函数逼近的理论与方法综述.doc

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1、 课 程 作 业 题 目： 函数逼近理论与方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 计算数学 研究方向： 数字图像处理 学生姓名： 安 静 学 号： 2013201134 教 师： 张贵仓 函数逼近的理论与方法综述函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样；g对函

2、数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。一、 几种常用的插值函数1.拉格朗日（Lagrange）插值设是实变量的点值函数, 且已知在给定的各互异点处得值即差值的基本问题是, 寻求多项式, 使得 (1-1)设是一个次多项式, 则差值问题是, 如何确定中的系数, 使得(1-1)式满足, 所以该问题等价于求解下述的线性方程组 (1-2)上述的线性方程组的系数矩阵为 他是一个的矩阵. 当时, A的列数大于行数, 不难证明矩阵A的秩数为. 因为的前列所组成的行列式为我们有： (1-3)为了证明(1-3), 我们考虑此多项式显然村委它的零点,

3、且它的系数恰为.可以得出下面的递进关系式运用他便可证明(1-3)式. 根据(1-3)并注意到诸互异, 从而线性方程组(1-2)的系数矩阵的秩数它表明(1-2)的解是不唯一的, 即差值问题(1-1)的解是不唯一的. 当时, 矩阵的行数大于列数, 按照(1-3)式, 线性方程组(3-2)的每个程组成的方程组均有唯一一组解. , 但是一般来说, 这样求出的各组不一定相同, 即此时(1-2)可能是矛盾方程组. 鉴于上述情况, 看来取是最为适合的, 现在我们从提多项式插值问题：给定个互异点, 对任意组数, 是否尊在唯一的, 使之满足下面差值条件. (1-4) 上述问题的答案是肯定的, 现在采用构造性方法

4、把所要求的多项式求出来, 试想：如果可求出具有下面性质的特殊的差值多项式： (1-5) 则多项式 (1-6)必满足(1-4)的多项式, 但(1-5)中上面的等式, 之处中出外, 均为的零点, 因此, 其中为常数, 但(1-5)中的等式指出所以：记做, 则还可表示更加简单的形式：. 总之次多项式: (1-7)满足差值条件(1-4). 若也满足差值条件(1-4), 则必以为零点. 即, 这样一来, 次多项式依然有个不同的零点, 所以, 所以有(1-7)表示的次多项式是中满足差值条件的唯一多项式, 他被称作为差值多项式, 并记做 (1-8)按上面的推理可得差值多项式也可看做是从下面的行列式方程中解出

5、来的 (1-9)由(1-1)所示的条件成为差值条件, 点组, 称为差值结点, 上面所得到的结果可以从集合上解释为, 有且仅有一条次代数曲线, 通过平面上事先给定的个点, 其中. 差值公式(1-8)具有结构清晰, 紧凑的特点, 因此适合于工作理论分析和应用. 拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把的构造问题转化为n+1个插值基本函数的构造。所要构造的插值多项式为：由插值条件： 2.牛顿（Newton）插值插值公式的却是在于, 当差值结点的个数有所变动时, 因子就要随之发生变化, 从而整个公式的结构也要发生变化, 这在计算实践中是不方便的, 为了克服这个缺点, 在这一节中我们引进了形

6、势的差值公式. 虽然个结点上的次差值多项式也可以写成下列形式 (2-1)下面我们确定上式的. 令表示个结点上的次差值多项式. 因为：, 所以：,为常数. 由条件可以得出又因为：, 所以有 引进记号得与之间的关系同理得: 一直写下去, 最后得到 (2-2)公式(2-2)就是型差值公式, 系数由(2-2)式来确定. 3.Hermite插值多项式在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数满足把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 定义 对称多项式(3-1)为埃尔米特多项式。设在n+1个节

7、点4.分段插值 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。分段插值包括：（1.）分段线性插值；（2.）分段抛物插值；（3.）分段低次多项式插。5.样条函数插值插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。二、练习题1用Newton法求的近似解。解：由零点定理，在内有根。 由牛顿迭代格式 取得， 故取 2求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：12324123并估计误差。解：（1）利用插值法加待定系数法：设满足 则 再设 （2） 3、证明n阶均差有下列性质：1）若，则；2）若，则。证明 1）。2）。4、求在上的分段线性插值函数，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。5、求在上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解设将划分为长度为h的小区间，则当，时，从而误差为，故。6、若，是三次样条函数，证明1）；2）若，式中为插值节点，且则。解 1）。2）由题意可知，所以