等差数列概念1.ppt

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1、2.2 等差数列等差数列 、 观察与思考观察与思考 ：下面的几个数列：下面的几个数列： , 105 , 104 , 103 , 102 , 101 , 12- , 9- , 6- , 3- , 0 , 3 10, , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 、问题：、问题： 从第从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？, ,1 ,1 1 , 1 , 1 , 1分析：分析：后一项与前一项的差的后一项与前一项的差的特点是：特点是： 、归纳：这些数列、归纳：这些数列 是常数是常数1是常数是常数-3 是常数是常数 1/10, 3- , 3- , 3-

2、, 3- , 3- , 101 , 101 , 101 , 101 从第从第2项起它们的后一项与前项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。一项的差都是同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。表示。等差数列的首项用字母等差数列的首项用字母 a1 表示。表示。 一、等差数列的定义：一、等差数列的定义：例例 1： 观察下列数列是否是等差数列：观察下列数列是否是等差数列： , 16 , 11 , 7 , 4 , 2 , 1 :4 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 :3 , 7 , 5 , 3 , 1 , 2- , 3- :2 ,

3、12 , ,10 8 , 6 , 4 , 2 , 1 : 1 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每一项与它的前一项的，每一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。解析：解析：(1)、该数列的第、该数列的第2项与第一项的差是项与第一项的差是1，其余的后一，其余的后一 项与项与 前一项的差都是前一项的差都是2。不符合等差数的定义。不符合等差数的定义 要求从第要求从第2项起项起 后项与前项的差是同一个常数。所以后项与前项的差是同一个常数。所以, 它不是等差数列。它不是等差数列。 （2）、不是。理由同（）、不是

4、。理由同（1） （3）、是。）、是。 它符合等差数列的定义。它符合等差数列的定义。 （4）、不是。因为他从第）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是项起后项与前项的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常数，但不是同一常数。是常数，但不是同一常数。 所以不是。所以不是。 1、等差数列要求、等差数列要求从第从第2项起，项起，后一项与后一项与 前一项前一项。 不能颠倒。不能颠倒。 2、作差的结果要求是、作差的结果要求是 练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项不是？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d, d, 如果不是，

5、如果不是，说明理由。说明理由。(1). 1, 1, 1, 1, 1.(2).4,7,10,13,16.(3). 3, 2, 1,1,2,3.(4). 1,2,3,4,5,6.(5).5,9,13,41,.nna1 .5 102).12.3).413 练习二：数列为等差数列，是在括号内填上适当的数.（ ） （）， .（， ，（）（，（），（）， ， .你能求出等差数列（你能求出等差数列（3）的第）的第100项吗？项吗？ 二、等差数列的通项公式：二、等差数列的通项公式： , a , , a , a , a , a , an54321等差数列等差数列 an 的首项是的首项是 a1 , 公差是公差是d

6、 ，如：，如： 那麽，则由定义得：那麽，则由定义得： a2-a1=d (1) a3-a2=d (2) a4-a3=d (3) a5-a4=d (4) 、 an-a n-1=d分析：分析：如果把左边由（如果把左边由（1）式）式到最后一个式子，共到最后一个式子，共_个式个式子相加，则有：子相加，则有： n-1 等号左边为：等号左边为：an-a1 , 等号右边为：等号右边为：(n-1)d所以： an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 当当n =1时，上式两边都等于时，上式两边都等于 a1 。 nN*，公式成立。，公式成立。 等差数列的通项公式是等差数列的通项公式是:an = a1+

7、(n-1)d三、通项公式的应用：三、通项公式的应用： 例例 2：（：（1）、已知等差数列的首项）、已知等差数列的首项 a1是是3，公差，公差 d 是是2，求它，求它 的通项公式。的通项公式。 （2）、求等差数列）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第的第20项。项。 （3）、）、 -401是不是等差数列是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项的项 ？如果是，是第几项？如果是，是第几项？等差数列的通项公式等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一知道其中三个量就可以求余下的一个个

8、 量量 。 分析：知道分析：知道a1 , d ，求，求an 。代入通项公式。代入通项公式。 a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2 =2n-1 解：（1）、已知等差数列的首项）、已知等差数列的首项 a1是是3，公差，公差 d 是是2， 求它求它 的通项公式。的通项公式。（2）、求等差数列）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第的第20项。项。分析：分析： 根据根据a1=10，d= -2，先求出通项公式，先求出通项公式an ，再求出，再求出a20解：解： a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由由an=a1+(n-1)d 得得 a20 =a1+(

9、n-1)d =10+(20-1)(-2) = -28解：解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4) = -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是该数列的第是该数列的第100项。项。 分析：根据分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式，先求出通项公式an ，再把再把 401代入，然后看是否存在正整数代入，然后看是否存在正整数n 。 （3）、）、 -401是不是等差数列是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项的项 ？如果是，是第几项？如果是，是第几项？练 习 二 （1 1）求等差数列）求等差数列3,7,113,7,11

10、的第的第4 4项与第项与第1010项；项； （2 2）判断）判断100100是不是等差数列是不是等差数列22，9 9，1616，的项？的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（解：（1 1）根据题意得：）根据题意得： a a1 1=3,d=7-3=11-7=4, =3,d=7-3=11-7=4, （2） 解：解： 由题意可得由题意可得 a1+5d=12 (1) a1+17d=36 (2) d = 2 a1 =2 an = 2+(n-1) 2 = 2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几

11、个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。 例例3： 在等差数列在等差数列an中中 ， 已知已知a6=12 ，a18=36 ,求首项求首项a1 ，公差公差 d 及通项及通项an 。 分析：分析： 此题已知此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项，分别代入通项， 公式公式an = a1+(n-1)d 中中 ，可得两个方程，都含，可得两个方程，都含a1与与d两个未知两个未知 数组成方程组，可解出数组成方程组，可解出a1与与d 。* 1、 等差数列的概念等差数列的概念。必须从第必

12、须从第2项起后项减去前项起后项减去前项，并且差是项，并且差是 同同 一常数。一常数。 像例像例1中（中（1）、（）、（2）小）小题只能说它们从第题只能说它们从第2项起、项起、 从第从第3项起是等差数列，而它们本项起是等差数列，而它们本身不是。身不是。 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。余下的一个（或两个）变量。四、小结：四、小结：这节课主要讲了以下两个问题：这节课主要讲了以下两个问题：1、（、（1）、

13、求等差数列）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第的第4项和第项和第10项。项。 （2）、）、100是不是等差数列是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？的项？ 如果是，如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。是第几项？如果不是，说明理由。 （3）、）、 -20是不是等差数列是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？的项？ 如果是，如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列、在等差数列an中，中， （1）已知）已知 a4=10 , a7=19 ，求，求 a1与与 d 。 （2）、已知）、已知 a3=9 , a9=3 ，求，求 a12 。解：

14、（1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39 （2）、 a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项。 （3）、 a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。解： （1）由题意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 。 （2）由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d=

15、-1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0 1、已知等差数列第、已知等差数列第m项是项是am ，公差是，公差是 d ，求，求an 。 2、已知等差数列、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5 , d是公差是公差 那麽那麽 (1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，是什麽数列？是什麽数列？ (2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，是什麽数列？是什麽数列？(1)、练习：P117 1 、2(2)、作业：P118 1 、 2思考题：思考题：已知等差数列已知等差数列an中，中，am,d 是常数，试是常数，试求出求出an的值。的值。 分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将a am m,d ,d 看看成是常数成是常数. .解：设等差数列an的首项是a1，依题意可得： am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d - 得：an-am=a1+ ( n 1 )d-a1+(m-1)d =(n-m)d an=am +(n-m)d