平行四边形培优讲义新打印版.doc

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1、 平边四边形知识点一知识框架 二知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形

2、，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。S菱形=1/2ab（a、b为两条对角线） 或底高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有

3、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 梯形常用辅助线：平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，D=DCE求证：四边形ABCD是平行四边形2、如图，在AB

4、CD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AECF，AE与CF相等吗？说明理由.3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形4、ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF5、(变式练习2)ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MFEN，MN交AC 于O。求证：EF与MN互相平分。7、(变式练习4)如图所示，ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过

5、点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.8、(变式练习)ABCD中，DE平分ADC交BC的延长线于E，BF平分ABC交AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF是平行四边形9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？BACDEFGHOABCFDGHEO10、(变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。求证：（1）BE=DF；（2）O为GH的中点。11、ABCD中，E在AB上，F

6、在CD上，且AE=CF,M为DE中点，N为FB中点,求证：FM=NE ME=NF12、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.13、.如图所示，已知点D是ABC的边AB上的中点，点E是AC上的一点，DFBE,EFAB,证明：AE、DF互相平分14、如图，已知AD是ABC的边BC上的中线，BME是AMD绕点M按顺时针方向旋转180得到的，连结AE，求证：DE=AC15、如图，在ABCD中，DAB=60，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB 求证：四边形AFCE是平行四边形16、如图所示，某城市部分街道示意图

7、，AFBC，ECBC，BADE，BDAE，EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是BAEF，乙乘2路，路线是BDCF，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由.17、在平行四边形ABCD中，BNDM，BEDF，求证：四边形MENF是平行四边形.18、如图，在ABCD中，AB=2AD，延长AD到F,使DF=AD,再延长DA到E,使AE=AD,求证:BFCE.ADFCBE19、如图19130，分别以ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。图320、如图3，

8、在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，连结，试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由。21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AECF，BGDH，试说明：EF与GH相互平分矩形拓展题1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）AABCD BADBC CABBC DACBDABOCD第1题2、如图，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图（2）将AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图则所得梯形BDGF的周长等于（ ）A.12+2 B.2

9、4+2 C.24+4 D.12+4 3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )A2m+3B2m+6 Cm+3Dm+6(第3题)m+3m3（第4题）4、如图，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( ) Aa B C D 5、如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，现沿直线将纸片折叠，使点落在纸片上的点处，连接，则与相等的角的个数为( )A.4 B. 3 C.2 D.1 6、矩形纸片ABCD中，AB

10、3，AD4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B处，折痕为AE在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为_7小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图，ADCD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图）如果第二次折叠后，M点正好在NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ABCDABCDEFABCDEGMN8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF=_。9、如图2，在矩形ABCD中，AD

11、 =4，DC =3，将ADC按逆时针方向绕点A旋转到AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .ABCFE第11题图（）D10、如图矩形纸片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一点E，ED2cm，AD上有一点P，PD3cm，过P作PFAD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_cm.11、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分DEF的面积是 cm2 12、如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且AP

12、CBPD90求证：平行四边形ABCD是矩形13、如图自矩形ABCD的顶点C作CEBD,E为垂足,延长CE至F,使CF=BD,连接AF,求BAF的大小菱形的性质及判定巩固练习题1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A对角线相等的平行四边形 B每条对角线平分一组对角的四边形C对角线互相垂直的平行四边形 D用两个全等的等边三角形拼成的四边形2 下列命题中错误的是 （ ）平行四边形的对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形ABCD矩形的对角线相等 对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ABCD4 菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60，则两条

13、对角线的长分别是（ ）A8cm和4cm B4cm和8cm C8cm和8cm D4cm和4cm5 如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ） A B C D DCBOAE6 如右图，四边形是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是（ ）A. B. C. D.7 如右图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（ ）ADCEBABCD8、如图，菱形中，垂直平分，垂足为，那么，菱形 的面积是 ，对角线的长是 9、已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm10、如图，矩形ABCD中，AB2，BC3

14、，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长_. 11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点 12、如图，菱形中，是对角线的交点，则 cm13、如图所示，已知ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为_（只写出符合要求的一个即可） 13题图 14题图12题图14、 如图所示，D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB上的点，且DEAB，DFCA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是_（只写出符合要求的一个即可）15、菱形ABCD的周长为4

15、8cm，BAD：ABC=1：2，则BD=_ _，菱形的面积是_ _16、在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_，AC=_17、如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想18、已知：如图，AD平分BAC，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F求证：四边形AEDF是菱形 19、如图，四边形中，平分，交于（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由20、如图8，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接（1）求证：（2）若，则四边形是什么特殊四边形

16、？请证明你的结论ABCDEF21、如图，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F，四边形AEFG是菱形吗?22、如图，三角形ABC中，AD是BAC的平分线，E是AC上一点，AE=AB,EFBC交AD于F，BE与AD交与G，求证：四边形BDEF是菱形。AEFCDB23、如图、在三角形ABC中，A=90 ，B的平分线交AC于D，交高AH于E,，DFBC,F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。EDHA24、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AHBC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的

17、长度25、如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.正方形练习题1、正方形ABCD的边长为1，它的两条对角线相交于点O，则ABO的周长为_ ，面积为_2、如图，E是正方形ABCD边B

18、C延长线上一点，EC=AC，AE交CD于F，则AFC=_ 2题图 3题图 6题图3、如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=2, EF= . 点E在AB上，点F在AD上，则CF=_4、在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且，AB=6, 则AE=_5、若正方形面积缩小为原来的，则它的边长是原来边长的_6、如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF, 若正方形面积为64，那么AEM的面积是_7、如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作正三角形BDE,过E作EFAD,交DA的延长线于F,则AEF=_；若正三角形BDE的周长是，正方形面

19、积为_ 7题图 8题图 10题图8 、如图，在正方形ABCD中，P是AD上任一点，PEAC,PFBD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=_9、正方形ABCD边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为_10、如图，已知边长为1的正方形ABCD，E为AD中点，P为CE的中点，则=_11、在ABC中，AB=AC，D是BC中点，DEAB,DFAC,垂足分别为E,F,只添加一个条件_,使四边形AEDF为正方形（写出一个条件即可）12、如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60，至正方形,则旋转后两个正方形重叠部分的面积是_13、如图，在

20、正方形ABCD中，M为BC上任一点，N是CD的中点，且AM=DC+CM求证：AN平分DAM14、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N. 求证：MD=MN. 若M是AB上任意一点，MD=MN还成立吗？若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。15、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于点F、G. 求证：BE=BG+CF16、如图，在正方形ABCD中，PAQ是正三角形，设AB=10,求PB的长17、如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BFEF,求证：BF=EF18、如图，正方形ABC

21、D边长为1，E是CD的中点，点F在BC边上移动.试判断当点F移到什么位置时，AE是DAF的平分线？19、如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且ECB=15.求证：EC=BD四边形综合培优题1、以ABC的边AB、AC、BC为边作等边ABD、等边 ACE和等边BCF。（1）求证四边形ADFE是平行四边形（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；（3）当ABC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；（4）当ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形2、如图：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足M，AM交BD于

22、点F求证OE=OF如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMEB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由3、如图，在梯形ABCD中，A+B=90，AB/CD,M,N分别是AB,CD的中点，求证：MN=.4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，ABCDMNE（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明图1ABCFDE5、在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点

23、F（1）在图1中证明CECF；（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），求BDG的度数图2ABCFDEG（3）若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数图3ADBCEFG6、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PEPD（1）如图1，当点P在对角线AC上时，观察、猜想PE与PB有怎样的关？并证明你的结论。ABPDCE图1（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足

24、条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？并证明你的结论。ABPDCE图2ABPDC图3ABCDGEF7、如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB45，CD2，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF（1）求EG的长； （2）求证：CFABAF（用两种方法证明）ABCDGEF8、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状并说

25、明理由；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，B=60（1）求点E到BC边的距离；(2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMBC，垂足为M，过点M作MNAB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，PMN的形状是否发生变化？若不变，请求出PMN的面积和周长；若变化，请说明理由10、将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺（ABC）的长直角边与含45角的三角尺（ACD）的斜边恰

26、好重合已知AB2，P是AC上的一个动点（1）当点P运动到ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PDBC时，求此时PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时DPBQ的面积DACB(第10题) DACB(备用图)11、如图1，在ABC中，ABBC5，AC=6.ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； COEDBARPQCOEDBA（第11题图2）（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延

27、长交线段AE于点Q，QRBD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；（第11题图1）112已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点（1）、当绕点旋转到BM=DN时如（图1），BM、DN与MN之间的数量关系是_;(不需说明)（2）、当绕点旋转到时如（图2），线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以说明（3）、当绕点旋转到如（图3）的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想13、如图：RtABC中，C=900，A=300，AB=4，将一个300角的顶点P放在AB边上滑动，保

28、持300角的一边平行于BC，且交边AC于点E，300角的另一边交射线BC于点D，连EDABCPED300（图1）（1）如图1，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP的长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗？若可能，求出PBDE为平行四边形时AP的长；若不可能，说明理由；（3）若D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP取值范围。（备用图）ABC14、正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）