测预测2012年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力答案：答案：B答案：答案：C点点 击击 此此 图图 片片 进进 入入“课课 时时 限限 时时 检检 测测”