最新LMS自适应均衡算法研究及改进实验报告.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-dateLMS自适应均衡算法研究及改进实验报告武汉工业学院目录一、绪论21.1 论文背景及研究意义21.2 音频简介21.3 自适应滤波理论的发展31.3.1 FIR滤波器的结构51.4 自适应滤波算法简介61.4.1 基于维纳滤波理论的算法61.4.2 基于卡尔曼滤波理论的算法71.4.3 基于最小二乘法的算法81.4.4 基于神经网络的算法81.5自适应LMS算法的发展9

2、1.5.1 LMS算法的历史91.5.2 LMS算法的发展现状101.5.3 LMS算法的发展前景101.6 变步长LMS算法11二、最小均方算法122.1 LMS算法原理122.2 LMS算法性能分析132.2.1 收敛性132.2.2 收敛速度152.2.3 稳态误差162.2.4 计算复杂度172.3 变步长的LMS17三、实验过程193.1 LMS算法实现193.1.1 音频读取193.1.2 参考噪声及带噪信号的获得193.1.3 LMS算法213.1.4 代码实现233.2 VSSLMS算法实现253.2.1 VSSLMS算法253.2.2 代码实现273.3 本章总结29四、总结

3、与展望304.1 论文总结304.2 展望30五、参考文献31一、绪论1.1 论文背景及研究意义自适应信号处理是现代通信处理的一个重要分支学科。与传输函数恒定的滤波器相比，自适应滤波器能根据环境自动调节抽头系数以达到最佳工作状态，被广泛应用于通信、雷达、系统控制和生物医学工程等领域。自适应信号处理的主要应用有均衡、系统辨识、阵列信号的波束成形、噪声对消和预测编码等。在音频降噪方面，自适应信号处理也应用诸多。音频中降噪方法很多，按照是否有参考信号可以将降噪分为主动降噪和被动降噪。按照处理的频段以及有用信号和噪声是否同频可以将降噪分为经典滤波器降噪和现代滤波器降噪。无论使用哪种方法，降噪的实现依然

4、依赖滤波器。自适应滤波器是现代滤波器的重要组成部分。自适应噪声抵消方法属于主动降噪方法，利用了自适应最优滤波理论。待处理信号由有用信号和背景噪声组成，而背景噪声与参考信号中的噪声相关。自适应噪声抵消方法的目的是要去除待处理信号中的背景噪声。因此，自适应噪声抵消技术主要利用获取的参考噪声信号来处理信号中的背景噪声。自适应滤波算法中应用最普遍的是LMS算法，也被广泛应用于音频降噪处理中，它是通过自动调节其本身的单位脉冲响应h(n)特性，来达到均方误差最小的滤波效果。 在设计自适应滤波器时，可以不必预先知道信号与噪声的自相关函数，而且在滤波过程中，信号是非平稳信号时，系统也能自动调节适应。但是LMS

5、 算法仍存在初始收敛速度慢、时变系统跟踪能力弱，稳态失调噪声大的缺点。为了解决上述问题，人们提出了多种变步长LMS 自适应算法。 1.2 音频简介音频是一个专业术语，是指人类耳朵能够感觉到的声音信号。音频大概可以分为低音、中音、高音。音频有三个属性：音量、音调、音色。音量又称音响、音强，是指人耳对所听到的声音大小强弱的主观感受，其客观评价尺度是声音的幅度大小。音调是声音频率的高低，随着一定强度的纯音升高而升高，降低而降低。音调的高低还与发音体的结构有关，因此发声体的结构影响了声音的频率。音色又称音品，是声音的特色。音色取决于泛音。泛音是指一个声音中除了基频以外其它谐振频率的音。由发音体整体振动

6、而产生的音叫做基音，也就是最易听见的声音，由发音体各部分振动而产生的音叫做泛音。所有的人、动物、乐器以及其他能发声的物体所发出的声音，除了一个基音外，还伴随着许多不同的谐振频率即泛音，正是由于这些泛音使得声音有了不同的音色，人们能够通过音色辨别出是不同人以及不同乐器发出的声音。音频包括语音、歌声、乐器等。语音的频段是30Hz 到3.6KHz，实际上是声波的基音。歌声和乐器的奏出的声音就比较复杂，不仅包括4KHz 以下的基音也包括4KHz 以上的泛音。人耳能够听到的音频信号的频率范围是20Hz 到20KHz。人能够发出的音频信号的频率范围是30Hz 到3.6KHz，正常的语音频率范围是30Hz

7、到1KHz。歌声包括男的歌声和女的歌声，男的频率范围是150Hz 到600Hz，女的频率范围是160Hz 到3.6KHz。因此移动通信所采用的语音带宽是4KHz，所需要的采样率就是8KHz。但是除4KHz 及以下的语音还有其它频段的音频信号，它们对音频的清晰度、可懂度、明亮度等有较大的影响。为了拥有完美音色、夯实音量、清晰音调的音频需要20KHz 的带宽，根据奈奎斯特抽样定理,要处理这样的信号，其采样频率至少是40KHz。低于40KHz 的采样率的音频信号对于人耳来说都是失真的，所以为了能够采集音频中的所有成分输出高保真的信号就需要高于40KHz 的采样率。1.3 自适应滤波理论的发展 早在2

8、0世纪40年代，就对平稳随即信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性（自相关函数或功率谱），以线性最小均方误差估计准则所设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不再是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到60年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器已成功地应用到许多领域，它既可对平稳的和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可作非线性滤波。实质上，维纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。若设计卡尔曼滤波器时，必

9、须知道产生输入过程的系统的状态方程和测量方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识。但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了真正的最佳滤波。 Widrow B.等于1967年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或是根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。因此，近十年来，自适应滤波理论的方法得到了迅速发展。图1.1 自适应滤波器原理图图1.1描述的是一个通用的自适应滤波估计问题，图中离散时间线性系统表示一个可编程滤波器，它的冲击响应为h(n

10、)，或称其为滤波参数6。自适应滤波器输出信号为y(n)，所期望的响应信号为d(n)，误差信号e(n)为d(n) 与y(n)之差。这里，期望响应信号d(n) 是根据不同用途来选择的，自适应滤波器的输出信号y(n)是对期望响应信号d(n)进行估计的，滤波参数受误差信号e(n)的控制并自动调整，使y(n)得估计值 等于所期望的响应d(n).因此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲击响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调整的收敛时间达到最佳滤波的要求。但是，自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参数量值，按照一定准则改变滤波参量，以使它本身能有效地跟

11、踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的，因而也是一种线性移变滤波器。当然，它可推广到自适应非线性滤波器。在图1.1中，离散时间线性系统可以分为两类基本结构，其中一类为非递归型横向结构的数字滤波器，它具有有限的记忆，因而称之为有限冲激响应（FIR）系统，即自适应FIR滤波器。另一类为递归型数字滤波器结构，理论上，它具有无限的记忆，因而称之为无限冲激响应（IIR）系统，即自适应IIR滤波器。对于上述两类自适应滤波器，还可以根据不同的滤波理论和算法，分为结构不同的自适应滤波器，它们的滤波器性能也不完全相同。1.3.1 FIR滤波器的结构自适应滤波器的结构可采用FIR 或IIR 结构，一般采用F

12、IR 滤波器，FIR 滤波器的结构可分为3 种类型，横向结构,对称横向结构以及格型结构。图1.2 为一个FIR 横向滤波器的结构。图1.2 自适应滤波器结构图这种结构包含有由延迟级数所决定的有限个存储单元，输入信号x(n)被若干延时单元延时，这些延时单元的输出与存储的一组权系数w(n)一次相乘，将其乘积相加得到输出信号y(n)，这意味着输出是输入信号所存储的权系数或冲击响应的卷积。这种滤波结构仅包含有零点，是稳定的。横向自适应滤波器且假定阶数固定，然而在实际应用中，横向滤波器的最优阶数往往是未知的，需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优的阶数。当改变横向滤波器的阶数时，LMS算法必须重新运行，

13、这显然不方便而且费时。那么，在增加滤波器的阶数时，格型滤波器解决了这一问题。格型滤波器最早是Makhoul于1977年提出的，当时将Makhoul采用的方法称为线性预测的格型方法，后来才称为格型滤波器。格型滤波器具有共轭对称的结构，前向反射系数是后向反射系数的共轭，其设计准则和LMS算法一样是使均方误差最小。对称的格型结构如下图1.3，LMS自适应格型滤波器的结构是在每一级对前、后向分别采用反射系数rp*和rp, 图中fp(n)和 gp(n)分别是第P级格型滤波器的前向残差和后向残差。图1.3 LMS自适应格型滤波器1.4 自适应滤波算法简介自适应滤波算法是自适应滤波设计中最重要的部分，自适应

14、滤波算法可以依据不同的优化准则大致分为以下几个分支：1.4.1 基于维纳滤波理论的算法维纳滤波方法，是以最小均方误差为准则，在信号与噪声功率谱或相关函数已知的情况下，通过对维纳-霍夫方程求解，来完成最优预测和率滤波。著名的维纳-霍夫方程为 （1.1）其中的R为横向滤波器输入信号的自相关矩阵，P为横向滤波器输入信号与期望相应的互相关适量。在求解维纳-霍夫方程的过程中，需要对矩阵R进行求逆，为了避免对矩阵的求逆运算，最速下降法采用了递归的方式来慢慢地逼近维纳解。最速下降法的基本思想是把代价函数看成滤波器权向量的函数，通过令代价函数最小，找到此时的权向量，则称此权向量为线性滤波器的最优解。由于算法是

15、迭代的，只要保证每次迭代后代价函数总是减小，则最终可以搜索到最优解。即： （1.2）权向量被设定为一初始值W(0)，在自适应过程中由算法控制不断更新，最终有可能收敛到最优解。算法公式为： (1.3)其中为步长参数，决定了每次迭代时梯度对抽头权向量的影响程度。该算法是沿负梯度方向调制权向量的，在空间中表现为沿性能曲面的最陡方向下降。 但是，最速下降法仍需要基于信号的先验知识，所以又通过瞬时估计。这样，基于维纳滤波发展起来的LMS（Least Mean Square）算法就出现了，该算法较简单，易于实现，稳定性强，因此，在实际中获得了更广泛的应用。1.4.2 基于卡尔曼滤波理论的算法60年代Kal

16、man把状态空间模型引入到滤波理论中，并且推导出了一套递推估计的算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是一种线性无偏最小方差的递推滤波，这种滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计一些历史信息，所以使得卡尔曼滤波既可以实时处理信号，在非平稳环境下也可以达到效果。对于平稳的情况，可采用定常状态模型，其状态适量等于常数：对于非平稳的情况，可以采用噪声状态模型，其状态适量围绕着某个均值随机变化。因此，可以使用卡尔曼滤波的递推求解法来对自适应滤波器的权矢量更新算法进行推导，推导出的算法会具有更快的收敛速度，以及

17、对输入矩阵的特征值扩展度不敏感的优势，但是这些算法的缺点在于计算复杂度高，数值稳定性差。图1.3为卡尔曼滤波的系统模型框图，其中动态系统的空间模型假定为： (1.4) (1.5)X(k)：系统在时刻t的状态；Y(k)：对状态的观测值；W(k)：系统噪声，方差阵为Q；V(k)：观测噪声，方差阵为R；：状态转移矩阵；H：观测矩阵；： 系统噪声驱动矩阵。输入量测量噪声过程噪声观测量延时状态变量系统图1.4 卡尔曼滤波器结构图。1.4.3 基于最小二乘法的算法不同于之前维纳滤波和卡尔曼滤波所基于的最小均方误差准则，最小二乘算法则是以误差平方加权和最小为优化目标，其中，这个误差指的是期望响应和实际滤波器

18、的输出之差。在这种准则下，最具有代表性的算法是递归最小二乘算法，该算法收敛速度很快，但是计算复杂度也相当高。所以，为了减少其计算量，各种快速的RIS算法相继被提出。此外，在这种情况下，还有自适应最小二乘格形算法以及QR分解最小算法。1.4.4 基于神经网络的算法人工神经网络是模拟人思维的第二种方式，它反映了人脑功能的若干基本特性，它不是生物系统的逼真描述，仅仅是对其的部分模仿。简化及抽象，人工网络是一种自适应非线性动态系统，它由大量的基本元件-神经元相互连接而成，其特点在于信息的并行协同处理和分布式存储。尽管单个神经元的结构非常简单，功能有限，但由于庞大数量的神经元所构成的网络系统能实现的功能

19、更为全面。人工神经网络有很强大的自适应、自组织能力，及高度并行性、鲁棒性和容错性，因此，它可以做许多传统信号和信息处理技术所不能处理的工作。在以上的几个分支中，自适应滤波算法得到不同程度的发展，但是，基于维纳滤波发展起来的最小均方(LMS)算法因其结构简单，计算量小，易于实现、稳定性好等特性，所以依然是目前得到最广泛应用的一种自适应滤波算法。传统LMS算法的收敛速度和稳态误差存在矛盾：当采用大步长时，收敛速度快，但稳态误差大；而采用小步长时，稳态误差低，但收敛速度慢。为了解决这一矛盾，均衡时都采用变步长LMS算法，以便在收敛速度和稳态误差之间取得折中。下面介绍一下自适应LMS算法。1.5自适应

20、LMS算法的发展1.5.1 LMS算法的历史自适应滤波算法主要分为最小均方(LMS)算法和递归最小二乘(RLS)算法。LMS算法是一种随机梯度算法，由Widrow和Hofff2J在1959年提出。1977年，Griffiths提出了梯度自适应格型(GAL)算法，与LMS算法不同，GAL算法用多级格型模块级联来实现自适应滤波器。最早的自适应均衡器是固定抽头系数或手动调节的，无法有效地消除符号间干扰造成的信号失真。1965年，Lucky提出了基于极大一极小性能准则的迫零均衡算法，该算法把邻近符号间干扰强迫置零。1969年，Proakis和Miller在自适应均衡算法中引入最小均方误差准则。1972

21、年，Ungerboeck从理论上对自适应横向滤波器的收敛性进行了详细的分析。1974年，Godard在卡尔曼滤波理论的基础上推导出RLS算法。上述均衡器都是同步均衡器，即抽头间隔等于符号速率的倒数。Brady于1970年提出了分数间隔均衡器(FSE)，在这种均衡器中抽头间隔大于符号速率的倒数，对信号延迟失真的补偿能力比同步均衡器强得多。另一类均衡器是判决反馈均衡器，由Austin在1967年提出。1971年，Monsen最先优化了最小均方误差分析中的判决反馈接收机。1.5.2 LMS算法的发展现状由于LMS算法原理简单，计算量较小，性能好，工程上实现比较容易，因此被普遍应用于均衡器。最初的LM

22、S算法的步长是固定的，无法兼顾快的收敛速度和较低的稳态失调。步长取值大，则算法收敛速度快，但稳态失调也大；步长取值小，稳态失调小，而收敛速度也慢。为了同时获得较快的收敛速度和较低的稳态误差，提出了各种变步长LMS算法。在这些算法中，步长是估计误差的函数。在自适应的初始阶段，估计误差较大，步长也较大，此时算法的收敛速度较快；当算法接近收敛时，估计误差较小，步长也取较小值，以获得较低的稳态失调。所以对各种步长函数的提出和改进是变步长LMS算法的主要研究方向之一，在最近几年的通信会议上，又提出了各种新的LMS算法，如符号算法、归一化算法、仿射投影算法和解相关算法。已有算法在收敛速度和稳态失调方面仍待

23、改进，且易受噪声影响，因此需要建立新的步长函数并研究新的LMS算法，以提高算法性能。1.5.3 LMS算法的发展前景 因LMS算法是自适应滤波器中应用最广泛的算法，所以可以说，自适应滤波的发展前景也就是LMS算法的发展前景。它主要包括以下几个方面的应用：（1）系统辨识和建模(System Identification and Modeling)。自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。（2）自适应信道均衡(Adaptive Channel Equlization)。在数字通信中采用自适应信道均衡器，可以减小传输失真，以及尽可能地利用信道带宽。（3）回波消除(Echo Cancellation)

24、。在2线和4线环路电话系统中，线路间存在杂散电路耦合，这些杂散导致阻抗不匹配，从而形成了信号的反射，也就是我们在线路两端听到的回声。这种回波能对高速数据传输造成灾难性的后果。回波消除就是预先估计一个回波，然后用返回信号来减此回波，从而达到回波消除的目的。消除心电图中的电源干扰就是它的一个具体应用。（4）线性预测编码（Linear Predictive Coding）。近年来，对语音波形进行编码，它可以大大降低数据传输率。在接收端使用LPC分析得到的参数，通过话音合成器重构话音。合成器实际上是一个离散的随时间变化的时变线性滤波器。时变线性滤波器既当作预测器使用，又当作合成器使用。分析语音波形时作

25、预测器使用，合成语音时作话音生成模型使用。（5）自适应波束形成（Adaptive Beaamforming）。频谱资源越来越紧张，利用现有频谱资源进一步扩展容量成为通信发展的一个重要问题。智能天线技术利用阵列天线替代常规天线，它能够降低系统干扰，提高系统容量和频谱效率，因此智能天线技术受到广泛关注。自适应束波形成通过调节天线各阵元的加权幅度和相位，来改变阵列的方向图，使阵列天线的主瓣对准期望用户，从而提高接收信噪比，满足某一准则下的最佳接收。在雷达与声纳的波束形成中，自适应滤波器用于波束方向控制，并可在方向图中提供一个零点以便消除不希望的干扰。其应用还有噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及预测

26、等。1.6 变步长LMS算法本实验在阅读变步长LMS算法相关文档的基础上，对多种算法进行研究和分析，选择并实现了一种较为实用的变步长LMS算法(VSSLMS)。VSSLMS 算法是变步长的最小均方误差算法，即Variable Step Size LMS。它是在LMS算法的基础上发展出来的，其克服了LMS 算法只能用于非平稳随机过程中无法跟踪信号的缺点，与上节推导的LMS 算法的区别在于收敛步长 是否变化。VSSLMS 算法可以根据参考噪声的变化来调整步长 的大小，当参考噪声变大时步长 会变大以加快信号的收敛，当参考噪声变小时步长 会变小以避免步长 过大使信号收敛失调的情况。步长的变化过程：在算

27、法的启动阶段，步长值应该是最大值，算法具有较快的收敛速率，参考信号的权值迅速逼近维纳解，而算法处于收敛阶段的时候，步长应该小一些，输出的信号具有较好的稳定性。二、最小均方算法在自适应滤波理论体系中，最小均方（LMS，least-mean square）算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整，简化了对梯度向量的计算。因为LMS算法具有低计算复杂度，在平稳环境中的收敛性好，其均值无偏地收敛到维纳解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使LMS算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。LMS算法是在维纳滤波的基础上，借鉴最速下降的思想而发展起来的。我们所研究的维纳滤波是有限冲击响应（FIR

28、，Finite impulse response）情况下的最优滤波，它的目的是使滤波器的均方误差达到最小，这里的误差是指滤波器输出与期望信号之差。然而求解维纳解需要一直输入信号和期望响应的统计信息，同时需要对输入信号的自相关矩阵进行求逆运算，因此维纳解只是一种理论上的最优解。为了避免矩阵求逆，最速下降算法以一种递归的方式逼近维纳解，然而最速下降法仍然依赖于信号的先验信息。因此利用瞬时误差平方的估计代替最速下降法中的均方误差而导出的最小均方算法成为应用最广泛的自适应滤波器算法。2.1 LMS算法原理构成自适应滤波器的基本部件是自适应线性的组合，滤波器设计准则是使滤波器实际输出y(n)与期望响应d

29、(n)之间的均方误差J(n)最小，这称为最小均方误差（MMSE）准则。所谓的自适应实现是指：M阶FIR滤波器的抽头权系数，可以根据误差e(n)的大小进行自动调节使代价函数最小。定义均方误差J(n)为代价函数，滤波器在n时刻的估计误差为所以代价函数由此可得J(n)的梯度最快下降算法中，其更新方向取第n次迭代的代价函数J(n)的负梯度其中w(n)为第n次迭代的权向量，为第n次迭代的更新方向向量，为第n次迭代的更新步长，来控制稳定性和收敛速度。将中的真实梯度向量用瞬时梯度向量来代替，可得最小均方误差算法：可以看出，LMS算法是一种递归运算，不需要对信号的统计特性有先验的了解，而只是使用它们的瞬时估计

30、值，运算得到的只是权重系数的估计值，但随着时间的增加，权重系数逐步调整，估计值也逐步接近最优解，最后得到收敛值。收敛的条件是：式中是输入数据协方差矩阵的本征值，w(n)永远不能收敛到理论上的最优解，而是在最优解附近振荡。综上所述，LMS算法其运算步骤为：（1）初始化设置w(n)(n=0,1,2,N-1)为任意值（一般为零），然后对每一次采样作以下各步的循环运算：（2）计算滤波器输出：（3）计算估计误差：e(n)=d(n)-y(n)（4）更新N个滤波器权重系数：（5）循环返回到第（2）步2.2 LMS算法性能分析衡量LMS算法性能的指标有算法的收敛性，收敛速度，稳态误差。2.2.1 收敛性LMS

31、算法中的收敛因子决定抽头权向量在每步迭代中的更新量，是影响算法收敛速度的关键参数。由于LMS算法的目的是在更新过程中使抽头权向量逼近维纳滤波器，所以权向量的更新过程可以视为一种学习过程，而决定LMS算法学习过程的快慢，所以我们也把收敛因子称为学习速率参数。由权向量更新公式知，LMS算法收敛需满足的条件为：当时，或等价为的值收敛为最优维纳滤波器：对权向量更新公式两边取数学期望得： 式中，当k=1时当k=2时 类推可得令共轭对称的相关矩阵R的特征分解为 其中U为酉矩阵，为对角阵，其对角元素为矩阵R的特征值。 可得，可以证明： 对所有的特征值有，则。此时有 由于对角阵对角元素均小于1最后可得这表明权

32、向量是均值收敛的，其条件是对角矩阵所有对角元素均小于1，即解得0为权向量收敛时，学习速率需满足的条件。2.2.2 收敛速度收敛速度即滤波器参数w(n)从初始值w(0)向最优解收敛的快慢。由上节的分析可知，滤波器权系数对最优滤波器的偏差是呈指数衰减的。只要能够满足上节中的收敛条件，权值误差向量将随着迭代的进行呈现指数下降的趋势，并最终趋近于零使得滤波器权值趋近最佳滤波器的解。为了更好地衡量LMS算法的收敛速度，引入时间常数参数。时间常数定义为第k个幅值衰减到起始值的1/e倍所需的迭代次数，其中e为自然对数的底。当步长较小时，时间常数近似为可以看出，LMS自适应滤波器的L维权矢量自适应过程是由L个

33、具有不同时间常数的指数包络分量组成，每个指数包络分量的衰减过程对应于一位权值收敛到最优解的过程。在最不利的情况下，衰减最慢，即具有最大时间常数的指数包络分量所对应的一位权值在自适应滤波器中起主导作用。因此，一般认为LMS的收敛速度由所有指数包络分量中衰减最慢的一个决定，即由指数包络分量对应的最大的一个时间常数决定。因此，定义最大时间常数作为衡量LMS算法收敛速度的指标当输入信号相同时，有由此可以看出LMS最快收敛速度的大小由输入信号自相关矩阵的特征值分散程度决定。R具有等特征值的情形最为理想，其收敛性能随着R特征值分散度的增大而恶化。同时时间常数与迭代步长成反比，补偿参数越小，LMS收敛速率越

34、慢；越大，LMS收敛速率越快。2.2.3 稳态误差稳态误差是指算法进入稳态以后滤波器权值距离最优解之间的差距。对于LMS算法在收敛到最佳值后，由于其校正值不为零，而是继续随机起伏，从而使也继续波动，因而即使LMS收敛后也存在一定得稳态误差。为了清楚地描述LMS算法收敛后的均方误差与维纳解所获得的均方误差的偏差，我们引入额外均方误差（Excess mean square error,EMSE）参数，即均方误差的最终值与维纳解获得的之差，定义为记为。定义与的比值为失调，它是LMS算法得到的稳态解与维纳解相差程度的度量，它提供了如何选择LMS算法使得均方误差意义下达到最优的一个测度。失调越小，有LM

35、S算法完成的自适应滤波器作用越精确。如果定义抽头输入的相关矩阵R的平均特征值为所有特征值和的平均，记为，假设LMS算法的集平均学习曲线可用时间常数的指数来逼近，LMS算法的平均时间常数为相应的失调为综上所述，最终分析可得：对于固定的，在滤波器长度大于未知滤波器长度的情况下，失调M随着滤波器长度L线性增加；失调M正比于步长，而时间常数反比与。因此LMS算法在收敛过程中存在着矛盾的要求：若变小则失调减小，时间常数增大；反之，变大使得时间常数变大，LMS算法的失调将增加。2.2.4 计算复杂度计算复杂度是指在更新一次滤波器权系数时所需的计算量。回顾2.1中，LMS一次迭代需要计算滤波器输出，误差信号

36、，权系数更新。共需要2L+1次乘法和2L次加法，其计算复杂度为O(L)，与滤波器阶数L呈线性增长。其复杂度相对较低，这也是LMS在实际中得到广泛应用的一大原因。2.3 变步长的LMS最基本的LMS算法中，学习速率取一常数。这种方法会引起收敛于稳态性能的矛盾，因为较大的学习速率能够提高滤波器收敛的速度，但稳态性能会降低。反之为了提高稳态性能而采用过小的学习速率时，收敛速度会变慢。简单有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习速率参数，即变步长的LMS算法。具有代表性的步长由均方瞬间误差控制的方法是Kwong变步长LMS算法，提出于1992年。算法中步长的迭代表达式为：其中为步长遗传因子，为瞬时

37、误差能量的权值，大于0，小于1但接近1，大于0，但是接近0. 为收敛步长的最大值，为收敛步长的最小值。当收敛步长大于时，系统信号将会收敛失调，最终因收敛步长过大而使输出信号失真并引入新的噪声；当收敛步长小于，由于系统的收敛步长过小，信号收敛需要很长一段时间，因此输出的信号会带有大量的背景噪声，因此系统的收敛步长必须控制在的区间。假设：当步长为常数时，上式显然成立，在步长变化较慢的情况下，上式也是近似成立的。当很小时，右侧的第二项趋向于零。由2.2.1可得此时的收敛条件为变步长的LMS算法中步长均值的收敛条件与原始固定步长LMS算法的收敛条件是相同的。VSSLMS算法相机步骤为：（1）滤波器输出

38、，（2）计算估计误差：e(n)=d(n)-y(n)（3）更新N个滤波器权重系数：（4）步长选择（5）循环步骤2三、实验过程本部分将按照代码实现的过程进行叙述，说明LMS算法和VSSLMS算法的实现过程。由上一部分可知，定步长LMS算法的收敛速度和稳态误差存在矛盾：当采用大步长时，收敛速度快，但稳态误差大；而采用小步长时，稳态误差低，但收敛速度慢。为了解决这一矛盾，均衡时都采用变步长LMS算法，以便在收敛速度和稳态误差之间取得折中。3.1 LMS算法实现3.1.1 音频读取通过函数读取原始音频文件，为了方便处理，将读取到的信号由列向量转换为行向量，并保存序列长度。wav,fs,bits=wavr

39、ead(sound);s=transp(wav);N=length(s);原始音频文件为一个两秒的语音信号，一名男性口述：“I really have a problem”。音频文件如下：图3.1 原始音频文件3.1.2 参考噪声及带噪信号的获得实验中，将白噪声作为参考噪声，对原始音频信号进行混合和恢复。首先利用函数生成一个和原始音频信号长度相等的白噪声信号，利用白噪声信号进行迭代可以获得噪声信号，将噪声信号与原始音频信号进行叠加，即可获得本次实验进行处理的带噪信号。k=1:N;x=0.2*wgn(1,N,0,(0.3)0.5); n(1)=x(1); n(2)=x(2)+0.5*n(1);f

40、or i=3:N n(i)=x(i)+0.5*n(i-1)-0.05*n(i-2);end产生的白噪声、噪声信号及带噪信号如下图：图3.2 白噪声信号图3.3 噪声信号图3.4 带噪信号3.1.3 LMS算法通过简单地循环获得延时信号，代码如下：M=3; X=;for i=1:M for j=1:N if j-i+1=0 X(i,j)=0; else X(i,j)=x(j-i+1); end endend对延时信号进行处理，利用最小均方误差方法，通过迭代，获得权重系数矩阵，实现代码如下：h=;for i=1:M h(i,1)=0;endu=0.1;for i=1:M for j=2:N h(i

41、,j)=h(i,j-1)+2*u*(y(j-1)-h(i,j-1)*X(i,j-1)*X(i,j-1); endendfor i=1:N z(i)=(h(:,i)*X(:,i);end产生的权重系数矩阵及抵消信号如下：图3.5 LMS权重系数迭代过程图3.6 LMS抵消信号通过带噪信号与抵消信号进行做差，即可获得实验结果：通过LMS算法进行降噪获得的音频信号。图3.7 LMS去噪信号对实验结果进行观察可知，在LMS算法进行处理时，一开始噪声较为明显，通过迭代，信号速度收敛。对恢复的信号进行测试，语音信号较为明显，实验成功。3.1.4 代码实现本实验的完整代码如下：clear all;clc w

42、av,fs,bits=wavread(sound);s=transp(wav);N=length(s); k=1:N;x=0.2*wgn(1,N,0,(0.3)0.5); n(1)=x(1);n(2)=x(2)+0.5*n(1);for i=3:N n(i)=x(i)+0.5*n(i-1)-0.05*n(i-2);end y=s+n; M=3;X=;for i=1:M for j=1:N if j-i+1=0 X(i,j)=0; else X(i,j)=x(j-i+1); end endend h=;for i=1:M h(i,1)=0;end u=0.1;for i=1:M for j=2:

43、N h(i,j)=h(i,j-1)+2*u*(y(j-1)-h(i,j-1)*X(i,j-1)*X(i,j-1); endendfor i=1:N z(i)=(h(:,i)*X(:,i);end e=y-z; subplot(4,1,1);plot(k,s);axis(0 N -3 3);xlabel(采样点k);ylabel(信号幅值s);title(原始信号);subplot(4,1,2);plot(k,y);axis(0 N -2 2);xlabel(采样点k );ylabel(信号幅值y);title(带噪信号);subplot(4,1,3);plot(k,z);axis(0 N -2

44、 2);xlabel(采样点k );ylabel(信号幅值z);title(抵消信号);subplot(4,1,4);plot(k,e);axis(0 N -2 2);xlabel(采样点k );ylabel(信号幅值e);title(恢复信号);% wavwrite(y,fs,bits,LMS_带噪);% wavwrite(z,fs,bits,LMS_抵消);% wavwrite(e,fs,bits,LMS_恢复);% plot(h(1,:),yellow);% hold on% plot(h(2,:),blue);% hold on% plot(h(3,:),red);代码运行后，结果如下

45、所示：图3.8 LMS算法实现结果3.2 VSSLMS算法实现变步长的最小均方误差算法在 LMS算法的基础上，克服了 LMS算法只能用于非平稳随机过程中无法跟踪信号的缺点，收敛步长 可变。根据参考噪声的变化来调整步长 的大小，当参考噪声变大时步长 会变大以加快信号的收敛，当参考噪声变小时步长 会变小以避免步长 过大使信号收敛失调的情况。VSSLMS算法在实现的过程中，音频读取、参考噪声及带噪信号的获得过程与LMS算法基本一致，这里不再进行描述。不同点在于，VSSLMS算法在迭代的过程中，对权重系数进行迭代后同时也对收敛步长进行迭代，这样才使得其在处理非平稳信号时，拥有更好的适用性。3.2.1 VSSLMS算法在对收敛步长进行迭代的过程中，设置收敛步