罗素悖论与类型论.docx

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1、1朴素集合论(概括原那么)：任何一个合理的条件都可以定义一个集合，这个集合仅 仅由满足这些条件的事物构成。此处合理的条件指任意一个事物或者满足这个条 件F或者不满足F。并且没有事物既满足F又不满足F。用符号表述为V x ( x 6 xlF(x) | ix g ： xIF(x)；)Cantor定理：集合A的势小于A的幕集P(A)的势证明：由集合鬲集的定义可知，显然A的势小于或等于P(A)是势。那么只需证明A的 势不等于P(A)的势即可得到Cantor定理。反证：假设A与P(A)等势，即存在双射P(A).做一个集合3 = awA|ae/(a)。其中，/(。)是A的子集。因而，B 也是A的子集，故B

2、 e P( A)。由于f是满射，必然存在B在A中的原象b,使得 f(b)=B.这时有两种可能，人w 3或者人e3，然而，beBnb史f(b) = B ;b 史 B n be f(b) = B 矛盾。朴素集合论存在的问题：(1 ) Cantor悖论：一个集合A,它是由所有集合构成的集合。 A=所有的集合,此处的合理条件就是所有集合，然而根据Cantor定理，任意集 合的势小于它的募集的势。如果存在A ,会得出与Cantor定理相反的结论，会产生矛 盾。证明如下，设想一个元素x ,如果x属于集合B可以推出x属于集合C ,那么B就 是C的子集。而且B的势小于C的势。那么同样的道理，设x为A的一个子集

3、，那么x 是A的募集的元素，即x属于A的募集，而x是一个集合，根据A的构造，x也属于A 的元素，于是A的幕集是A的子集，因此与Cantor定理矛盾。(2)罗素悖论;S=x|x不属于S , x属于S推出x不属于S ; x不属于S推出x属于S. 由此我们可以进一步改写S=S|S不属于S,显然S属于自身当且仅当S不属于自身2类型论朴素集合论建立的基本前提：(1 )概括原那么(2 )对于任意集合S , S属于S是一个有 意义的命题(3 )任意集合S可以作为元素属于其他集合或者属于自身(4 ) 一阶逻辑 是集合论的基础逻辑类型论的核心在于否认一个集合可以包含只能借助于自身来定义的元素。即否认(3 )简单

4、类型论：每一个集合或类都有一个确定的类型，比方0型的对象称为个体，1型 的对象称为个体的类，2型的对象称为个体的类的类。一个类的元素必须属于同一类 型，不允许不同类型的东西属于其他类型。那么像、w4 rdx w y A y W的公式就是无意义的。（简单类型论可以排除罗素悖论，Cantor悖论，但是无法排除说谎者悖论）分支类型论：在区分对象类型的基础上，同一类型的谓词（命题函项）再分成不同的 阶。分支类型论是为了解决恶性循环产生的悖论与非直谓产生的悖论而诞生的 非直谓说的是，一个对象X具有性质P，但X的定义又依赖于P。也就是说，非 直谓的定义是循环的，因为被定义的对象已经渗透到它的定义里面去了。

5、分支类型论是在简单类型论的基础上，对于同一类型的集合，类与性质（谓 词），再按其逻辑复杂性区分为不同的级。比方，对2型对象来说，不涉及任 何2型总体的性质为0级性质，而用到某级性质的总体所定义的性质便为更高 一级的性质。罗素借此来排除非直谓性质。但是在数学分析领域很多定义是用 到非直谓的，按罗素的意思，数学分析基本上需要重建了，显然分支类型论不 能作为数学命题的工具。把同一型的集合分为不同的阶，高阶的集合不能当作低阶的集合看待，最低阶 的集合称为直谓的，决定它的性质或谓词也称为直谓的性质或谓词，其他层次 的集合或者性质称为非直谓的。以说谎者悖论为例，命题P 我现在说的这句话是假话，假设P真，那么考虑语义，P为 假，假设P假，那么考虑语义，P为真。可以改写为p=我在某一时刻说的一切命题都是假的，B（q）=我在某一时刻这样断定q,这样，P=（3于是，P是一个二阶命题，q是一个一阶命题，当q为真的时候我们可以认为P是真的。