随机过程习题复习资料.docx

《随机过程习题复习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程习题复习资料.docx（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、随机过程习题解答一第一讲作业：I,设随机向量(X，丫)的两个重量相互独立，且均听从标准正态分布()。(a)分别写出随机变量x+y和丫一的分布密度(6)试问：Y+7及x-y是否独立？说明理由。解： X+Y N(0,2), X y N(0,2)(b)由于：y+公Y Y因此I)是听从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此X + Y及丫一独立。 22,设x和丁为独立的随机变量，期望和方差分别为和1a)试求Z =D和X的相关系数；(b) 2及X能否不相关？能否有严格线性函数关系？假设能，试分别写出条件。 y y解：但)利用八，的独立性，由计算有：(b)当Pxz =1的时候,Z和卜线性相关,即X(t

2、 t 0)I关函数为试求方差函数3, 设1 1刀 f是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其 EX(s)X(t) = B(t - s), s t 且是一个周期为 t 的函数，即 B(r + T) = 8), t 2。， z)x(O-x(r + T) o解：由定义，有：4,考察两个谐波随机信号丫)和丫),其中：式中”和。为正的常数；族是一内匀称分布的随机变量，口是标准正态分布的随机变量。1a)求X)的均值，方差和相关函数；b)假设。及石独立，求Y0)及)的相互关函数。解：石区。 = 0/(仆2)二与&2)二0第二讲作业：P33/2.解：A nT t nT +n乳)=/其中为整数，71为脉宽其

3、中为整数，71为脉宽0 nT+ft V = y = vsin(p由题意可知，、的联合概率密度为:2-i y+y (p=tg -X,及雅克比行列式:即：明显，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此，和2的线性组合7+2不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。P564/11.解：(1)依据维纳-辛钦定理,我们有：那么有故(0)4(1/(2纣)4(2/(2旷)两两不相关，由于丁)是高斯过程，因此它们是独立的。令：那么有：因此有：(6。41，)的联合概率密度为：由于故有：P568/18.解：我们知道，平稳奥斯坦乌伦贝克过程岁)是正态过程，且有：由公式见P46

4、6例)：.我们有:即有：下面计算：当227时，有：由于此时当7时，有因此：当O r 27时，我们有：因此有：hin A - 0同理可以探讨当7可因此 当。-。时，当0 时，由 P36/7.中的结论，有：尸(力)=1一 ”(G) = e证明：R打。1/2）=工cos 4 cos t2dr/ 二 geos tx cos t2 由协方差函数的定义，有:P37/10,解：石）=.（）=”国（- 1）+。. I = （p 一 q） 当f=j时令第三讲作业：P111/7.解：自)否那么矶线)=(一4% = min(%，%2)N = max(%/2),那么有(1)是齐次马氏链。经过力+ 1次交换后，甲袋中白

5、球数仅仅及力次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。(2)由题意，我们有一步转移矩阵:P1H/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有:(2)由齐次马氏链的性质，有：因此：P112/9.解：，-p 0 P=户2 = Q 11-p 0P02=尸4 =P1-P01一。0 p1 0 =P（2）0 pP(w) - p(w+2)(2)由(1)的结论，当力为偶数时，递推可得： 厂 一厂 ；p(3)_ p(i).P _ p(i；p = p(+2)计算有：y 一产y -y ,递推得到,广 ，因此有:P112/11.解：矩阵户的特征多项式为：由此可得特征值为：4= L 4=1一。一 %,及特征向量：4 =

6、 （1），力2 =（凡-令矩阵那么有： 因此有： P112/12.解:设一次视察今日及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，那么此问题就是一个马氏链， 它有8个状态。记每每天晴为0,下雨为1,那么此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000,为状态0；第 一天晴，第二天晴，第三天雨为001,为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010,为状态2；第一天晴，后两天 阴为OIL为状态3,等等。依据题目条件，得到一步转移矩阵如下： 第四讲作业：P113/13.解：画出状态转移图，有：P113/14.解：画出状态转移图，有：P113/16.解：画出状态转移图，有：(1)由于

7、三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。(3)状态3, 4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且= 1 ,所以状态3, 4为常返态；另外状态0, 2相通2是常返态；因为小)=1/2了 =(勿1),故2是常返态；因为小)=1/2了 =(勿1),故组成-个闭集，且九=1,故状态0, 九 =12 1),因此力2 = 1 ,故2为常返态；/22 =11，启=2/30，9时，由计算可得04,因此可由以下方程组计算极限分布: 解得极限分布即可。P115/18.解：由第七题的结果，计算可得：，0 因此可计算极限分布如下： 解以上方程，得极限分布： P115/19.解：见课上讲稿。PU6/21,解：记% =

8、其初=S力=12，那么有: (1)因为：，工-1 =，X =4=-3/”九=引工-=J x用=o工=。工t+a = 5+1=1(A)当/ = 时，有：由(A)可得：当/工0且，=+ 1时，有：由(A)可得：当且1时,有：由(A)可得：另外：以下等式是明显的因此我们有：即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为:(2)画出转移矩阵图，可得：n=1 A-产* 7 = 7 = 0:及上1，并且取, 由递归可得:由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故全部状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。(4)由马氏链的无后效性，可知此时的7就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有: 随机过程习题解答(二)P228/1

9、O证明：由于，户2,有其中所以 证毕。P229/3,解：（1）因为*“布旺是一 poission过程，由母函数的定义，有:（2）有上面（1）的结果，可得:（3）当充分小时，由于: 因此，当同T时，有： 由的结果，我们有:P229/4.解：（1）由上面3题的结果（3）,我们有:（2）由于是随机过程7胃）的母函数，且关于人心目绽开成级数形式，我们可得:形式，我们可得:由母函数及分布函数的唯一性定理，可得:P230/8.解：由特征函数的定义，我们有:那么有:那么假设疗”?的概率分布为:将（*）代入（*）,我们有：P230/7,解：先求的特征函数：由上面8题的结果，依据特征函数及分布函数的唯一性定理，

10、可知 八后是复合poission过程。P231/10.解：由于因为“）的母函数为：由独立性，可知的母函数为：所以是参数为42H4的泊松过程，即因此我们有:P231/12.解：由 令NK C,有解得（2）由（1）知，小力听从参数为“匕的泊松分布。P232/15.解:（1）以4）表示才时刻系统中不正常工作的信道数，那么 仔/二是一马氏过程，其状态空间为：矩阵为:(2)令:那么前进方程为：（3）令：写出福克普朗克方程:即有：做Laplace变换，令：那么有：由上解得：其中：因此求 即可。(4)P233/16.解：(1)令李)表示,时刻系统中正在用电的焊工数，那么1S谷右是一马氏过程，其状态空间为:O

11、(2)。矩阵为：(3)令：写出福克普朗克方程：(4)画出状态转移率图，可得时的平衡方程:由此可得： 即有: 由此可以求得：立T p由，内),即可确定最终得到所要的结果。P233/17.解：(1)由于： 可以得到此过程的矩阵: 令：.写出福克普朗克方程：初始条件：(2)由数学期望的定义：由此，我们有：即可得到描写小)的微分方程：(3)解上面的微分方程，我们有： P233/19.解(1)依据题意得到?矩阵为 由福克普朗克方程得：(2)而因此左边二Q右边二左边二右边，证毕。(3)将名百代入左边。(4)由有即进而有所以(5)令,由(4)的结论其中“对应的系数为 所以(6)(7)由的结论,知P236/2

12、4 解:(1)依据题意得。矩阵由平衡方程，有Pm因此有Pi 切,进而因为所以，当冲时系统平稳。(2)前G-D次以概率卜七重新排队，第次以概率c离开，所以即为所求。26.解(1)设系统状态为不工作机器的数量，那么列出平衡方程其中:解得所以P237/28.解：(1)设泊松分布第%个事务发生及第九个事务发生的时间间隔X的特征函数为： 吗，3那么有:由于X，是独立同分布的，依据5寺以及特征函数的性质可知: 因此可知工是听从参数为的泊松分布，即：(2)由:可知:附：一阶拟线性(线性)偏微分方程的解法:一阶拟线性方程的一般形式:一阶线性方程的一般形式:称:或:为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线

13、 * 小a为积分曲面。为特征曲线。-阶拟线性方程的特征方程的解有以下定理：定理：假设特征曲线/上一点存心位于积分曲面五上，那么/整个位于s上。初值问题:给定初始曲线:S为参数。那么一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解使满意程的解使满意定理：设曲线%我们有以下定理。W光滑，且-尸件垄又设处行列式日在/旁边光滑，那么初始问题:在参数s=s0的一邻域内存在唯一解。例：初始曲线,求初值问题:解：由于:解常微分方程的初值问题:得:由后两式解出s/,并代入第一式，解得:P233/9.解初值问题:由于:解常微分方程的初值问题:解得:在上面式子中消去参数SZP311/1.解：(1)给定,得初值问题的解

14、：小二/3时，有(2)任取石。三R我们有：所以Poission过程不是平稳过程。P311/2.解：(1)由Poission过程的性质，任取心石无不假定事务： 那么有： 因此有：是平稳过程。(2)由或 = ,且不后仅及/2，1有关，可知&P312/3.解：(1)由均值的定义，我们有：(2)由相关函数的定义，任取iL*。，我们可得：P312/4.解：为了解此题，先看下面的引理：引理：设是听从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：那么人和V取不同符号的概率为：引理的证明：令：那么有：以上式子用了变换：由：因此只要求：因此有： 由于此时： 我们即可得到结论。P313/5.证明：由于：故名是宽平稳过程。

15、分别取卒那么 J(4)=zsin。, S EMBED Equation. 3 因为JG)42)具有不同分布，所以尿力不满意一级严平稳条件。P314/10.解：样本函数不连续。令： 守学 式,下面求相关函数： 因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/1L证明：令： 77d + 工)-勖，那么有由车比雪夫不等式：P315/13.证明：(1)令：)= JG + T) 一白),由上题的结果可知: 因此有(2)由相关函数的定义及11)的结果，有P316/17.解：由均值函数和相关函数的定义，我们有：由即)二喈)八| +，2可得(2)有上面的结果知4c是一宽平稳过程。令：0=0/2 = ,= ,

16、?2)= _ , 7G), 43)不具有一样的分布，所以二)不是一级严平稳过程。P318/22.解:依据题目给定的条件,有:因为：*()= 一区打(),因此有：P318/23.解：依据J(。为一平稳过程，那么有：因此有：P318/25.解：由平稳过程相关函数的定义，有：P319/28.解：由题意，我们有：设弓 那么有：令：X = U,T = U-V ,那么有：J =1 ,因此有：P319/30.解：(1)由于：因此输入不是平稳的。(2)由计算可得：(3)计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1.解题中给出的是一确定性周期信号，令：。=工 丁，因此它们的时间相关函数和功率谱

17、密 度分别为：当力=2&寸，裔=0因此有：P445/2.解：(3) P445/3.解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/4.解：(1)由于：因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：(2)由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/5.解：由功率谱密度和相关函数的关系及式/)是偶函数，我们有：其均方值为：P447/7.解：(1)冲激响应为：(2)由6题的结果，我们有：留意到的定义，当或7一7时，耳二,当。 % 7 时，.当一丁 (7时， 因此有：由6题的结果，令：，=minT/,有：P447/8.解：由 Fourier 变换，有：因为：那么有：因此有：当 = 3,夕=1时，有由于：岑=

18、N4,4 ,明显H初(T),所以氏初C不关于对称。P448/11.证明I ：当 =1时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及为e)二&(一工)， 我们有:取:%=2, t2=J 4=；以及4 = V2 / 2,4=-4 = V2 / 2由此可得：即有：因此有:证明n ：设此随机过程的功率谱密度函数为$式)，由题意可知瑁,下面用归纳法证明结 论：当 =i时，有假设当n二k时、结论成立，即那么有：即当n二k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。P450/14.解：由样本函数可知，假设为第2个脉冲到达时刻，那么有：依据： Et) = EEt)N(t)t 由我们有:由于因此，当时， & 是平稳过程

19、，且由Fourier变换，可得：P452/16.解：由=,且/)及力)的独立性及它们的平稳性，有：P452/17.证明：(1)由：由于：因此：由于：石)=石(%)=石(，)出()=。，因此输出过程久力是平稳过程。(2)由(1)的结果，有：P454/19.解：令=2冗,我们有：P454/21.解：(1)取：,那么有：因此有：(2)由(1)的结果，有:由于：因此有：P561/1,解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。我们有：P562/4,解：由求特征函数的公式：我们有:P563/7.解：由的密度函数，我们有：因此有：计算，得：因此是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为=1 ,因此变换后的分布密度为：由归一化条件可以确定P562/6.解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：令：那么有：(1)计算得：因此有：(2)计算得：对于八次数大于1的那些项，当=时，都会变成o,统一记作4，“有：.对于含有，的那些项，当时，都会变成0,统一记作2年“2/3),那么有：利用0(0, 0, 0)=1,可得：(3)先求得：那么有：P563/8.解：求边缘分布密度，由于：即7听从正态分布，同理彳2也听从正态分布。留意到：我们可以求得随机变量片2的分布密度为：由全概率公式，我们有：因此，当z4时，我们有：