2022省考行测笔试-数量-高频考点解析学习资料.docx

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1、学习任务：1 .课程内容：工程问题、经济利润问题2 .授课时长：3小时3 .对应讲义：156页161页4 .重点内容:（1）掌握工程问题的三种考法与对应解题步骤，以及常用的赋值方法（2）掌握牛吃草问题的公式及题型判断（3）掌握与售价、成本、利润、折扣、利润率等相关的公式（4）掌握经济利润问题中的分段计费问题第四节工程问题【知识点】三量关系：总量二效率*时间，读书时常常遇到，应用题绝大多数都 是工程问题，本身不难，系统性地学习目的是让大家做到又快又准。考查题型：1 .给完工时间型（简单），给出多个完工时间。 赋总量（完工时间的公倍数）。9 算效率：效率=总量/时间。9根据工作过程列式计算。4 例

2、：搬完一车传，小邓需要2小时，小健需要3小时，现俩人合作， 需要多久？答：俩人合作，不是简单的时间相加，而是效率的加和。有的同学将工作总量 看作“单位1”，小邓的效率=1/2,小健的效率=1/3,则合作时间二1彳（1/2+1/3） =6/5=1. 2o现在可以不用这样做，将总量看作2、3的公倍数6,则小邓的效率 =6/2=3,小健的效率=6/3=2,合作时间=6/ （2+3） =1.2。2.给效率比例型（重点）。3给具体单位型（简单）。4牛吃草型（套路）。【解析】例1.“某种蔬菜进价5元/斤，售价10元/斤”，则一斤蔬菜赚5 元“包 天卖完,有2天各剩余20斤，有1天剩余10斤，列比5*(10

3、0*4+80*2+90) 二3250,有同学错选C项，因为在算的时候，只盯着赚的，没有关注成本，还有 剩的没卖出去，算账的时候需要把成本扣除。当有未售出的时候，需要考虑亏损，正 常做题，有两种角度。方法”2天各剩余20斤，有1天剩余10斤”，总共亏损50斤，成本5 元/斤，总利润=总利润-亏损二3250-50*5=3000。方法二：“过去7天里，菜商每天购进该种蔬菜100斤”，总共进货700斤， 其中有50斤没卖出去，那么卖出700-50=650斤，“售价10元/斤”，所以总收入 =650*10； “进价5元/斤”，那么总成本=700*5,则总利润=总收入-总成本 二10*650-5*700=

4、6500-3500=3000。【选 B】【注意】Tips：有未售出时需要考虑亏损，建议用总收入-总成本。【例2)(2019深圳)某公司每月成本比上月增加10万元，收入比上月增加 20%0已知该公司今年1月份亏损10万元，2月份亏损8万元，则该公司在今年 几月份可以第一次实现盈利？A. 3B.4C. 5D.6【解析】例2.从1月、2月入手，经济利润问题，量比较多的，列表分析。 假设1月成本为X, “每月成本比上月增加10万元”，则2月成本为XH0；假设 1月收入为Y, “收入比上月增加20%w ,则2月收入为1.2Y0根据“今年1月份 亏损10万元，2月份亏损8万元”，利润:收入-成本，“亏损”

5、则利润为负的， 列式：Y-X=-10，1.2Y- (X+10) =-8。1月2月成本XX+1O收入Y1.2Y利润Y-X=-1O1.2Y-(X+10)=-8将式转化为：Y=XT0，将代A式，1.2*(XT0)-(X+10)=-8,0.2X=14,解得X=70,则Y=XTO=60。将数据填入表格，1月：成本70,收入60； 2月：成 本80,收入72,按照规律往下推，看哪个月份可以第一次实现盈利。3月：成 本为80+10=90 ,收入直接用72*1.2比较麻烦，可以先算 72*20%=72*10%*2=7. 2*2=14. 4,则收入为 72+14. 4=86.4,没有超过;4 月：成本 为 90

6、+10=100, 86. 4*20%=8. 64*2=17+,则收入为 86. 4+17 100,具体是多少不 用算，只要超过即可，所以该公司在今年4月份可以第一次实现盈利。选B成本i月收入1.2Y利润YjX=-106J1.2Y-(X+10)=-8伙力【注意】复杂题目解题逻辑：1 .列表：理清关系（直观）。2填数：根据基本公式填出所有条件（例：利润二收入-成本）。3求解：根据等量关系列方程求解。4给出具体价格直接算（例1、例2）；没给具体价格则赋值（例3、例4）, 往往赋成本（10、100）o【例3）（2020广东选调）商场销售某种型号的冰箱，上半年的利润率为20%, 由于下半年的进货价格下降

7、10队商场决定适当下调销售价格，但调整后下半年 的利润率仍然达到了 24%。则同上半年相比，下半年的销售价格降低了：A. 5%B. 6%C. 7%D. 8%【解析】例3.看到“20乐10乐24%”，只给了比例关系，注意比例找倍数 特性求的是具体量，本题求的是百分数，只有比例，没有具体量，往往赋值（赋 成本最好做）。时间：上半年、下半年，有进价（成本）、售价、利润率，列表分 析，已知“上半年的利润率为20犷、“下半年的利润率仍然达到了 24%” ,将数据 填在表格上，赋值上半年进价为100（赋10也可以，但计算会出现小数点），吓 半年的进货价格下降10%”，则下半年进价为90o题目问售价的变化，

8、公式：利润率=利润/成本，禾II润二售价-成本，假设上半 年售价为 x, 20%= （x-100） /100,解得 x=120；同理,下半年：（y-90） /90=24%, 解得尸111.6。问同上半年相比，下半年的销售价格降低了百分之多少，相当于 求增长率，l （现期-基期）座期，上半年为基期，下半年为现期，8. 4/120=7%, 即下降了 7%,对应C项。【选C】售价进价（赋值）利润率（售%价）Z上半年 NJ为100，20%如下半年丫（II16）90叫中24%华2%a*二诩呐/【注意】1 .利润率二（售价-进价）/进价-r二（现期-基期）/基期，所以利润率的结 构与增长率的一样。2 .现

9、期二基期*（l+r）f售价二进价*（l+利润率），则上半年售价=100*（l+20%） =120,下半年售价=90* (1+24%) =111.6。例4 (2019青海法检)某品牌月饼进价比上月提高了 4%,某商场仍按上 月售价销售该品牌月饼，利润率比上月下降了 5个百分点，那么该商场上月销售 该品牌月饼的利润率是多少？A. 20%B. 25%C. 30%D. 32%【解析】例4.跟上题的逻辑一样。时间：上月、本月，有进价、售价、利 润率，列表分析。题目只给了比例，需要赋值，往往赋成本(进价)，赋值上月 进价为100, “某品牌月饼进价比上月提高了 4%”，则本月进价为104；注意售价 不能再

10、赋值，如果随便赋一个，那么结果就被赋出来了，利润率二(售价-进价) /进价，“某商场仍按上月售价销售该品牌月饼”，售价不变，假设售价为x,则上 月利润率为(x-100) /100,本月利润率为(x-104) /104ox- 104匚售价(不变)进价(提高4%)利润率(售弁价)上月X100 一 100100本月X104104“利润率比上月下降了 5个百分点”，即差值是5%,上月利润率-本月利润 率=5/100 (5 个百分点),列式:(x-100) /100- (x-104) /104=5/100,合并同 类项，(x-105)/100=(x-104)/104,不要害怕计算，数量关系核心不是考计算

11、， 考的是思维，往往复杂的数据能抵消、化简，104x-104* 105= 100x-104* 100, 4x=5*104,解得 x=130,所求二(130-100) /100=30%o【选口【注意】计算小技巧：合分比定理。1 .A/B=C/D二(AC) / (BD),两个分数相等，将分子、分母同加同减，结 果不变。2 .举例:5/10=3/6= (5+3) / (10+6) = (5-3) / (10-6) =1/2。3 .意义(x-105) /100= (x-104) /104,可以直接快速求解，分子、分母减 一下(消掉 x), (x-105)/100=(x-104)/104=(x-105)

12、-(x-104) / (100-104) =(-1) / (-4) =1/4=25%,即本月利润率=(x-104) /104=25%o “利润率比上月卜降了 5个百分点”，所求=25%+5*=30机二、分段计费【知识点】分段计费：1在生活中，水电费（有阶梯水费、阶梯电费）、出租车计费（有起步价、 里程费）等，每段计费标准不等。2计算方法：（1）先按标准分开看。（2）计算之后再汇总。3.引例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元；超出3公里的部分， 每公里2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？答：如图，12公里分为3公里（按照8元收费）和9公里（按照2元/公里 收费），所求=8+9*2

13、=8+18=26 元。例1 （2020新疆）某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格 为4元/立方，若每月使用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80% 收费。某用户2月份使用天然气100立方，共交天然气费380元，则该市每月使 用天然气标准立方数为多少立方？A. 60B. 65C. 70D. 75【解析】例1.前面使用的天然气按照4元/立方收费。”若每月使用天然气 超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80驯攵费”，超出部分收费;4*80%=3. 2 元/立方（正常逻辑是用得多就涨价，因为比较浪费，但新疆天然气资源比较丰 富，估计鼓励大家多用）。有两种收费标准，画一条线段，标准

14、内收费是4元/ 立方，超出部分收费是3.2元/立方。“某用户2月份使用天然气100立方，共交 天然气费380元”，设该市每月使用天然气标准立方数为x立方，则超出部分的 天然气二（100-x）立方。列式:4x+3.2* （100-x） =380,化简为 0. 8x=60,解得 x=75立方，对应D项。【选）J【注意】鸡兔同笼不是一种题型，而是把解方程的过程转化为思维的过程。 如果全部按照4元/立方收费，则100立方一共收费4*100=400元。实际收费380 元，少了 20元，是因为超出部分降价了。原来是4元/立方,超出后是3.2用 立方，则1立方少了 4-3. 2=0.8元，超出部分的天然气二

15、20/0. 8=25立方，说明 有75立方没有享受优惠，对应D项。这种思维和列方程没有优劣，要么解方程 （比较直接），要么找差异（省略了列式，把这个过程变为思维的过程）。【例2】（2020河南）同事甲、乙两人共携带120千克行李乘坐飞机，根据 规定，甲单独托运则超重需支付200元，乙单独托运则超重需支付100元。若全 部行李由一人负责托运，则超重需支付450元。问每位乘客的免费托运的行李最 多为多少千克？A. 20B. 25C. 30D. 35【解析】例2.甲、乙行李合在一块付费更多，是因为总重量不变，但只享 受了 1个免费额度。如果甲、乙分开付费，则可以享受2个免费额度。有人想到 在实际生活

16、中坐飞机的免费托运额度是20千克，但答案不是20千克，因此不能 根据常识秒杀。甲、乙都有1个免费额度，设为x,甲超出一部分，花了 200元； 乙超出一部分，花了 100元（甲、乙行李重量不一样，所以自己付的钱不一样）。甲、 乙合在一起付费时，超重部分=120-x,设超重单价为y,则（120-x） *y=450 ，一个方程两个未知数不好解，也不好代入。接下来分析差异，甲、乙合在一起 付费钱变多了，多付了 450-200-100=150元，原来有2个x免费，现在只有1个X免费，即少了 1个X免费，x*y=150。/得(120-x) /x=3,解得x=30 千克，对应C项。【选C】【注意】1本题突破

17、口是找差异，分析甲、乙合在一起付费钱变多了的原因，分开付 费时享受2个x免费额度，合在一起付费时享受1个x免费额度。2为什么不能认为因为多付费了 150元，150有一3因子，则免费总量是3的 倍数？答：如果收费标准是7.5元/千克(7.5也是3的倍数)，则免费总量为20 千克。经济利润问题基本不考虑倍数特性，数据带小数点很正常。偶尔能用倍数特 性做对，但比较难想，没有列方程直接。三、函数最值【知识点】函数最值：J题型特征：单价和销量此消彼长(单价下降，则销量上涨；单价上涨，则 销量下降)，问何时总价/总利润最高?如卖系统班,卖980元有2万人买。如果 卖9800元，肯定买的人少；如果卖98元，

18、估计有200万人买。2引例：单价为3000元，可卖出16万件。若单价每提升300元，销量会降 低1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？答：单价上涨，则销量下降。如果卖0元，只是销量最高，但没有销售额， 总收入二单价*销量。在3000元的基础上涨价，如果设涨价了 x元，则销量不好 表示(按照300 一个单位提升)。设涨价次数为x (看涨几次300),则总收入二 (3000+300x) * (16-x)o展开后是初中学的一元二次函数(y=ax?+bx+c),求y 的最大值，有同学想到-b/ (2a)、韦达定理、求导等，但都不够快。一元二次函 数图像是抛物线，关于对称轴对称，对称轴为-b/

19、(2a),但展开后找a、b也比 较复杂，因此不找对称轴，利用对称特性做题。关于对称轴对称的任意两个点的平 均数就是对称轴的位置，与x轴的两个交点最特殊，此时y=0,即令两个括号分 别为0,解得xlTO, x2=16o接下来找对称轴，为(-10+16) /2二6/2二3,即 x=3时取得最大值，所求=3000+300*3=3900元。3.计算方法(两点式)，设提价次数为x： (1)令总价/总利润为0,解得x1、x2o 当x=(x,+x2) /2时，取得最值。例1 (2019青海)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了 合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的

20、销售 量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不 得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？A. 100 元B. 102 元C. 105 元D. 108 元【解析】例L每件成本是70元，销售单价是120元,则利润=120-70=50 元。“销售单价每降价1元，每天就可多售出5件”，属于此消彼长，价格下降， 则销量上升,求最大利润。总利润=单个利润*销量,设降价次数为x,则总利润 =(50-x) * (100+5x),令两个括号分别为 0,解得 x,=50, x2=-20o 当 x= (x+x2) /2= (50-20) /2=30/2=15时，总利润取

21、得最大值。降价15次即降了 15元，此 时售价二120-15=105元，对应C项。【选口【注意】为什么不是120-x,而是50-x?答：求什么列什么，本题求的是利润。如果问的是收入最大，则用120-xo例2 (2020江苏)某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天 可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商 品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：B. 6元A. 5元C. 7元D. 8元【解析】例2.“某商品的进货单价为80元，销售单价为100元”，利润 = 100-80=20元。”已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件”，价格和销量 此消彼长

22、，问的是利润最大化，总利润二单个利润*销量。设降价x次，则总利润 =(20-x) * (120+20x),令两个括号分别为 0,解得 xi=20, x2=-6,当 x= (20-6) /2=7时，取得最大利润。降价7次，即降了 7元，对应C项。选C例3 (2018新疆兵团)某农家要建造一个新的矩形鸡圈，如图所示，该 鸡圈一面靠围墙，另外三面共使用了 200米长的铁丝网。问如果想让鸡圈的面积 最大，鸡圈的长和宽比值应为多少？鸡圈A. 1： 1B. 2： 1C. 3： 2D. 7： 3【解析】例3.有同学认为选A项，因为周长一定时，正方形面积最大。本 题周长不一定，200不是周长，是3条边的长度，

23、围墙那条边的长度会有变化。 设宽为x,则长=200-2x。面积二长*宽=(200-2x) *x,长与宽的和一定，如果长 增加，宽一定减少，属于此消彼长，求乘积最大，分别取0即可，解得XL100, x2=0o 当*= (100+0) /2=100/2=50 时,面积最大，此时长=200-2*50= 100,所求 =100： 50=2： 1,对应 B 项。选 B【注意】本题不建议用求导、-b/ (2a)等方法，因为需要展开找每一项的 系数，没有老师的方法快。【练习】(2018联考)某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售， 可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。问在

24、最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?A. 60B. 80C. 90D. 100【解析】练习.“若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株”，10000=1 万，问最大收入，收入二单价*销量。设涨价x次，则收入二(4+0. 4x) * (20-x), 令两个括号分别为0,解得x1=T0, x2=20o当x=(-10+20) /2=10/2=5时，收入 取得最大值。所求二(4+0. 4*5) * (20-5) =6*15=90,对应C项。【选口【注意】1 .如果设涨价了 x元，还要看有多少个0.4,再看涨了多少销量，没有直接 设涨价次数简单。2 .误选 B 项的原因：14*5=70、1

25、5*4=60、原*6=90、16*5=80、18*5=90、15*8=120, 有的小伙伴是计算错误了，一定要细心谨慎一点，不要想当然。利润=售价一进价八利润率=利润+进价折扣=折后价+询价总价=单价X不薮-方法公式法、赋值法常见题型：水电费、出租车费、税费等 |解题方法：分段计算、汇总求而姓, 单价和数量此消彼长 .心目 求最大利润或总价 J函数最值-方法 两点式【注意】经济利润问题：1.基础经济(题目比较复杂，列表更直观形象)：(1)公式：利润二售价-进价。利润率:利润/进价。【例1】（2021广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工 程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队

26、单独施工，2（X）天可完成该项目； 如果由乙队单独施工，则需要300天。甲、乙两队共同施工60天后，甲队被临 时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？A. 120B. 150C. 180D. 210【解析】例1.给完工时间型工程问题，三步走。（1）赋总量：赋值总量为 200、300的最小公倍数600； （2）求效率：甲的效率二600/200=3,乙的效率 =600/300=2； （3）再做题：设乙单独完成的时间为t,根据题意列式：（3+2） *60+2t=600, t=150,所求二60+150=210,对应 D 项。选 D【注意】切入点：给完工时间型（多个完工时间）。1 .赋

27、总量。2 .求效率。3 .再做题。例2 （2020山东）甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12天,其中 甲单独完成需要20天。现8月15日开始施工，由甲工程队先单独做5天，然后 甲、乙两个工程队合作3天，剩下的由乙工程队单独完成，则工程完成的日期是：A. 9月5日B. 9月6日C.9月7日D.9月8日【解析】例2.给完工时间型工程问题，（1）赋总量：赋值总量为12、20的 公倍数60； （2）求效率：甲的效率=60/20=3,甲+乙的效率=60/12=5,乙的效率 二5-3二2； （3）再做题：设乙单独完成的时间为t,根据题意列式：3*5+5*3+2160, t=15, 一共施工了 5+3+

28、15=23天,8月一共31天，31-14=17天，即8月份干了 17天，剩下23-17=6天,所以完成的日期是9月6日，对应B项。【选B】【注意】1.8月15日开始施工，说明8月15日是算时间的。折扣二折后价/折前价。总价二单价*个数。（2）方法：公式法、赋值法（没有给具体价格，给的都是比例）。2 .分段计费：（1）常见题型：水电费、出租车费、税费等。（2）解题方法：分段计费、汇总求和。3 .函数最值：（1）特征：单价和数量此消彼长（或者长和宽此消彼长）。求最大利润（用单个利润乘）或总价（用单价乘）。（2）方法：两点式，令两个括号分别取0,解得Xi、x2,当x=（Xi+X2）/2 时，取得最大

29、值。如果x不为整数，如为6.5,则取最接近的，涨价/降价次数 一定是整数，抛物线是对称图形，距离顶点越近，数值越高，因此取6和7都可 以。如果x是6. 6,则取7；如果x是6. 3,则取6o【注意】1.预习范围：。 第六节行程问题（公式较多，一定要看看题目，不然听课比较吃力）。9 第七节几何问题（主要回忆基本公式和定理）。2 .预习要求：（1）原则上要做完每个章节至少50%的题目。实在不会做的话，对每节前几题要有充分的思考，熟悉题型和题意。3 .明晚课前提前10分钟（18： 50）答疑。4 .道阻且长，行则将至。上岸是一辈子的事，但公考不是一辈子的事，花几 个月或者一年的时间解决一辈子的工作，

30、性价比是非常高的，不要太着急，静下 心来慢慢学。【答案汇总】第四节 工程问题：1-5： DBCCB； 6-7： AD第五节 经济利润问题：一、基础经济：1-4： BBCC；二、分段计费：1-2：DC；三、函数最值：1-3： CCB第五节行程问题【知识点】行程问题：L三量关系:路程=速度*时间（S=V*T） o2.考查题型：（1）基础行程（简单）。比如一辆车、一个人的运动。（2）相对行程（重点）。两个人、多个人相对而言的运动。（3）复杂相遇（套路）。多次相遇，非常套路的题型。【知识点】普通行程一一火车过桥（隧道、洞）问题：1 .火车完全通过桥（车头上、车尾下）：0 总路程二桥+车。2 如下图：路

31、程其实是一个线段，距离是由两点决定的，比如以车头为参 考点，从A点到点，走的路程是桥+车；或者以车尾为参考点，从B到3 点, 走的路程也是桥+车。2 .火车完全在桥上（车尾上、车头下）：3 总路程二桥一车o4 如下图：通过点确定，从车头到车头看，即A到A点的距离是桥-车。例1 (2019河南)某隧道长1500米，有一列长150米的火车通过这条 隧道，从车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50秒，整列火车完全在 隧道中的时间是：A. 43. 2 秒B. 40. 9 秒C. 38. 3 秒D. 37. 5 秒【解析】例1.开始状态是车头进入，完全通过隧道，即车尾出来，走的路 程二隧道+车=150

32、0+150=1650米，完全通过隧道的时间为50秒，则火车速度 = 1650/50=33米/秒。列车完全在隧道中(类似于完全在桥上)，则路程二桥-车 =1500-150=1350米，所求时间二路程/速度=1350/33,可以直接除。或者看到33 想到 1/3, 1350/33= (1350*3) / (33*3) =4到 开头，接近 B 项。选 B【知识点】基础行程一一等距离平均速度：4 .平均速度二总路程/总时间。比如走1000米的路程用了 10秒钟，平均速度 = 1000/10,这是生活实际中的速度，考试中常考的是等距离平均速度。5 .公式:V=2V.V/ (V.+V2) o比如老师开车以

33、%的速度从左往右走了 S,又 以”的速度返回走了 S,相当于同样的路程走了两次，全程的平均速度二总路程/ 总时间=2S/ (SA) + (S/V2) =2/ (1/V.) + (1/V2) =2V1V2/ (1A+1A)* (V,*V2) =2VlV2/ (V.+V2),记忆：2倍乘积/两者之和。6 .适用于：等距离两段(直线往返、上下坡往返)。公式推导不重要，记住 适用条件即可。例2 (2020联考)小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过 一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现 忘带课本，马上返回，从高家到赶回家中共用了 1个小时，假设小明当天平路骑

34、行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18 T米/小时，那 么小明的家距离学校多远？B. 4. 5千米D. 6. 5千米A. 3. 5千米C. 5. 5千米【解析】例2.画图分析，同样的路走了一遍又返回，判定为等距离往返问 题。先不看平路，上坡速度二6千米/小时，下坡速度二18千米/小时，则上下坡平 均速度=2VM/ () = (2*6*18) / (6+18) =9千米/小时。已知平路速度=9千米/小时，说明整体的速度就是9千米/小时，总时间为1小时，总路程二1*9二9 千米，观察没有答案。注意问的是家到学校的距离，算出来的9千米是往返路程, 因此小明家距离学校9/2=4.

35、 5千米，对应B项。选B【注意】如果算出来上下坡平均速度不是9千米/小时怎么办？答：假设算出来上下坡速度为8千米/小时，平路速度为9千米/小时，此时 不可以用等距离平均速度公式再求一次，因为不知道平路和上下坡的路程是否相等， 题目做不出来。这样的题目考查过两三次，上下坡速度和平路速度是相等的，这是出 题人设计好的，如果下次没有时间，可以大胆用平路速度推。这类题目有两种考法, 要么上下坡平均速度二平路速度；要么给出路程的占比(比如平路占1/4,上下坡占 3/4) ,【知识点】相对行程：通过方向识别。5.直线相遇：同时相向而行。相向即往对方的方向跑，在中间某点相遇，研 究的是路程之和。4. 公式：

36、S和二V和*T遇。5. 如下图：假设小黑速度%、小黄速度V2,两人同时出发，经过时间T 在三角处相遇，S和=*T+%*T=V和*T。（3） S和:就是两人走的路程之和。6.直线追及：同时同向而行，往同一个方向跑，一前一后，从后面追上。4 公式：S茏二V*T迫。5 如下图：假设小黑速度为V快，从B点出发，小黄速度为V慢，从A点出发，两人同时出发往右边跑,S羌二V快*T-V粒*T=（V快TQ *T=V.*T。璧3工氧一工一（3） Sq追及刚开始时两人相差的距离。小黄不管跑多远，一定会被小黑 追上，后面蓝色的线段都会被抵消，因此多跑的距离就是AB之间的距离（开始 存在的差距），当追上的时候，就是把差

37、距抹平的时候，即起点的距离。例1 （2020河北）甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一 条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此 反复，己知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80也分钟。不考虑 狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米？A. 1100B. 1000C. 960D. 880【解析】例1.本题是行程问题中非常经典的题型。通过“相向面行”判定 为相遇问题，公式：S和二V和*T。甲和狗在左边，乙在右边，狗往返跑，狗的路程 二狗的速度*狗的时间，己知狗的速度为80米/分钟，狗在往返过程中跑了多少趟 不重要，只要知道时间即可。狗

38、和人一起跑，根据两人相遇的过程求时间，两人走 的路程=1200-100,速度为 40+60,列式：1200-100= （40*60） *t,解得 t=ll 分钟，则狗跑的的路程=80*11=880,对应D项。【选D】【注意】积累思维：已知S狗二80*3出现倍数关系，找80的倍数，转化为 找8的倍数，排除A、B项；剩下C、D项会提高正确率，或者代入计算。例2 （2019联考）某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/ 小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半， 在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当 乙追上甲时，他们与八一村的距

39、离为：A. 25公里C. 35公里B. 30公里40公里【解析】例2.画图分析，整个路程是60公里，甲的速度为20公里/小时,走了 1小时，所走的路程为20公里，之后速度减半变为10公里/小时；乙以50 公里/小时的速度追甲，在某点追上，判断为追及问题。S爰斗差*3路程差为起 点的距离，对应甲先走的20公里。V =50-10, 20= （50-10） *t,解得t=0. 5小 时。乙跑了 50*0. 5=25公里，注意问的是他们与八一村的距离,所求=60-25=35 公里，对应C项。选C【注意】不要自己脑补条件，没有说“路面湿滑导致乙的速度减少一半”， 所以乙的速度不变。【知识点】5 .环形相

40、遇（同时同点反向出发）：公式：S和二V遇。（6）相遇N次，SN濯。如下图：假设小红往右走，小蓝往左走，两人在某点相遇，发现蓝色 线段+红色线段正好是一圈的距离，即相遇一次，走一圈；再次相遇的时候，再 走一圈；说明相遇N次，S和二N圈。6 .环形追及（同时同点同向出发）：Q 公式：S整二V势*丁追。5 追上N次，S铲N圈。6 如下图：想象长跑比赛，需要跑很多圈，老师跑得慢，苏同学跑得快， 当他追上我的时候，超了我整整一圈，即追上一次，多跑一圈；再追上一次，又多 跑一圈；说明追上N次，多跑了 N圈。7 .对比分析：Q 相遇：相向而行/反向而行，S和二V和*T遇。5 追及：同向而行，S铲V *T追o

41、0 相遇就是看和，追及就是看差。在环形问题中，S/尸N圈，S炉N圈。例3 （2020江苏）两人在环形跑道上匀速跑步，同向跑每3分钟相遇一 次，相向跑每1分钟相遇一次。若速度较快者每圈用时1.5分钟，则速度较慢者 每圈用时是：A. 3分钟B.4分钟C. 5分钟D. 2分钟【解析】例3.方法一：同向跑为追及，相向跑为相遇。根据题干信息列式： 先分析同向跑：相遇一次，S行1圈二（V快T慢）*3分钟；再看相向跑：相遇一次，S fD=l圈二（V快+V慢）*1分钟；已知“若速度较快者每圈用时1.5分钟”， 即1圈斗快*1.5分钟。只有时间，赋值路程，假设一圈的长度为3米，可以解得V 快=3/1. 5=2,

42、 S 差=3二（V 快一V 慢）*3,则 V 快-V 偿=1；或者 S 和二3=（V 快+V 慢）*1, 则V快+V祖=3,解得V慢二1,问速度慢的用时，所求二3/1二3,对应A项。方法二：如果删掉“若速度较快者每圈用时1.5分钟”，本题可做。S61 圈二（V快T慢）*3； S和二1圈二川快+丫慢）*1,只有时间，可以赋值路程，假设一圈的长度为3米，类似流水行船问题,V快7*1, V快+V慢=3,两式联立，2V慢=2,解得V慢二1,问速度慢的用时，所求=3/1=1,对应A项。方法三：如果删掉“同向跑每3分钟相遇一次”，本题可做。已知“速度较寸是13分钟1.4分钟：5分钟）.2分钟快者每圈用时1

43、.5分钟”，画图分析，假设右边是速度快的，走了 1分钟，左边是速度慢的，也走1 了分钟，两人相遇。速度快的1分钟走的路程为1/1. 5=2/3, 即2/3圈，两人合走了 1圈，说明速度慢的人1分钟走了剩下的1/3圈，因此速 度慢的走1圈需要3分钟，对应A项。【选A】【注意】5 .方法一中为什么想到赋值？答：之前学了给完工时间型工程问题，一份工程甲干需要5天，乙干需要6 天,则赋值总量为5、6的公倍数30o现在行程问题只给了时间，S=V*T,同样 是三量关系,S川差*3, S=V和*1,此时可以赋值总路程为1、3的公倍数3。6 .行程问题只有时间，赋值路程，假设一圈的长度为3米。【知识点】流水行

44、船：(4) 公式：V顺斗用+V水；V逆二丫7水。可以想象：顺风时候，风会助力， 逆风时候，风是阻力。数学是模型化问题，不用考虑实际情况(如物理上的摩擦 等)，直接加和即可。(5) 注意辨析：(5)静水速度二船速，静水速度是水静止的速度，此时无水速，因此静水 速度二船速。(6)漂流速度二水速，漂流的速度全部来自于水。【例4】(2020新疆)一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6天；逆流而 行，从乙地到甲地需要8天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要 多少天？A. 24B. 36D. 56C. 482.短除法如图所示。【知识点】给效率比例型：1 .赋效率(满足比例即可)。2 .算总量：效*

45、时间二总量。3 .根据题意完成工作。4 .例：搬一堆砖，小邓和小健的效率比为2： 1,合作3小时完成，现在， 小邓先做2小时，然后再交给小健做，问小健需要做多少小时？答：设小邓的效率为2x,小健的效率为x,则总量=(2x+x) *3=9x,根据题 意列式：小邓的工作量=2*2x=4x,小健的工作量=9x-5x,所求=5x/x=5。x最后 被约掉，说明不需要设x,可以将小邓、小健的效率看作2、1,则总量=(2+1) *3=9,设小健需要做t小时,列式:2*2+l*t=9,解得t=5o例3 (2021北京)农场使用甲、乙两款收割机各1台收割一片麦田。已 知甲的效率比乙高25%,如安排甲先工作3小时

46、后乙加入，则再工作18小时就 可以完成收割任务。问如果增加1台效率比甲高40%的丙，3台收割机同时开始 工作，完成收割任务的用时在以下哪个范围内？A. 8小时以内B. 810小时之间C. 1012小时之间D. 12小时以上【解析】例3.“高+百分数”，即比例关系，判定题型为给效率比例型工程问 题。(1)赋效率：已知“甲的效率比乙高25%”，即甲=乙*(1+25%),甲=乙*5/4,赋 值乙的效率为4,则甲的效率为5； (2)算总量：5*3+18* (5+4) =15+的2=177；(3)再做题：丙的效率二甲*1.4=7,列式：177/ (5+4+7) =177/16: 11,对应 C 项。【选

47、C】【解析】例4.根据题干信息可得：S甲乙二（V除+V水）*6, S甲乙二（V船TQ *8, 只有时间，赋值路程为6和8的公倍数24,则有V船+V水=4, V船-V水=3。求的是 漂流瓶，对应水速，抵消船速求水速即可，2V木=4-3=1, V 4=0.5,时间=24/0. 5=48, 对应C项。选C【注意】只有时间，赋值路程，假设甲乙距离为24 （6和8的公倍数）。【知识点】多次迎面相遇（从两端出发）：套路题。6如下图：A、B两人同时从两端出发，在某点第一次相遇走的路程为S；第二 次相遇走的路程为3S （3条线段）；第三次相遇走的路程为5S （5条线段）。建，共走3个S1遇，共走5个S3遇，共走（2n-1）个30结论：第1次迎面相遇，共走1个S；第2次迎面相遇，共走3个S；第 3次迎面相遇，共走5个S；第n次迎面相遇，共走（2n-l）个S。8注意：S为两人出发点的距离，n为相遇的次数。例1 （2020天津选调）小王在甲医院，小赵在乙医院。两人从所在医院 同时骑车出发，来回往返于两个医院之间。已知小王骑车速度为20