§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案.docx

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1、4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案正弦函数诱导公式教案（2） 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数一、教学目标：1、学问与技能（1）进一步熟识单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）驾驭正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并驾驭正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能娴熟运用正弦函数的性质解题。2、过程与方法通过正弦线表示,2,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出,2，让学生从中发觉正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探究出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固

2、练习。3、情感看法与价值观通过本节的学习，培育学生创新实力、探究归纳实力；让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念；使学生相识到转化“冲突”是解决问题的有效途经；培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。难点:诱导公式的敏捷运用，正弦函数的性质应用。三、学法与教学用具在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探究出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习驾驭诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观推断出正弦函数的性质，并能上升到理性相识；理解驾驭正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究

3、式学习为主。教学用具:投影机、三角板第一课时正弦函数诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在上一节课中，我们已经学习了随意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k)sin(kZ)，这一公式体现了求随意角的正弦函数值转化为求0360的角的正弦函数值。假如还能把0360间的角转化为锐角的正弦函数，那么随意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。【探究新知】1复习：（公式1）sin(360k+)=sin2对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角） （以下设为随意角） 3.公式2：设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边

4、与单位圆交于点P(-x,-y)，由正弦线可知：sin(180+)=sin4公式3：如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：sin()=sin,5公式4：由公式2和公式3可得：sin(180)=sin180+()=sin()=sin,同理可得：sin(180)=sin,6公式5：sin(360)=sin【巩固深化，发展思维】1例题讲评例1求下列函数值（1）sin(1650)；（2）sin(15015)；(3)sin()解：（1）sin(1650)sin1650sin(4360210)sin210sin(18030)sin30(2)sin(15015)sin15015sin(1802945)si

5、n29450.4962(3)sin()sin(2)sin例2化简：解：（略，见教材P24）2学生练习二、归纳整理，整体相识（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思 余弦函数诱导公式教案（2）4正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式-余弦函数一、教学目标：1、学问与技能（1）了解随意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）驾驭余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在0，2上的图像；（5）娴熟依据余弦函数的图像

6、推导出余弦函数的性质；（6）能区分正、余弦函数之间的关系；（7）驾驭利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的状况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。3、情感看法与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习主动性；培育学生分析问题、解决问题的实力；让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念；使学生相识到

7、转化“冲突”是解决问题的有效途经；培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。难点:余弦函数的诱导公式运用和性质应用。三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到随意角的状况；现在我们就应当与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出ycosx在0，2上的图像，并由图像直观得到其性质。教学用具:投影机、三角板第一课时余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】

8、在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30P31.【探究新知】1余弦函数的定义在直角坐标系中，设随意角与单位圆交于点P（a，b）,那么点P的横坐标a叫做角余弦函数，记作：acos(R).通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示为ycosx(xR).如图，有向线段OM称为角的余弦线。其实，由相像三角形的学问，我们知道，只要已知角的终边上随意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则角的正弦和余弦分别为：sin，cos.在今后的解题中，我们可以

9、干脆运用这种方法，简化运算过程。2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角2，2，（）的终边与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角和角，的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。由此归纳出公式：cos(2)coscos()coscos(2)coscos()coscos()cos请同学们视察右图，角与角的正弦、余弦函数值有什么关系？由图可知，RtOMPRtOMP,点P的横坐标cos与点P的纵坐标sin()相等；点P的纵坐标sin与点P的横坐标cos()互为相反数。我们可以得到：sin()coscos()sin问题与思索：验证公式sin()co

10、scos()sin以上公式统称为诱导公式，其中可以是随意角。利用诱导公式，可以将随意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。【巩固深化，发展思维】1例题讲评例1已知角的终边经过点P（2，4）(如图)，求角的余弦函数值。解：x2，y4，r|OP|2cos例2假如将例1中点P的坐标改为（2t，4t）(t0)，那么怎样求角的余弦函数值。解：(提示：在r|OP|2|t|中，分t0和t0两种状况，见教材P31)例3求值：（1）cos（2）cos（3）cos()（4）cos(1650)（5）cos(15015)解：（1）coscos（2）cos（2）coscos（）cos0.9239(3)、（4

11、）、（5）略，见教材P33例4化简：解：（略）2学生练习二、归纳整理，整体相识（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思余弦函数诱导公式教案（1）余弦函数的概念和诱导公式一、教学目标：1、学问与技能：（1）了解随意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）驾驭余弦函数的诱导公式；（4）驾驭利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法：类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定

12、义推广到更加一般的状况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式。3、情感看法与价值观：使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习主动性；培育学生分析问题、解决问题的实力；让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念；使学生相识到转化“冲突”是解决问题的有效途经；培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式。难点:余弦函数的诱导公式运用。三、学法与教法我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到随意角的状况

13、；现在我们就应当与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出ycosx在0，2上的图像，并由图像直观得到其性质。教法：自主合作探究式四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30P31.（二）、探究新知1余弦函数的定义：在直角坐标系中，设随意角与单位圆交于点P（a，b）,那么点P的横坐标a叫做角余弦函数，记作：acos(R).通常我们用x，y分别表示

14、自变量与因变量，将余弦函数表示为ycosx(xR).如图，有向线段OM称为角的余弦线。其实，由相像三角形的学问，我们知道，只要已知角的终边上随意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则角的正弦和余弦分别为：sin，cos.y在今后的解题中，我们可以干脆运用这种方法，简化运算过程。2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角2，2，（）的终边x与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角和角，的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。由此归纳出公式：cos(2)coscos()coscos(2)coscos()coscos()cos请同学们视

15、察右图，角与角的正弦、余弦函数值有什么关系？由图可知，RtOMPRtOMP,点P的横坐标cos与点P的纵坐标sin()相等；点P的纵坐标sin与点P的横坐标cos()互为相反数。我们可以得到：sin()coscos()sin问题与思索：验证公式sin()coscos()sin以上公式统称为诱导公式，其中可以是随意角。利用诱导公式，可以将随意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。（三）、巩固深化，发展思维1、例题探析例1已知角的终边经过点P（2，4）(如图)，求角的余弦函数值。解：x2，y4，r|OP|2cos例2假如将例1中点P的坐标改为（2t，4t）(t0)，那么怎样求角的余弦函

16、数值。解：(提示：在r|OP|2|t|中，分t0和t0两种状况)例3求值：（1）cos（2）cos（3）cos()（4）cos(1650)（5）cos(15015)解：（1）coscos（2）cos（2）coscos（）cos0.9239(3)、（4）、（5）略，见教材P33例4化简：。解：略2、学生练习：教材P20的练习1、2、3（四）、归纳整理，整体相识：（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？（五）、作业布置：略五、教后反思：正弦、余弦的诱

17、导公式概念辨析 正弦、余弦的诱导公式概念辨析公式二：sin(180+)=-sincos(180+)=-cos用弧度制可表示如下：sin(+)=-sincos(+)=-cos它刻画了角180+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数这是因为若设的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即180+角的终边与单位圆的交点必为P(-x，-y)（如图4-5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(180+)=-y,cos(180+)=-x,sin(180+)=-sin

18、，cos(180+)=-cos 公式三：sin()=sincos()=cos它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)（如图4-5-2）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cos公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义依据点P的坐标精确地确定点P的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质事实上，在图1中，点P与点P关于原点对称，而在图2中，点P与点P关于x轴对称直观的对称形象为

19、我们精确写出P的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性2关于公式四和公式五公式四是：sin(180-)=sincos(180-)=-cos用弧度制可表示如下：sin(-)=sincos(-)=-cos公式五是：sin(360-)=-sincos(360-)=cos用弧度制可表示如下：sin(2-)=-sincos(2-)=cos这两组公式均可由前面学过的诱导公式干脆推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的3关于用一句话概括五组诱导公式的问题五组诱导公式可

20、概括为：+k360（kZ），-，180，360-的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是随意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个符号”是指的同名函数值未必就是最终结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把随意角视为锐角状况下的原角原函数的符号教学时应留意讲清这句话中每一词语的含义，特殊要讲清为什么要把随意角看成锐角建议通过实例分析说明 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页