北师大版版（2019）必修第一册全册检测卷（二）.docx

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1、北师大版版（2019）必修第一册全册检测卷（二）一、单项选择题1.虚数Z是关于光的方程X4x+q = 0（R）的一个根，且贝1J 二A. 1A. 1B. 22.假设sin那么 cos 2a =(C. 4)D. 5A.2425c 24D. 253 .向量M =（L0）, B = （-1），那么以下与5 + 2B垂直的向量坐标为（A. （1,2）B.（2,1）C. （1,-2）D.（2,-1）4 .掷铁饼是一项体育竞技活动.如图，这是一位掷铁饼运发动在准备掷出铁饼的瞬间,张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓二 经测量，此时两手掌心之间的弧长是7 7T奇，“弓”所在圆的半径为1.05米，那么这位

2、掷铁饼运发动两手掌心之间的距离约为（参考数据：/21.414, 6 = 1.732）（）B. 1.485 米D. 1.945 米A. 1.819 米C. L649米5 .在ABC中，NB = 45,c = 4,只需添加一个条件，即可使 ABC存在且唯一.条件: =3&；8=20；cosC = -w中，所有可以选择的条件的序号为（）A.B.C.D.6 . 一个三棱锥S-ABC的侧棱上各有一个小洞。，E,凡且SQ： DA=SE： EB=CF： FS=3：1,那么这个容器最多可盛放原来容器的（）a 8455- 2A. -B. C. D.-99643cos （a 13、7 .假设tano-tan/?

3、= 2,那么一J隹的值为（）cos（a + /7）即一工加.两46,4当 P在 8C 上时，设 P(4, y)(0 y 4),那么痛= (4,l y),病= (0,2 y)，-311 /. PM-PN = / -3y + 2 = (y-)2 - 知 一PM.PN6,当 P在 A3上时,设尸Cx,0)(0vXK4设 句1 = (_%/),而=(4-乂2)，. PM-丽=%? 4尤 + 2 = (x 2)2 2，当 X = 2 时，(前.俞)min=_2，当 x = 4 时，(PM.Pk)max=2,BP -2PMPN2当 P 在 C。上时，设 P(x, 4)(0 x )尸MPN = 以+ 6 =

4、 (x 2)2 + 2，当X = 2时、(俞.丽)而n =2，当X = 4时，(俞.俞)max =6，SP2PM-PN6.综上可得，2加丽6，应选：C11. D【解析】【分析】由题知BCJL平面A4B,再设PA8外接圆的圆心为。I，三棱锥P-ABC外接球球心为。,三棱锥P 45C外接球的半径为R, 00、= h ,连接。BO过。作8八3C,垂足为进而根据几何关系求得力=1, R = 0,再计算体积即可.【详解】解：因为/ABC = 90。，所以ABL3C,因为 P3_LBC, PB_LAB = B,所以，8C_L 平面如图，设尸AB外接圆的圆心为。三棱锥P-ABC外接球球心为。，连接。01,

5、BOl9过。作8八区C,垂足为。，那么。=。田，所以，在PA8 中，ZABP = ZBAP = 30 9 ZAPB = 1200 9 AB = 6答案第6页，共15页所以，PA3外接圆的直径为.=2,即半径为1, 3a =1, sin /APB设三棱锥P-ABC外接球的半径为R, O，=，那么CD = 2-/z,所以，A。田中，02 =。f2+002,即 R2=l + R在OCD 中，co2 = CD2 + OD2,即a=1 +（2 /2）所以，R? = 1 + （2 /l）2 = + 2 ,解得力=,R =枝,所以，三棱锥P-ABC的外接球的体积为V =乃& =还. 33应选：D12. C【

6、解析】【分析】根据正弦定理可得，sinC = 3sin Asin由基本不等式可求出（ + ”）”的最小值,再根据余 ab弦定理以及正弦定理可将心红化成关于角。的函数，利用三角函数的性质即可求出最大 ab值，从而得到取值范围.【详解】因为 acos B = 3Z?sin A-Z?cos A，由正弦定理得 sin Acos B = 3 sin Bsin A-sin Bcos A，即 sin C = 3sin Asin B .答案第7页，共15页但出上匕*29=4，当且仅当。=5时取等号. abab ab所以 + )-ab所以 + )-ab_ a1 +b2 + 2abahc c2 -2ahcosC=

7、2 +ah2= 2 + 2 cos C -ah 202f 71 I= 2 + 2cosCh= 3sinC + 2cosC + 2 = V13sin(C + ) + 2 ,其中0,sin Asin B3 2 J而OCV71,所以当c+e = g时，取最大值2+如,即（+）的取值范围是 2 abab4,2 + V13.应选：C.【点睛】此题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思 想将所求式子转化成关于角c的函数，再结合辅助角公式求出其最大值.【解析】【详解】JF 1试题分析：由y = 8S”可得交点坐标为（一,一）.由函数y =皿2“+可得 3 2jr2 乃S

8、 TLTL5=媪（2乂可+必,因0伊9 =1.考点：三角函数值14. -#0.25 4【解析】【分析】 利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】 由题意得(M +6)=同2215 3 5 =45 -2a-h -3 h = b -26b = b ,所以答案第8页，共15页所以cos5)a-b同x 1方2b故答案为： 415. 辽4【解析】【分析】根据sin2 3 = EsinA,结合 = 4。，利用正弦定理得到sin 5 ,进而求得cosB = J,再利用 28余弦定理，结合q + c = 5,求得，4c求解.【详解】解：因为 sin? 5 = 3 7 s3 a , 2所以5皿8

9、/? = 。,又方=4。，2所以sinB = 逆，因为ABC是锐角三角形， 8所以 cos8 = J, 8由余弦定理得。2 =a2 +c2 -2accos3 ,即 11/+9 20 = 0,解得。=1,又 a + c = 5,那么 c = 4/ = 4,所以ABC 的面积为 S wc = tzcsin B = x 1 x 4 x,abc 2284故答案为：豆I42/2,+coj【解析】【分析】先根据三角恒等变换得/(另=2而(28-力-再根据周期性可得。=1,即 I 4 /4x) = 2sin -%- -夜，最后根据存在性问题，只需求函数/(x) = 2sin -x- -母在 124) 2 4

10、J区间xe 0,2上的最小值即可求解.【详解】答案第9页，共15页/(%) = 4 cos 69%-sincox4 J= 272cos cox sin cox - 272 cos2 a)x = 42 sin 2a)x - V2(l + cos 2cox) = V2sin2a)x-V2cos2cdx-5/2 = 2sin Icox- -a/2I 4 J因为函数 /(x) = 4cos69x-sin a)x-因为函数 /(x) = 4cos69x-sin a)x-jr(。0)的最小正周期为4, 4 J所以7 = 15 = 4,解得所;所以3 = 2s】n所以7 = 15 = 4,解得所;所以3 =

11、 2s】n7171X24V2当xe 0,2时,7171XG24兀37r 匚匚i ，二T 所以sin 4 4(7i nx(24一也12所以/(“-20,2-伺, 因为存在，且0,2,使得/(。mK。, 所以m/W，2，所以加12攻所以实数小的取值范围为-2夜,+oo)故答案为：卜2叵+8)【点睛】此题考查三角恒等变换化简，不等式能成立问题，三角函数的值域，考查运算求解能力，化 归转化思想，是中档题.此题解题的关键在于根据三角恒等变换化简整理得/(x) = 2sinfx-V2,进而根据不等式能成立问题，转化为求函数最小值问题.I 24 y(1)乃-2【解析】【分析】(1)首先利用辅助角公式及二倍角

12、公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得；(2)首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，利用函数的定义域求出函数的值域，即 可得解.(1)答案第10页，共15页解：函数/(x) = sinx Gcosx = 2sin(x )，所以y所以yJ71f X HI41 - cos 2(x -)= 4sin2(x- -) = 4x- = 2-2cos(2x-)122627r故函数的最小正周期T - S解：由于 f(x) = sinx-V3cosx ,TT 所以/ X +彳 V 2/k、.冗sin x + I2 J-V3(71、cos x + =cosx +l 2jV3sinx ,所以k./W(x +f

13、) = (si R。sx)(cosx +An x)所以k./W(x +f) = (si R。sx)(cosx +An x)=sin xcos x-3 cos2 x +=sin xcos x-3 cos2 x +V3sin2 x-3sinxcosx=一(6 cos 2x4-sin 2x) = -2 sin(2x + ) 3=一(6 cos 2x4-sin 2x) = -2 sin(2x + ) 3BP j = -2sin(2x + -)；由于0,y ,TT所以+ iTT所以+ i71 4万所以sin 2x + e所以sin 2x + e7171当2呜小即工二时，函数小）力三取得最小值为2JI16

14、. (1)A = (2)2【解析】【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得;（2）由数量积的定义求出A ,再由余弦定理及基本不等式计算可得;(1)解：在ABC,由 bsin= asinB ,2jr - AA所以 Z7 sin= a sin B ,艮1Z? cos = asinB,22答案第11页，共15页A再由正弦定理得sin 8.cos = sin Asin B ,aAAAsin B- cos = 2sin cos sin B, 因为sin B0, sin 02222.Al sin =一,2 2因为弓Jo,所以3=2，I ，J 2 oA = -.3(2)解：由福

15、恁=2，BP be cos A = 2 9所以bc = 4.由。2 = +0a - 2/?ccos A = + c2 -be be = 4当且仅当b = c = 2时，所以。的最小值为2.17. (1)证明见解析.6【解析】【分析】(1)根据勾股定理可得垂直关系，进而根据线线垂直证明线面垂直.(2)根据等体积法可求点到面的距离.(1)在E4C中，AC = 2,PA = L PC = 75,= PC2 =AC2 + PA2PAAC,XPA _L AD, ACc AO =4所以 Q4 J_ 平面 ABCD.(2)v AD/BC.ZBAD = 150。, ZABC = 30,又因为 AB = AC

16、= 2,. ZACB = 30。,进而可知在BAC 中,ABAC = 180。 ZABC - ZACB = 120，所以S Anc =-AB-AC sin ZBAC = -x2x2x- = y/3,SAPC =. AC = x 1 x 2 = 1 设点 8 至 lj/adc 2220,解得1 - tan ZPMN - tan APNM _ 2A 乙一,34币I A = 1 92所以A = E 1.2(1)证明见解析;【解析】【分析】(1)取AB中点连DE,易得E8CD为正方形，曲为等腰直角三角形，再根据面面 垂直的性质有1平面PAD,最后由线面垂直的性质证结论.(2)取AD中点。，连P。，由面

17、面垂直的性质有尸O,平面A3CO,根据棱锥体积公式求 三棱锥的体积.答案第13页，共15页取A3中点E,连DE,因为 AB/CD, ZABC = 900 9 AB = 2, BC = CD = ,所以四边形项CD为正方形，血为等腰直角三角形,那么= bdad,pE B因为面24。_1面438,面尸A。面= 8Z)u面ABC。,所以BD,平面P4O,又B4u平面A4O,所以(2)7取AO中点。，连PO,那么。OLAO,且尸0 = 32,2因为平面Q4T_L平面A3CO,面面A3CD = A。，POu面R4。，所以P0,平面A3CO,又面积为，8。8。=,，22三棱锥C P30的体积为 pbd=V

18、p bcd=-Scd-PO = .v - j nlJ尸-3 / rfylJ27T22. (1)A = -； a = ls、2后(【解析】【分析】(1)根据正弦定理及6cosC+ccosB = l可求。，利用同角关系以及正弦定理可求A ；(2)根据正弦定理把边化为角，结合辅助角公式可得最大值.(1)因为bcosC+ccosB = l,由正弦定理一= =t； = 2R,可得 sin A sin B sin C2/?sin Bcos C+27?sin Ceos B = l，所以 2Rsin A = 1,即 a = Le、i tan Atan A 2rr.r . sin A zcosBcosC、2因为

19、+=，所以(+)=一 ,tan Btan Cbe cos A sin Bsin Cbe、品八r/曰 sin Aosin(B+C) 2 Rn 通分可得嬴前瓦即、品八r/曰 sin Aosin(B+C) 2 Rn 通分可得嬴前瓦即sin2 AcosAsin BsinC beer 2，cos A 功c he答案第14页，共15页1jr所以cosA = ,即A4 23因为A = g,所以C(0,),由正弦定理可得竺=_ =38, 33sin B sin C 3, 4g .23 .4/3 . /兀_、_26.2h+c sin 8+sin C sin(+ C) +sin C33333= -(5/3cosC

20、+ 2sinC) = sin(C +j ) ?, 其中 tan = 且 9 为锐角, 当。=3-。时，取到最大值卓.答案第15页，共15页D. 3C.B.A. -3JT8.函数x） = sin o）x + （。 0）在（肛21）上恰好有两个零点，那么。的取值范围是I 4 J25一 8n-4 一 一 19一 815一 /1U|77 - 4n- zrI117 一 一 - _ 19一815一 8 zr D7 7 - 4夕9 - 8 / 乂B.D.23-8 n-4D19- 815- 8 / LU 77 - 423一8 H-4 _ 一 19一8 15一8 !7 7 - 4 9 - 8 / IC9.如下图

21、的是函数y = /（x）的图像，那么函数/（x）可能是（A. y = xsinx B. y = xcosxc. y = xsinx + xcos 尤D. y = xsinx-xcosx10.正方形ABC。的边长为4,点/、N分别在边A。、8C上，且40 = 1, BN = 2,假设点P在正方形ABC。的边上，那么两.丽的取值范围是（）A. 6,6B. -6,2C. -2,6D. -2,2 11 .如图，平面四边形 ACBD中，ZABC = 90, ZABD = ZBAD = 30, AB = 6 BC = 2,现将48。沿AB翻折，使点。移动至点P,且PBL8C,那么三棱锥P-ABC的外接球A

22、. 8B. 6兀C. 4万D.妪兀312 .在ABC 中，角 A, C 的对边分别是 a,b, c,假设 a cos B = 3sin A- cos A,那么（ + ） abC. 4,2 + 713D. 4,2 + 拒C. 4,2 + 713D. 4,2 + 拒的取值范围是（）A. 3,5B. 4,6二、填空题TT13 .函数y = cosx与函数y = sin（2x + 0）（O40v）,它们的图像有一个横坐标为不的交点，那么。的值是.14 .非零向量万，5满足同=2阵 且（一 +可_1伍一35）,那么向量万，夹角的余弦值为.15 .在锐角然（?中，角A, B, C的对边分别为小b, c,

23、sin2B = sinA, b = 4a, 2q + c = 5,那么ABC的面积为.16 .函数%）=4855心也（3-/（。0）的最小正周期为4,假设存在，0,2,使得/（，）-“（。，那么实数优的取值范围为.三、解答题.设函数 /(x) = sinx- V3cosx(x g R).、 Q求函数y= / x + 的最小正周期;L 4人求函数y =+外在1o,求函数y =+外在1o,71上的最小值.17 .在A5C中，内角A、B、。的对边分别为。、b、c,sin +。= asinB , 2求角A;（2）假设丽.就=2，求。的最小值.18 .如图：四棱锥PABC。中，尸4J_AD AB = A

24、C = 2PA = 2, PC =区 AD /BC,/BAD = 150证明：R4_L平面ABC。；求点9到平面P4C的距离.兀一1.函数/（x） = Asin（ + 0）,xR （其中）局部图象如下图，P（-M） 是该图象的最高点，M, N是图象与x轴的交点.求 M 的最小正周期及夕的值；JTQ)假设/PMN + /PNM =,求 A 的值.4.如图，四棱锥P-ABCD中，底面A3CZ)为直角梯形，AB/CD, ZABC = 90o, AB = 2,BC = CD = 1, 4。为等边三角形，平面平面A3CD(1)证明：BDPA；(2)求三棱锥。一尸5。的体积.19 . ABC中，角A8C所

25、对边分别是。也c, 照1+幽3二工，bcosC+ccosB = L tan B tan C be求角A及边。；求2)+ c的最大值.参考答案：1. D【解析】【分析】设2=m+万，代入原方程，根据复数相等和|zi= 77可得答案.【详解】设 z =，篦 + i ( w w R 且 w 0 ),代入原方程可得力2? -之一4根+。+ (2根一4)i = 0 ,所以nr -rr - 4m + = 0 一- c / n，解得2mn- 4/t =()一2 -4 + = om = 2因为 I Z |= J/%2 +2 _ 后,所以2 = , = 5 .应选：D.2. C【解析】【分析】根据给定条件，利用

26、诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】.4_o(4依题意，sina =,所以cos2a = 1-2sin2a = 1-2x 5)725应选：C3. B【解析】【分析】首先求出N + 2B的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得;【详解】解：因为M = (l,0), B =所以M + 5 = (l,0) + 2(= 1,2),所以(1,2)(T2)= 1x(T)+ 2x2 = 3,(2,l).(-l,2)= 2x(-l) + lx2 = 0,(1,2)(-l,2)= lx(1) + (2)x2 = 5,(2,-l) (-l,2)= 2x(-l) + (-l)x2 = -4；答案第1页，共

27、15页应选：BA【解析】【分析】由扇形弧长公式可求得圆心角NAOC,根据舫= 2AC可求得结果.【详解】根据题意作图如下，7兀由题意知：的长为行，。为403的中点，.N,40C= 20=万，1U- 1.05 - 3AB = 2AC = 2x 1.05sin = 2.1 x 1.819 ,即所求距离约为 L819米. 32应选：A.4. B【解析】【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.【详解】对于，。=4,/8 = 45。, = 3后，所以，/?2=6Z2+c2-26zccosB = 10,得二厢，所以，此时，A8C存在且唯一，符合题意；对于，。=4,4 =

28、45。/=26，所以， = 4,解得sinC = W0 = 叵，因为c。， sin C sin Bh 5所以，ZCZB,所以NC为锐角，此时，AHC存在且唯一，符合题意；7r3ch对于，c = 4,ZB = 45,cosC = -,所以，不 C 兀，得 sinC = =,进而 =,25sin C sin B可得飞/一丁一丁，明显可见，c = -/3矛盾，故不符二33答案第2页，共15页题意.故可以选择的条件序号为：应选：B6. C【解析】【分析】易得这个容器最多可盛放时，平面。跖与地面平行即可，故只需求不规那么几何体DEF-ABC占总体积的比例即可【详解】由题意，这个容器最多可盛放原来容器的比

29、例为BC3,设C到平面S43S-ABCS-ABC的距离为，贝|匕_八“ =C-ABS =!%/,又919955645564Vs_DEF=VqdE= - S.SAB X V 二互 X S 5=js，%EF-48C _ 匕-ABC - K-DS- _64匕-. 一一丁应选：CA【解析】【分析】分别用余弦的两角和差公式展开分母利分子，分子和分母再同时除以cosacos/?弦化切，代 入tan a tan /?的值计算求解即可.【详解】答案第3页，共15页由题意得,COS(6T-/?)cos a cos /? + sin a sin /? _ 1 + tan or tan /? _ 1 + 2cos(

30、a + ) cos a cos /3-sina sin p 1 - tan(7 tan p 1-2= -3.应选:AA【解析】【分析】717171jr八八由一巴20得s +L馆+ :2侬+ 结合正弦函数的性质得不等关系，得出。的范 围.【详解】TCTC(71 69X + G 71CO + ,2侬+，4J/（X）在（兀,2乃）上恰好有两个零点,/（X）在（兀,2乃）上恰好有两个零点,(左一1)阳，710)+ kjt.4 得vk- cok- 44(%+1)(%+1)2砌 +（攵 + 2）乃1 3、12 82 8所以,5 左一小4k 3+ - 2k 7i2 8 ,日 5 , 17 得:鼠,144K

31、= 2,3,4 .攵=2时,117,. 1519,11划 23 69 ; Z=3 时, co,； 左=4 时, 双如 , 84884815 1915 1911 23(88应选:A.7. C【解析】【分析】 由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.【详解】 由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负.假设/(x) = xsinx,那么/(-x) = (-x)sin(-x) = xsinx,所以函数 y = xsinx为偶函数,答案第4页，共15页与条件矛盾，A错，假设/(x) = xcosx,那么/(x) = (x)cos(x) = xcosx,所以函数 y = xcos%为奇函

32、数，与条件矛盾，B错，假设 f(x) = xsinx-xcosx , 那么 /(x) = Vlxsin x-工, I 4J(乃、L (兀、当(),-时，/(x) = V2xsin %- 0 ,I 4 )又于(上)=旦兀,A-) = 0,所以函数=入皿1+氏05尢为非奇非偶函数，与所给函数图 444象基本一致，应选：C.8. C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，那么N(4,2),当 P在 AO 上时，设尸(0, y)(。 y -3 I. PM.PN =?_3y+2 = (y-)2-,3 T -1-_当=不时，(尸加小濡=7，当丁 = 4时，(pWN)max=6,答案第5页，共15页