近世代数第三章小结.doc

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1、 第三章 环与域总结第一节 加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。元的唯一的逆元叫做的负元，记作-，简称负。环的定义：（）（+）是交换群（对+封闭）； ：满足结合律，即+和都满足分配律：即对满足 称在+和运算下是环。.是一个加群； .对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； .这个乘法适合结合律： ，不管是的哪三个元； .两个分配律都成立： ，不管是的哪三个元。环满足如下运算：,对 定义：（），若对,有,即满足交换律的环是交换环。 （），若,对则称为的一个单位元。一般地，一个环不一定有单位元。 （），含有单位元，,若，使得,则称是的逆元。 （），若

2、,则称为左零因子，为右零因子。 既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，只有零因子。定理：无零因子环里两个消去律都成立： （左消去） （右消去）在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。整环的定义：一个环叫做一个整环，假如满足： 是交换环： 是单位环，有单位元1： 是无零因子环（满足消去律）： 这里可以是中的任意元。第二节 除环、域除环的定义：一个环叫做一个除环，假如满足： 中至少包含一个不等于零的元 中有一个单位元 的每一个不等于零的元都有一个逆元域的定义：一个交换除环叫做一个域。除环和域的几个

3、重要性质：除环没有零因子（满足消去律）一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群，叫做R的乘群。因为 封闭性 满足结合律 有单位元 有逆元第三节 环的特征定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。第四节 子环子环的定义：一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。 一个环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环。第五节、同态同态的定义：（）（）环，：映射，若满足下列条件： 若是同态满射，则称和同态。定理：（），（）,同态，则。 若是交换环，则是

4、交换环。定理：如果环与同构，则有：若是整环，则是整环；若是除环，则是除环；若是域，则是域。定理：假定和是两个环，且同态。那么的零元的象是的零元，的元的负元的象是的象的负元。并且，假如是交换环，那么也是交换环；假如有单位元，那么也有单位元，而且是的象。定理：假定是环的一个子环，在里的补足集合（这就是所有不属于的的元作成的集合）与另一个环没有公共元，并且,那么存在一个与同构的环，并且是的子环。第六节 多项式环多项式定义：一个可以写成形式的的元叫做上的的一个多项式，叫做多项式的系数。多项式环的定义：叫做上的的多项式环。未定元的定义：的一个元叫做上的一个未定元，假如在里找不到不都等于零的元，使得多项式

5、次数的定义：令是环上一个一元多项式。那么非负整数叫做这个多项式的次数。多项式0没有次数。对于给定的来说，未必含有上的未定元。定理1：给了一个有单位元的交换环，一定有上的未定元存在，因此也就有上的多项式环存在。无关未定元的定义：的个元叫做上的无关未定元，假如任何一个上的的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理2：给了一个有单位元的交换环同一个正整数，一定有上的无关未定元存在，因此也就有上的多项式环存在。定理3：假如和都是有单位元的交换环上的多项式环，是上的无关未定元，是上的任意元，那么与同态。第七节 理想理想的定义：环的一个非空子集叫做一个理想子环，简称理想。假如 注：理想是

6、子环，但子环不一定是理想。 一个环至少有两个理想：只包含零元的集合，这个理想叫做的零理想本身，称单位理想。定理1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。主理想的定义：，由生成的理想（即包含的所有理想的交或包含的最小理想）称为主理想，记为（）。第八节 剩余类环剩余类的定义：对于给定的环及其一个理想，若只就加法来看，作成一个群，作成的一个不变子群。这样的陪集作成的一个分类。我们把这些类叫做模的剩余类。定理1：假定是一个环，是它的一个理想，是所有模的剩余类作成的集合，那么本身也是一个环，并且与同态。剩余类环的定义：叫做环的模的剩余类环，用符号/来表示。定理2：假定和是两个环，并且和同态，那么这个同态

7、满射的核是的一个理想，并且。定理3：在环到环的一个同态满射下，有的一个子环的象是的一个子环；的一个理想的象是的一个理想；的一个子环的逆象是的一个子环；的一个理想的逆象是的一个理想。第九节 最大理想最大理想的定义：一个环的一个不等于的理想叫作一个最大理想，假如除了同自己以外，没有包含的理想。注：除环的最大理想是零理想（除环包括域）定理：是的理想（），只有平凡理想是的最大理想。引理：是含有单位元的交换环，若只有平凡理想，则是域。定理：是有单位元的交换环，是环的理想，则是域是最大理想。第十节 商域定理1：每一个没有零因子的交换环都是一个域的子环。定理2：是所有元所作成的，这里商域的定义：一个域叫做环

8、的一个商域，假如包含，并且刚好是由所有元所作成的。定理3：假定是一个有两个以上的元的环，是一个包含的域，那么包含的一个商域。定理4：同构的环的商域也同构。一个环最多只有一个商域。总结：本章定理，推理及引理： 在一个没有零因子的环里两个消去律都成立： 反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。 推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。2.在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。3.如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。 推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数。 4.若是存在一个到的满射，使得与对于一对加法

9、以及一对乘法来说都同态，那么也是一个环。5.假如和是两个环，并且和同态。那么的零元的象是的零元，的元的负元的象是的象的负元。并且，假如是交换环，那么也是交换环；假如有单位元1，那么也有单位元，并且是1的象。6.假定同是两个环，并且。那么，若是整环，也是整环；是除环，也是除环；是域，也是域。7.假定是环的一个子环，在里的补足集合与另一个环没有共同元，并且。那么存在一个与同构的环，并且是的子环。8.给了一个有单位元的交换环，一定有上的未定元存在，因此也就有上的多项式环存在。9.给了一个有单位元的交换环同一个正整数，一定有上的无关未定元存在，因此也就有上的多项式环存在。10.假如和都是有单位元的交换

10、环上的多项式环，是上的无关未定元，是上的任意元，那么 与同态。 11.一个除环只有两个理想，就是零理想和单位理想。 12.假如是一个环，是它的一个理想，是所有模的剩余类作成的集合，那么本身也是一个环，并且与同态。 13.假定同是两个环，并且与同态，那么这个同态满射的核是的一个理想，并且。 14.在环到环的一个同态满射之下， i.的一个子环的象是的一个子环； ii.的一个理想的象是的一个理想； iii.的一个子环的逆象是的一个子环； iv.的一个理想的逆象是的一个理想； 15.假定是一个有单位元的交换环，是的一个理想。是一个域，当而且只当是一个最大理想的时候。 16.每一个没有零因子的交换环都是一个域的子环。 17.刚好是由所有元所作成的，这里。 18.假定是一个有两个以上的元的环，是一个包含的域，那么包含的一个商域。 19.同构的环的商域也同构。常用的计算规则： . . . . .（这里的0都是的零元）. . . . . 数学与信息学院 09级数本（1）班 段 秀 宽 20092111869 2012. 5. 25