基本不等式及其应用.ppt

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1、利用基本不等式利用基本不等式的转化求最值的转化求最值【例1】已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此时x、y的值8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 当且仅当，即 时，等号成立又 ，所以 ， 故当 ， 时， 的最【小值是解析】 本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“ ”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的2xyxy52(1)

2、1xxyxx 求函数 【变的式练习1】最大值104145402 4=445121231.xttttyttttttytxx 令 ，则，则 ，因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取 ，故函数的最大【解值为析】注意基本不等式注意基本不等式的适用条件的适用条件224sin2.sinyxx【求】的最小值例22222222222222222222413sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2 sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sin1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx，当，即时，可以取等号，即当时，的最小值是又

3、当时， ，即的最小值是所以【解析】函数 的最方小值是法 ：2222min4sin01441.011040,1415.sin01.40,2152.3txtyttytyttytttytttxtyttty 令，则， ，所以 当时， ，即 在上是减函数，所以当 时， 的最小值是令，则因为函数 在上是减函数，所以，当 时，方方法 ：法 ：22222“2”44sin2 sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本 是利用基本不等式求函 的最值用基本不等式，要注意 正、定、等 三要素缺一不可！下面的解法太有 惑力了：，因此 的最小值是 ，什么不 呢？因 等 只有在 才能取到，而 是不可能的！用方

4、法求解是非常有效的 2212212122bcRf xxxxbxcg xxf x已知 、，在区间，上，函数 与函数在同一点取得相同的最小值，求在区间【变，上的式练习 】最大值 22221111213113.4( )()24xxg xxxxxxxxxg xf xg xbcbf xxbxcx因为 ，当且仅当 ，即 时，“”成立，即的最小值为【因为与在同一点处取得相同最小值，而的图象是开口向上的解析】抛物线， 221122124234.41(1)3.2224.f xbcbbcf xxxxf x且，所以只能在顶点处取得最小值，所以，即 时， ，所以 所以 又，所以当 时，的最大值为利用基本不等式利用基本

5、不等式解实际问题解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？*2()0.20.20.20.220.20.2100.9100.1210101213 (101010)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设使用年的年平均费用为 万元，由已知条件可知年维修费构成一个以万元为首项， 万元为公差的等差数列，因此使用 年的总维修费用为万元，所以 ， 当且仅当 时取等号 所以当 时， 取最小值答：这种汽车使用 年时，【解析】年平均费用最小 解

6、决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决 【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内，试计算：

7、(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为P，试用x，y表示P；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ 2450220020090040020090040020120.320002009004002002 900 400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS，即 依题意， ，且，则可得 【解析】，2200120032000()6160001010090040010020.3100203SSPSSSSxyxyxSS得，即，得，当且仅当，即时， 取最大值答：简易房面积 的最大值为平方米，此时前面墙的长度应设计为米11.(3)3_yxxx

8、 函数 的值域是(，15，) 13333231232354(15)yxxxyxxyx ，当时， ，当 时取“”；当时， ，当 时取“”，所以函数的值域是 ，析】，【解2.若log2xlog2y4，则xy的最小值为 _.222logloglog4162848.xyxyxyxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，“【”成立故 的】最小值为解析823.230_ .yxyzxyzxzR 已知 ， ， ，则的最小值为2223,29619(6)4419(26) 3.43xzyyxzxzxzxzxzzxxzzxxyz由已知 所以 当且仅当 时取得【解析】最小值3 224.0041.1112lo

9、glogxyxyxyxy已知，且 求 的最小值；求的最大值 1111()(4)44525925941163119.1xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因为 ， ，当且仅当，即 ， 时取等号所以 的最小【解值为析】 2222222221loglogloglog (4)41 41log () log4421611482loglog4.2xyxyx yxyxyxyxy ，当且仅当 ，即 ， 时取等号所以的最大值为 4225.4812213.4xxf xf xxabf abb 设函数求的最大值及此时的 的值；证明：对任意的实数 、 ，恒有 42216 248281616162 2884 22

10、2 22282232 21.2xxxxxxxxxf xxxf x 【解，+当且仅当 .即 时，的最大值为析】 222222193(3)3443()3322133.412 2.2 23213.42bbbbbbbf xabf abb证明：因为 ，所以 的最小值为由知，的最大值为而，所以对任意的实数 、 ，恒有 本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决 12“

11、”123xyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 正、定、等 三要素正，即 ， 都是正数；定 ，即不等式另一边为定值；等 ，即当且仅当 时取 2sin0sinsin2 22 2sin2sin22sinxyxxyxxxxx如：当时，虽然有 ，但并不是 的最小值，因为不可能成立又如：并不一定有 ，因为 的符号没有确定 22“”00121xyxyxyxyxy利用基本不等式时，要注意 积定和最小，和定积最大 这一口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧但应注意，一般不要出现两次不等号例如：已知，且 ，求 的最小值0011216.122002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy因为，且 ，所

12、以当 时， 的最小值为因为，由，得，所以 的最小方方法 ：值为法 ：121212224 2214 2.3xyxyxyxyxyxy因为 ，所以，所以 ，所以 的最小值为方法 ：123221221221xyxyxyxyxyxyxyxy三种方法似乎都有道理，但结果却不一样，哪一种对呢？其实三种都不对方法 、方法 都是误用了等号成立的条件；方法 中， 是当且仅当 时取“”，而是当且仅当时取“”， 与不可能同时成立，所以错了00121212()() 323232 222 22112132 2.xyxyyxxyxyxyxyy xxyyxxxyyxyxy本题比较好的方法是：因为，且 ，所以 ，当且仅当，即时

13、，“ ” 成立，所以 的最小值为 22232(12)21022.34xyxyxyxyxxxxyxyyx记住下列结论，对解题是有帮助的：；当时， ；当 、 同号时， 40031_2_.ababa bababababab当两个正数 、 的和 与积出现在同一个式子中时，可以利用基本不等式互相转化来求取值范围如：已知，且 ，则；就可以这样来求： 221323(3)(1)0.1099)23()2()4() 12066)ababababababababababababababab因为 ，所以因为，所以，即，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，1(2010宿迁期中卷)已知实数a，b满足2ab1，则4a2b的最小

14、值是_2 2答案：选题感悟：在考试说明中基本不等式是C级要求，在应用基本不等式时，应注意合理拆添项、配凑等变形技巧的灵活应用 22220 |127()xaxxbxabxabaab已知关于 的一元二次不等式 的解集为，则其中的最小值为_扬(2010州期中卷)22200.44017279()63aaabababababababababab 由题意有，即所以 ，当且仅当 时取【解析】“”答案：6选题感悟：基本不等式的考查往往不是单独进行的，应用中考查是常见的题型，常需要对式子进行合理的变形，使之满足基本不等式的形式及等号成立的条件，这类问题在高考中经常出现 *(30)()()14()()115|15

15、|.1()(130)32(f ttf tg tttg ttw tttt N经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内以天计 ，日旅游人数万人 与时间 天 的函数关系近似满足 ，人均消费元 与时间 天的函数关系近似满足 求该城市的旅游日收益万元 与时间，的函数关系式；求该城市旅游日收益的最小值 万盐元 (2010城一模卷) *1(4)(115|15|)(130)1(4+ )(t+100)(115)1(4+ )(130-t)(1530)1115(4)(100)254()4014 2 2540144112255w tf tg ttttttttw tttttw tttttttt NNN由题意得， ，当时， ，当且仅当【解析，即 时】取等号； 15301130(4)(130) 519(4 )15,30130403 .31403441314033tw tttttw ttw t 当时， 易证在上单调递减，所以当 时，取最小值，为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元选题感悟：基本不等式作为求最值问题的常用工具之一，经常与实际问题相结合本题是给出了函数模型的函数型应用题，这是高考的热点问题