高三一轮总复习高效讲义第一章第4节　基本不等式.docx

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1、第4节基本不等式课标要求掌握基本不等式，茄w皇 mo, /o).结合具体实例，能用基本不等 式解决简单的最大值或最小值问题.备考第步一梳理教材基础，落实必备知识1 .基本不等式：对于任意的正实数b,板w等.(1)基本不等式成立的条件：。0, /().(2)等号成立的条件：当且仅当事时取等号.2 .几个重要的不等式(1 )tz2+b22ab(a, ZGR).(2,223，同号).(3)abW(今丹(a, R).层+/、2(4)2(小 /?ER-3 .算术平均数与几何平均数设a0, b0,那么小方的算术平均数为守，几何平均数为标，基本不等式可表达 为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4

2、.利用基本不等式求最值问题心0, yX),那么(1)如果积犯是定值”，那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2m .(简记：积定和 最小)(2)如果和x+y是定值，那么当且仅当x=v时,孙有最大值是彳.(简记：和定积最 大)盘点易错易混1 .使用基本不等式求最值，“一正” “二定”“三相等”三个条件缺一不可，忽略某个 条件就会致错.2 .同一题目中要防止屡次使用基本不等式，假设必须连续使用基本不等式求最值时，要 求每次等号成立的条件一致.【小题热身】1 .x0, y0, xy= 16,那么x+y的最小值为()1 . 32B. 24464所以 16乂5=yj，当且仅当，=12a时，等号成立, 6

3、4所以41+2的最小值为万.(3)函数丁=入/2x +.2l3的最大值为.解析：*y=22x +2x3 =.2-x +.2+.2l3 W0,且。1+3=1，2 +。5 = 2,由 + 46 = 3,证明：（2+） （A）涧 + 2# .（2.0 + 2a2 +，2（s+o4）+W（2as+a6）7.解：（1）因为 41+3=1,所以 W+i）心哨（1+喑）=G+颤+乡=7+也+的2+2、呼声=7 + 2班 .3 aJ ay av当且仅当饕 =,即出=m 2, g=3一加 时取等号.（2）由柯西不等式得：（41+242）+ （。3 +。4）+（245 +。6）（1+2 + 3） 2或| + 22

4、+yj 2（。3+ aq）+13（2。5+。6）,所以jdi+2a2 +，2（。3+&） +，3（2。5+。6）W-/ 6 1 （a 1 + 3）+ 2（俏 + 45）+ （0 + 46）=，6（1 +4+3） =/48 ,I, - . /4。3+4 l2a5-ha6 ,”*口当且仅当/|4五2 =七万一=丫 小一时，取等万.01+ 2.2 +:2（。3+。4）+，3（2的+。6）-748 Igx（x0）B. sinx+豆八：22(xK&jt, &Z)C. C+122kl解析：当 x0 时，22 x J =x,所以 1g21gx(x0),故 A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正” “二定”

5、 “三相等，当kZ时,sinx的正负不定，故B不正确；显然C正确；当x=0时，有*y=l, D不正确.答案：C2 . x0, v0，且 x+2y=2,那么冲（ ）A.有最大值1B.有最小值1C.有最大值gD.有最小值3解析：因为心0, y0, x+2y=2t 所以 x+2y2dx 2,即，xyW,当且仅当x=2y,即x=l, 时，等号成立.所以町有最大值，且最大值为 .答案：C3 .。0, b0, a+b= I,贝碍+的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D. 9解析：因为 a0, b0, a+b=l,所以（+2 =（J+ （。+8）=5+9 + 皆 25 + 2寸1 华 =9,当且仅当=2=

6、1时等号成立.答案：D4.一题多法假设a0,比0, a+b=ab,那么+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8解析：法一 由于a+b=aZ?W,因此或（舍去），当且仅当 “=2时取等号，应选B.法二 由题意，得:+| =1,所以 a+b=（a+A）g+ =2+. W 22+2=4,当且仅当。=2时取等号，应选B.法三由题意知广尚01),所以昌+=2+A叶占22+2=4, 当且仅当a=b=2时取等号.答案：B5.yu)=5.yu)=+3x+6x+1(a-0),那么大x)的最小值是()A. 2A. 2B. 3C. 4D. 55枇=/+3x+6解析：yu)= 3口5枇=/+3x+6解析：yu

7、)= 3口（x+1） 2+x+i+4x+14=、+】+干+L41-4因为x0,所以x+l0,那么x+1+f +122皿 +1=5（当且仅当1+1=不， 人I 1人I 1即x=l时取“= ”)，故火x)的最小值是5.应选D.答案：D6.(多项选择)(2020新高考全国卷I )a0, /?0,且“+=1,那么( )2f 彳B. Iog2a+log222D. ya + 亚 W啦解析：因为。0,比0,。+=1, 所以 a+,当且仅当时，等号成立，即有.对于 A,屏+匕2=(4+/力22出?= 1 1 2X；=；,故 A 正确;对于 B, 2ah=22al=T X22fl,因为a0,所以22“1,即2一

8、吗，故B正确;对于 C, log2a+log2=log24Wlog2； =-2,故 C 错误:对于 D,由（6 + 亚）2=a-b-2yab = 1 +2yab W2, 得W +福,故D正确.答案：ABD7 .0, 0,假设直线(al)x+2y1 =0与直线x+b)，=0互相垂直，那么ah的最 大值是.解析：由两条直线互相垂直得(al)Xl+2=0,即。+2力=1,又区0, 0,所以岫=1 (a2Z?)W；=! ,当且仅当, b=；时取等号.故的最大值是5.ZZ Z / oNdo答案：W8 .李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期 间对人商品进行广告促销，假设

9、售出人商品的件数皿单位：万件）与广告费用M单位：万元） 符合函数模型机=3 三 .假设要使这次促销活动获利最多，那么广告费用X应投入万元.解析：设李明获得的利泗为火X）万元，那么x20,那么凡I）=8?-1=8（3一标，24布 一4=25干+(1+1) 25-2a/j-jA-4-l) =25-8=17,当且仅当 x+IF，因为x20,即当x=3时，等号成立.人I 1答案：39 .(1)当x5时，求函数y=x+o的最大值；设0VxV2,求函数)，=1x (42x)的最大值. o q ,32x fi Q3解：(l)y=2 (2x3)+_3 +, = 9 +3 -2xJ +2 , 当 A0,2x ,

10、 8 、l32x 8-, 32x8,1 , +7-22、/ o G =4,当且仅当F- =-,即工=-5 时取等万 23 2x2 3 2x23 -2x2355于是,W4+ = ,故函数的最大值为一.（2）V0x0,），=出（4-2x） =2 yfx （2-x） W小 :广 =0, a-b=.那么以下结论正确的有（）A.五的最大值为左B. 2%+22的的最小值为4啦C. a+sinXlD.解析：因为 ab0, a+b= 1,所以 0vZ）v） , g al,对于 A: ay2b = 1 b+y2b =对于 A: ay2b = 1 b+y2b =仿一叫 +1 ,当的=2 ，即时，有3-2而0从弓,

11、取不到最值，A错误:对于B: 22+22+122严声访=2弋2i+i =2寸方=472 ,当且仅当22。=2?g* 31即当, /?=4时取等号，所以B正确；设 /?(/?)= 1 +对于C:因为+=1,所以。=1一力，所以+sin力=1+sin力,sin b, 0Z?5 ,那么 /(/?)=-1+cos /?0,所以刀（b）所以刀（b）上递减，所以/?()/?()= 1,所以 l-b+sinl,故C正确;对于 D:设 g()=ln a+ I a, ； a0,所以所以1）为增函数,所以vg3)g(l),即:一In 2Vg3)0,所以lna+1。0,即人+ln0,所以D错误.所以lna+1。0,

12、即人+ln0, y0),所以,+-=y12 + 水 + 2$ +2/12 =12当且仅当今 =J-时等号成立，所以;+J的最小值为得+半，应选C.3) tXa y1Z3答案：cf+at+ 1112 .函数4x)=: (WR),假设对于任意的xN，贝x)23恒成立，那么。的 人I 1取值范围是.解析：对任意xWN,危)23,即正当辛寺恒成立，即心_(叶 +3. X + 1 XJQQ设 g(x)=x+； , xN,那么 g(x)=x+； 24P, 人人当k=2吸 时等号成立，又g(2)=6, g(3)=#,:g(2)g(3), g(X)min = T . J卜+J +3W-1, or q ,故的取

13、值范围是一1,+J.答案：+8)13 .正实数x, y满足4+)2+刈=1,那么孙的最大值为； 2x+y的最大值为解析： 1 一D=4+224.D，5不忘1, Ax32,得 32. x2又 x2,所以 3x2-32r+640,解得2y8.所以AN的长度的取值范围为(2, D U(8, +8).3/(2)因为 S二AMPN= , 人 43 (工一2) 2+12 (大一2) +12=7212/vT=3(a2)+ +1222、3 G-2) 士 +12=24, 人 41人 乙12当且仅当3。一2)= ,即x=4时，等号成立.所以当AN的长度是4m时，矩形4MPN的面积最小，最小值为24 m2.C. 4

14、72D. 8解析：由基本不等式得x+），22而 =8,当且仅当x=v=4时等号成立.答案：D42.假设 x0,那么 （）AA.有最大值，且最大值为4B.有最小值，且最小值为4C.有最大值，且最大值为2gD.有最小值，且最小值为26解析：x0时，工+7 22yxX： =4,当且仅当x=2时等号成立.应选B.答案：B3.当Q1时，关于函数段）=x+士，以下表达正确的选项是（） .V 1A.函数次x）有最小值2B.函数凡1）有最大值2c.函数人工）有最小值3D.函数r）有最大值3解析：yU）=x+7 =x1+7 +1 x 1x- I22、/ （x-1）+1=3,当且仅当犬一1=7 ,lX IX 1即

15、x=2时取等号.应选C.答案：C4 .假设把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是 m?.解析：设一边长为xm,那么另一边长可表示为（10x）m,由题知OVxVIO,那么面积S=x（IO-x）W（J-J =25,当且仅当工=10一招 即.1=5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.答案：255 .易错题当x2时，工+奇 的最小值为.444解析：设x+2 = f,那么x+二 =/+： -2.又由x22得124,而函数），=/+： 2在442, +8）上是增函数，因此当，=4,即x=2时，-2即x十二而取得最小值，最小值 人I L4-44

16、-4答案：3备考第2步突破核心考点，提升关键能力考点I利用基本不等式求最值【典例引领1例1 (1)Ovxvl,那么入(32外的最大值为解析：x(32x)=； 2x(34J解析：x(32x)=； 2x(34J(2x+3-2 _9I2J =83- 4 -X 即时取等号.当且仅当2x=32xf9 答案(2)。0,历0, a+b=l,那么0+0 (1+)的最小值为.解析:(1+9 (1+5 =(1+等)(|+皇)=(2+匀-(2+y=5+2+g25+4=9.当且仅当片人巨时，取等号.答案：9%0,)0,工+3丁+入丁=9,贝iJ%+3)，的最小值为.解析：法一(换元消元法)由得9(x+3y)=； x3

17、ywg ，当且仅当x=3y,即x=3, y=l时取等号.即(x+3)，)2+ 12Q+3)，) 一 1082(),令 x+3y=/,那么 X)且产+12/10820,得，26,即x+3y的最小值为6.法二(代入消元法)9 - 3y由 x+3y+jty=9,得-=1J ,1 y能以 449-3v+3y (1+y)所以在3),一f +3y-i+y_9+3r _3 (l+.v) 26 (1+y) +12=l+y =1+y12/Y2=3(l+.y)+币 -622 yj3 (1+y) .不-6= 12-6=6,17当且仅当3(l+y)=72L ,即y=l, x=3时取等号， 1十y-所以x+3_v的最小

18、值为6.答案：6思维引申(1)(变问法)假设本例(2)中的条件不变，那么的最小值为.解析：因为 a0, b0, a+b=l,所以，+v =色土 +=2+ 4-r 2+2a/- - 7 =4,即,4-7 的最小值为 4,a b a b a b j a b r a b当且仅当=/=)时等号成立.答案：4(2)(变条件)假设本例(2)中条件变为6/0, b0, 4a+b=4,那么(1+十)Q+/的最小 值为.解析：由4n+=4得=1,(+)同H+咧W=(2+卷)(河=1 +与+言+4瑞+2/|+挈.当且仅当4啦。=小。时取等号.答案：?+挈思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据

19、式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 求解.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1” 代换的方法；三是消元法.对点练1.*0,比0, 3a+b=2ab,那么。+人的最小值为.解析：因为3+8=2也所以卷 +/ =1,又。0, b0,故。+力=3+。)岛+/)=2+费22+5,当且仅当群君时取等号时，的最小值为2+3.答案：2+小2 .,那么一)=己一2+4.二的最大值为.解析：因为,所以54。0,那么兀0=4l2+；j =-(5-41+那么兀0=4l2+；j =-(5-41+3W 2、/ (54.v) c 1+3=24-5

20、4x当且仅当57/匕，即尸I时，等号成立.故7U）=4x2+1三 的最大值为1.3 .假设正数x y满足x2+6xy 1 =0,那么x+2y的最小值是.1 一炉得(Kv0,印, Lvo,A0,1-A-2 解6x 0,解析：因为正数x, y满足x2+6xy 1 =0,所以），= :.由彳=乎，y=* 时取等号.故x+2y的最小值为答案:4 .那么屋的最小值为解析：由 ah0,得 ah0,=4=44b+a-6十(ab)4 干当且仅当人=4一且持，即=也，b=与时取等号.丹马7的最小值为今答案：4考点2基本不等式的综合应用典例引领【例2】（2021 .辽宁葫芦岛二模）在中，点P满足2而=PC ,过点

21、P的直线 与相，4。所在的直线分别交于点M, N,假设病=xAB , AN =yAC （x0, y0）,那么2x +y的最小值为（）A. 3C. 1f思维点拨由向量加减的几何意义可得力=竿 +华，结合有标=绡 +AC-AB 2AB = 十AC-AB 2AB = 十37 ,根据三点共线知5 +/： =1,应用基本不等式力”的代换即可求最值，注意等号成立 的条件.解析：由题设，如以下图所示：AP =AB +BP =AB + =AB竽,又病 =xAB , AN =yAC (x0, y0),崩=空 +第，由M, P, N三点共线，有5+七=1,沁+尸3+)娃+或=3 +至+8 3 +2怎得=3,当且仅

22、当个时等 号成立.答案：A(2)假设对任意x0, /+；+恒成立，那么”的取值范围是.解析：设产f +,假设对任意X。，. +恒成立，只需a2)，max.因为X0,所以产33 =士 & 匕 =当且仅当尸1时取等号.士+3-+3所以。的取值范围是1, +8).答案：/ +8)思维升华(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的 条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件， 从而得到参数的值或范围.对点练1. (2021.安徽安庆一中三模)。0, h0,直线八：x+(a4+1=0, /2： 2/zr+y2=0

23、,且6_1_/2，那么? +工的最小值为()B. 4A. 2解析：因为/|U2,所以20+。-4=0,即+1+2=5,因为 0, /?0,所以 ”+10, 2比0,X - (a + 1 + 2份 + 1 =三 JJ2+备用）35当且仅当,by时，等号成立.答案：D2.Q0,）0,且;=1，不等式十1 2加恒成立，那么实数机的取值范围是解析：不等式5+1 2?恒成立可转化为住+痴2/.rv23由石铉=1，得2，+3,孙即+- =1.因为取汹，所以方+| =（2+3）8+3 =8 +曰+22樵卷+2=4,当且仅当当且仅当21=3x3x=2yr时取等号，所以+lx y故实数，的取值范围是（-8, 4

24、.答案：（一8, 4考点3利用基本不等式解决实际问题典例引领1【例3】经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种 物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货 并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问 题,具体如下：年存储本钱费（元）关于每次订货（单位）的函数关系为二华+平，其中A 为年需求量，8为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料， 年需求量为6 000吨,每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元.假设该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储本钱费；（2）

25、每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储本钱费最少？最少费用为多少?解：（1）由题意可得A = 6 000, B=120, C=2 500,所以存储本钱费7U） = 60x+15 000 00030015 000 00030015 000 000假设该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储本钱费为7（300）=60X3003=68 000(元).(2)因为存储本钱费T(x)=60k+ “叫 , A0,j Lc、15 000 000=60 000,所以 71x) 2 2 60x X当且仅当6。户里管，即L5（X）时，取等号.所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储本钱费最少，最少费用为60

26、 000元.思维升华（）数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，其关键在于把实际 应用问题转化为数学问题.（2）解决实际应用问题时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数，根据实际问 题抽象出形如./U）=g（x）+云（Q0）的解析式，然后利用基本不等式求解.对点练1 （2022河北唐山一中模拟）某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型 的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFG”构成的面枳为200 m2的十字型地域，计划在 正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/“2,在四个相同的矩形上（图中阴影局部）铺 花岗岩地坪,造价为210元成，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草

27、坪,造价为80元/n?.设 总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）. S的最小值是,此时x的值是o（x） Y2 解析：由题意，又 AM0,有 01一”）2 +勺（X2-X3）+（丁2一心）三yj（XiX3）2+ （|?3）2 一、利用柯西不等式求最值【例1x0, y0, 1 +.= 1,那么乎x+a/2 y的最大值是.解析：由柯西不等式得仔+炉）（F+12） gxi+yXl） 2 =修+） ,所以1X22+）,当楙=y，即工=啦，,=乎 时等号成立.所以楙+yW& ,即乎工+& y的最大值是2.答案：2（2）x, y满足x+3y=4,那么4/+）2的最小值为.解析：（.1+3y）2在（4/+），2）6+9）,