高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全).doc

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1、高中数学专题训练导数的应用极值与最值一、选择题1函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx，据题意，0、是方程3ax22bx0的两根，a2b0.2当函数yx2x取极小值时，x()A. BCln2 Dln2答案B解析由yx2x得y2xx2xln2令y0得2x(1xln2)02x0，x3函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1 Bb1Cb0 Db答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f(x)3x23b在(0,1)上先负后正，f(0)3b0，b0，f(1)33b0，b1综上，b的范

2、围为0b14连续函数f(x)的导函数为f(x)，若(x1)f(x)0，则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x1时，f(x)0x1时，f(x)0连续函数f(x)在(，1)单减，在(1，)单增，x1为极小值点5函数yx23x4在0,2上的最小值是()ABC4 D答案A解析yx22x3.令yx22x30，x3或x1为极值点当x0,1时，y0，所以当x1时，函数取得极小值，也为最小值当x1时，ymin.6函数f(x)的导函数f(x)的图象，如右图所示，则()Ax1是最小值点

3、Bx0是极小值点Cx2是极小值点D函数f(x)在(1,2)上单增答案C解析由导数图象可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值点，x2为极小值点，选C.7已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(1)的大小关系为()Af(a2)f(1)Bf(a2)f(1)Cf(a2)f(1)Df(a2)与f(1)的大小关系不确定答案A解析由题意可得f(x)x22x.由f(x)(3x7)(x1)0，得x1或x.当x1时，f(x)为增函数；当1x时，f(x)0；当x0.x时取极大值，f().二、填空题9若yalnxbx2x在x1和x2处有极值，则a_，b_.答案解析y2bx1.由已知，解得10已知函数f(x)x

4、3bx2c(b，c为常数)当x2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为_答案0c解析f(x)x3bx2c，f(x)x22bx，x2时，f(x)取得极值，222b20，解得b1.当x(0,2)时，f(x)单调递减，当x(，0) 或x(2，)时，f(x)单调递增若f(x)0有3个实根，则，解得0c11设mR，若函数yex2mx(xR)有大于零的极值点，则m的取值范围是_答案m1，即m0，所以不存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数15已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x

5、)在区间(1,0)上是增函数，求a的取值范围解析(1)f(x)ax33x2，f(x)3ax26x3x(ax2)x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，a2.(2)解法一当a0时，f(x)3x2在区间(1,0)上是增函数，a0符合题意；当a0时，f(x)3ax(x)，令f(x)0得：x10，x2.当a0时，对任意x(1,0)，f(x)0，a0符合题意；当a0，1，2a0符合题意；综上所述，a2.解法二f(x)3ax26x0在区间(1,0)上恒成立，3ax60，a在区间(1,0)上恒成立，又2，a2.16已知函数f(x)x2ax1lnx.(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；(2)

6、函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)2xa，f(x)在(0，)上为减函数，x(0，)时2xa0恒成立，即a4，g(x)g()3，a3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f(x)0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2ax10有两个不等的正实数根故a应满足a2，当a2时，f(x)0有两个不等的实数根，不妨设x1x2，由f(x)(2x2ax1)(xx1)(xx2)知，0xx1时f(x)0，x1x0，xx2时f(x)2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)1. 已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)

7、lnxax(a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为 1，则a的值等于_答案1解析f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1，当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，00，则x，f(x)在(0，)上递增；令f(x)，f(x)在(，2)上递减，f(x)maxf()lna1，ln0，得a1.2设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.又f(0)8c，f(3)98c，则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.

8、因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)3已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围解析(1)当a2时，f(x)x36x23x1，f(x)3(x2)(x2)当x(，2)时f(x)0，f(x)在(，2)上单调增加；当x(2，2)时f(x)0，f(x)在(2，2)上单调减少；当x(2，)时f(x)0，f(x)在(2，)上单调增加综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调减区间是(2，2)(2)f(x)3(xa)21a2

9、当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根，x1a，x2a.由题意知，2a3，或2a3.式无解式的解为a.因此a的取值范围是(，)1“我们称使f(x)0的x为函数yf(x)的零点若函数yf(x)在区间a，b上是连续的，单调的函数，且满足f(a)f(b)0，f(x)在2,7上单调递减，又f(7)6ln83618(ln22)0，f(2)f(7)0.f(x)在2,7上有唯一零点当x7，)时，f(x)f(7)0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(

10、1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.3已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2

11、)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，f(x)在(1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5.f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.f(x)x33x29x2.f(1)a57，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.4已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称证明当x1时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x2

12、2.解析(1)f(x)(1x)ex.令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).(2)由题意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x)ex2.令F(x)f(x)g(x)，即F(x)xex(x2)ex2，于是F(x)(x1)(e2x21)ex.当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0.所以F(x)0.从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)e1e10，所以x1时，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x)(3)若

13、(x11)(x21)0，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x21，与x1x2矛盾若(x11)(x21)0，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x2，与x1x2矛盾根据得(x11)(x21)0，不妨设x11，x21.由(2)可知，f(x2)g(x2)，g(x2)f(2x2)，所以f(x2)f(2x2)，从而f(x1)f(2x2)，因为x21，所以2x21，又由(1)可知函数f(x)在区间(，1)内是增函数，所以x12x2，即x1x22.5已知函数f(x)ax3ax2，函数g(x)3(x1)2.(1)当a0时，求f(x)和g(x)的公共单调区间；(2)当a2时，求函数h(x)f(x)g(x)

14、的极小值；(3)讨论方程f(x)g(x)的解的个数解(1)f(x)3ax23ax3ax(x1)，又a0，由f(x)0得x1，由f(x)0得0x1，即函数f(x)的单调递增区间是(，0)与(1，)，单调递减区间是(0,1)，而函数g(x)的单调递减区间是(，1)，单调递增区间是(1，)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，)(2)h(x)ax3ax23(x1)2，h(x)3ax23(a2)x63a(x)(x1)，令h(x)0，得x或x1，由于1，易知x1为函数h(x)的极小值点，h(x)的极小值为h(1).(3)令(x)f(x)g(x)ax3(a2)x26x3，(x)3ax23(a2)x63a(x)(x1)，若a0，则(x)3(x1)2，(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)g(x)只有一个解；若a0，(x)的极小值为()30，(x)的图象与x轴有三个交点，即方程f(x)g(x)有三个解；若0a2，则(x)的极大值为(1)2，由(2)知(x)的极大值为()4()20，(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)g(x)只有一个解综上知，若a0，方程f(x)g(x)只有一个解；若a0，方程f(x)g(x)有三个解