微积分期末复习总结资料精品.docx

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1、微积分期末复习总结资料精品首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克制急躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是根本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。第二、制定复习方案，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的根底。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识

2、根底。 第三、理清知识构造网络图极限、连续、导数、不定积分，然后根据知识构造网络图去发散、联想根底概念和根本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些根本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到答复以下问题的严密性。 第四、将课上教师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比方，求极限的13种方法要分别练习，还

3、有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回忆。第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的根底上加强及同学、教师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。 其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及根本要求经过详细整理分类主要包括以下三个局部，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限及连续(一)根本概念1函数：常量及变量，函数的定义2函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4初等

4、函数：根本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四那么运算，无穷小量及无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比拟，两个重要极限6连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，连续点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的表达重点：函数概念，根本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)根本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。3. 熟练掌握六类根本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。4. 了解复合函数、初等函数的概

5、念。5. 会列简单应用问题的函数关系式。6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其及无穷大量的关系，以及无穷小量的比拟等关系。8. 掌握极限的四那么运算法那么.9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。11. 了解函数连续点的概念，会判别函数连续点的类型。12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。一元函数微分学(一)根本概念1导数：导数的定义及几何意义，函数连续及可导的关系，根本初等函数的导数，导数的四那么运算法那么，复合函数

6、求导法那么，隐函数求导法那么，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法那么，高阶导数2微分：微分的概念及运算，微分根本公式表，微分法那么，一阶微分形式的不变性3中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的表达4导数应用：用洛比达法那么去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平及垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题难点：导数的应用(二)根本要求1. 理解导数及微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导及连续的关系。2. 熟记导数及微分的根

7、本公式，熟练掌握导数及微分的四那么运算法那么。3. 熟练掌握复合函数的求导法那么。4. 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。5. 知道一阶微分形式的不变性。6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式. 掌握洛比达法那么求极限问题9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值及极值点包括判别的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点及驻点的区别及联系11.掌握用二阶导数求曲线凹凸包括判别的方

8、法，会求曲线的拐点12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法不定积分(一)根本概念1不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，根本积分公式表2积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用重点：积分概念及计算，在几何上的应用难点：积分的计算及其应用(二)根本要求1.理解原函数及不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分及导数(微分)的关系2.熟记积分根本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法3.了解不定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和不定积分的性质4.熟练掌握求解不定积分的方

9、法最后一点，还要提醒大家的就是复习时的考前须知。在复习的过程中，应该注意调整我们的状态和注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在复习时将所学的几门学科都能够穿插安排，这样保证大脑的高效率。同时，还应该注意休息。考试期间的复习效率很低，那时看看书适当放松，把习题简单回忆一下足矣。考前注意保持充足的睡眠，现在很多同学在期末考试前点灯熬夜，晚上不注意休息，考试没有精神，甚至睡着了，导致很容易的题目也没有时间做了；还有不容无视的一点就是，在考试的过程中，要注意卷面干净、书写整洁，还要有清晰的解题思路和完整

10、的答题步骤，对于没有思路的题可以先放放以免耽误答题时间，否那么会影响自己的卷面得分。最后，希望大家保持一个安康的身体和良好的心态，做好期末复习，祝大家取得好成绩！提前祝大家元旦快乐！第一章 函数及极限第一节 函数1.1 函数内容网络图区间定义域不等式 定义集合对应法那么 表格法 表达方法 图象法初等函数解析法非初等函数单调性 函数的特性 奇偶性函数周期性有界性定义反函数 重要的函数存在性定理复合函数符号函数：几个具体重要的函数 取整函数：，其中x表示不超过x的最大整数.狄里克雷函数：1.2 内容提要及释疑解难 一、函数的概念 定义:设A、B是两个非空实数集，如果存在一个对应法那么f，使得对A中

11、任何一个实数x，在B中都有唯一确定的实数y及x对应，那么称对应法那么f是A上的函数，记为 .y称为x对应的函数值，记为 .其中x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数f的定义域，记为Df， , 称为函数的值域，记为Rf，在平面坐标系Oxy下，集合 称为函数y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最根本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。 1、由确定函数的因素是定义域、对应法那么及值域，而值域被定义域和对应法那么完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法那么。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法那么是否一样，

12、至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。 2、函数及函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数及函数表达式等同起来。 二、反函数 定义 设y=f(x)，假设对R(f)中每一个y，都有唯一确定且满足y=f(x)的及之对应，那么按此对应法那么就能得到一个定义在Rf上的函数，称这个函数为f的反函数，记作 .由于习惯上用x表示自变量，y表示因变量，所以常把上述函数改写成. 1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。 2、函数y=f(x)及x=f

13、-1(y)的图象一样，这因为满足y=f(x)点x,y的集合及满足x=f-1(y)点(x,y)的集合完全一样，而函数y=f(x)及y=f-1(x)图象关于直线y=x对称。 3、假设y=f(x)的反函数是x=f-1(y)，那么 4、定理1反函数存在定理严格增减的函数必有严格增减的反函数。三、复合函数 定义 设，假设，那么y通过u构成x的函数，称为由y=f(u)及复合而成的函数，简称为复合函数，记作。复合函数的定义域为，其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，称为内函数，f(u)称为外函数。1、在实际判断两个函数能否构成复合函数，只要看的定义域是否为非空集，假设不为空集，那么能构成复合函数，

14、否那么不能复合函数。2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如y=f(x), y=g(x),假设y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。那么复合函数，假设作为外函数，作为内函数，那么复合函数为y=g(f(x)。3、我们要学会分析复合函数的复合构造，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四 初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为根本初等函数。大家一定要记住根本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点？及坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到

15、。由根本初等函数经过有限次四那么运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如 ，是由复合而成。五 具有某些特性的函数1奇偶函数定义 设D是关于原点对称的数集，y=f(x)为定义在D上 的函数，假设对每一个，都有，那么称y=f(x)为D上的奇偶函数。 1定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要条件。 2假设f(x)为奇函数，那么f(0)=0，事实上，由定义知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0. 2周期函数 定义 设y=f(x)为定义在D上的函数，假设存在某个非零常数T，使

16、得对一切，都有f(x+T)=f(x)，那么称y=f(x)为周期函数，T称为y=f(x)的一个周期。 显然，假设T是f(x)的周期，那么也是fx的周期，假设周期函数f(x)的所有正周期中存在最小正周期，那么称这个最小正周期为f(x)的根本周期，一般地，函数的周期是指的是根本周期。 必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如f(x)=cc为常数，因为对任意的实常数T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数f(x)=c没有最小正周期。 如果f(x)为周期函数，且周期为T，任给，有f(x)=f(x+kT)，知。所以D是无穷区间，即无

17、穷区间是周期函数的必要条件。 3单调函数 定义 设y=f(x)为定义在D上的函数，假设对D中任意两个数x1,x2且x10，使得对每一个，都有 那么f(x)为D上的有界函数。几何意义，假设f(x)为D上的有界函数，那么f(x)的图象完全落在直线y=-M及y=M之间。注意：直线y=-M，y=M不一定及曲线相切。有界函数定义的反面是定义 设y=f(x)为定义在D上的函数，假设对每一个正常数M无论M多么大，都存在，使，那么称f(x)为D上的无界函数。 6函数的延拓及分解 有时我们需要由函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由产生新的函数的方法。 设，我考虑区间-a,a上的函数F

18、(x)，它是偶函数，且在0,a上，使F(x)=f(x)，那么应有称Fx是f(x)的偶延拓同样可给出f(x)的奇延拓，即函数Fx在-a,a上的奇函数，且在0,a上，Fx=f(x)，那么应有这样，研究f(x)只要，研究Fx就可以了。 同样，对于函数y=f(x),，可以构造一个以b-a为周期的周期函数Fx，在a,b上，Fx=f(x)，那么有这就是函数f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究Fx就可以了。 此外，定义在区间-a,a上的任何一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数及一个偶函数和事实上设 由奇偶函数的定义知，f1(x)是奇函数。 f2(x)是偶函数，且.我们还可以证明f1(x)，f2(x)是

19、唯一存在，如果,其中g1(x)是奇函数，g2(x)是偶函数，于是,解得，一、求函数定义域的方法1假设函数是一个抽象的数学表达式子，那么其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，且在1分式的分母不能为零； 2偶次根号下应大于或等于零；3对数式的真数应大于零且底数大于零不为1； 4arc sin 或arc，其；5，其 6假设函数的表达式由几项组成，那么它的定义域是各项定义域的交集；7分段函数的定义域是各段定义域的并集。2.假设函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的集合。3.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。 例1 求以下函数

20、的定义域：1； 2 解1要使函数式子有意义，就必须满足。化简有 ,即 .解之，得定义域为。2要使函数式子有意义，就必须满足 ，即，化简有，不等式各边除以-2有，各边取倒数得，。解之，得函数的定义域为。 例2 不清设，求f(x)的定义域。 解 要使函数式子有意义，必须满足 即 故所给函数的定义域为。注意：如果把化简为，那么函数的定义域为的一切实数，因此，求函数的定义变形式时需特别小心，防止出错。 例3 且，求并写出它的定义域。 解 由，得，由，得，即x0，所以 。 例4 设f(x)的定义域为0，1，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域a0。 解 要使f(x+a)+f(x-a)有意义，必须满足

21、得 当时，由，知函数的定义域为。当时，由a1a，知定义域不存在。二、求函数值域的方法1. 由定义域x的范围，利用不等式求出f(x)的范围；2. 假设y=f(x)有反函数x=f-1(y)，求出反函数的定义域就是函数的值域；3. 利用一元二次方程的判别式求函数的值域。 例5 求以下函数值域：1； 2； 3。 解1令，于是。当且仅当，即时，。故函数的值域是。 2由，得(x+3)y=x+1，解之，是的反函数，而的定义域是，故函数值域是。3由原函数式变形，得 ，即 。当y-1=0，即y=1时，x=0；当，即。故函数的值域为0，4。 三、判断两函数是否为同一函数的方法 例6 判断以下各组函数是否为同一函数

22、： 1i； ii 2i； ii。 解1由y=sinx的定义域是0，的定义域是0，。知两函数定义域一样，又知两函数对应法那么一样，故iii为同一函数。 2由的定义域是的全体实数，的定义域是的全体实数，知两函数定义域不同，尽管当时，知两函数对应法那么一样，但iii不是同一个函数。 四、求反函数方法 步骤：1. 从y=f(x)中解出x=f-1(y) ;2.改写成y=f-1(x),那么y=f-1(x)是x=f-1(y)的反函数. 例7 求以下函数的反函数: (1)； 2； 3 解1由，知反函数为， 。 2由两边立方得即 解之 。所以反函数为3由 那么反函数为 五、求复合函数的方法。 1代入法 某一个函

23、数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。2分析法根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进展分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数及分段函数或分段函数及分段函数的复合。例8 设.解 ， ，猜测 。当n=1时，结论已成立，假设n=k时，成立，当n=k+1时， 。即n=k+1时结论成立，故。 例9 设。 解 当，当。故 f(f(x)=1。 例10 设。 解 由1当时或。或2当时或。或得 六、判断奇偶函数的方法 偶函数f(x)的图象关于y轴对称；奇函数f(x)的图象关于原

24、点对称。奇偶函数的运算性质 1. 奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。 2. 偶数个奇偶函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。 3. 一奇一偶的乘积为奇函数 4. 两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。判断方法 1用定义 2.假设f(x)+f(-x)=0，那么f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比拟困难的题目。 例11 判断以下函数的奇偶性： 1； 2； 3a0,a1常数 解1由，知f(x)为偶函数 2由 知f(x)为奇函数。 3由 ，知f(x)为奇函数 七、周期函数的判断及周期的求法 1周期函数周期的求法 1假设T为f(x) 的周期，

25、那么f(ax+b)的周期为 2假设f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，那么c1f(x)+c2g(x)的周期为T1，T2的最小公倍数。 2周期函数的判断方法。 1用定义。 2用周期函数的运算性质。常见函数的周期：sinx,cosx,其周期T=2；其周期T=。 例12 求以下函数周期 1； 2； 3。 解1由的周期，的周期。故f(x)的周期性期为6。 2由 ，知f(x)的周期。 3设，T为任意整数,由知任意整数均为其周期，那么最小周期T=1。 例13 假设函数的图形关于两条直线x=a和x=b对称ba，那么f(x)为周期函数。 证 由条件函数的对称性知 ， 1 ， 2故函数在a,b中点(a+

26、b)/2处的值等于点a/和处的函数值从而猜测如果f(x)为周期函数，那么周期应为 。事实上 所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数。 八、单调函数的判断方法1用定义。2利用单调函数的性质。 1两个递减增函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。 例14 设及f(x)为递增函数证明：假设 1 那么 2 证 设x0为三个函数公共域内的任一点，那么 由1以及函数f(x)的递增性知，；从而 同理可证 。由x0的任意性知，于是2式成立。 九、函数有界性的判断 判断函数是否有界，经常用定义。 例15 判断以下函数是否有界： 1； 2。 解1由f(x)的定义域是R。当，当，知，所以

27、f(x)为有界函数。 2。 由无界函数的定义知f(x)在0，1上无界。第二节 函数极限及连续2.1 函数极限内容网络图闭区间上连续函数的性质初等函数在其定义域内的闭区间上连续最大小值定理零值点定理根的存在定理介值定理函数极限与连续 夹逼定理判断函数极限存在准那么 单调有界定理单侧极限及双侧极限函数极限及数列极限归结原那么。关系定理 函数极限及无穷小 无穷大及无穷小无穷小的阶高阶、同阶、等价。函数连续定义 可去连续点 第一类连续点 跳跃连续点连续点分类 第二类连续点 内容提要及释疑解难一、函数极限的概念1.。2. 把1中“换成“。3 把1中“换成“。定理且4设在的某空心邻域内有定义，假设存在一个

28、常数A，都有。5 设在的某左半邻域内有定义，假设存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成6. 设在的某右半邻域内有定义，假设存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理 且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，那么在该点的极限存在，否那么不存在。7时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“改成“，只要把上式中“改成“。8.。当时，都有。读者同理可给出定义。注：常数及的区别，前者是说明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于

29、极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。9。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。定理 。其中。10假设时，都有，称时是有界量。二、无穷小量阶的比拟，无穷小量及无穷大量关系设，这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思1假设，称当时是的高阶无穷小量，记作。2假设，称时是的同价无穷小量。3假设，称时是的等价无穷小量，记作，此时2式也可记作。4假设，称时是的k阶无穷小量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入假设。记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价

30、量。例如 ，那么。注：A不能为零，假设A=0，不可能和0等价。无穷小量的性质：1假设均为无穷小量，那么i其中均为常数。ii。2假设时是有界量，那么。无穷大量的性质：1有限个无穷大量之积仍是无穷大量。2有界量及无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量及无穷大量之间的关系：假设；假设。三、函数连续的概念。定义1 假设处连续。用语言可写为定义 设的某邻域内有定义，假设时，都有，称连续。用函数值增量形式可写为定义 假设，称在处连续。假设,称处左连续。假设称处右连续。定理处连续处既是左连续又是右连续。如果处不连续，称为的连续点。连续点的分类：1假设点。假设为函数的可去连续点，只须补充定义或改变函数在该点连续。

31、但须注意，这时函数及已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点一样。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当时，也具有这种性质。而时，所以在的范围内也具有这种性质，从而到达了我们的目的。例如 ，但 那么在处连续，但及定义域不同，虽然，又如知。设那么在处连续，虽然及定义域一样，但在处，两个函数值不同，知及不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处一样。2假设但，称为的跳跃连续点，称的跳跃度。12两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类连续点。3假设处，左、右极限至少有一个不存在，我们称。假设，我们也称为的无穷型连续点，属于第二类连续点。四、函数极限

32、的性质在下述六种类型的函数极限：1 2 3 4 4 6它们具有及数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的表达只要作适当修改就可以了。性质1唯一性假设极限存在，那么它只有一个极限。性质2局部有界性假设极限存在，那么存在的某空心邻域，使在内有界。注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。性质3 假设，那么存在的某空心邻域，使时，都有。性质4局部保号性 假设，那么对任何常数，存在的某空心邻域，使得对一切，都有 成立。性质5不等式假设，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有。性质6 复合函数的极限假设，且存在的某空心邻域，当时， ，那么。性质6是求极限的一个重要

33、方法变量替换法，即。性质7函数极限的四那么运算假设均存在，那么函数1； 2；3；又假设在时的极限也存在，且有4。利用极限的四那么运算，可得以下重要结果。上面的结论可作为公式用。性质8归结原那么或海涅Heine定理存在的充要条件是：都存在且相等。逆否认理假设存在两个数列=且或存在不存在，那么不存在。此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。五、函数连续的性质假设函数处连续，即，利用极限的性质1-5可得到函数在连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把即可，读者自己表达出来。利用极限的四那么运算，我们有性质1连续函数的四那么运算假设处连续，那么。性质2 假设处连续，那么处也连续且在满足性质2的

34、条件下，极限符号及外函数可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论 假设。证 设那么处连续，又处连续，由性质2知。由于。在这里，我们巧妙地利用可去连续点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。即极限符号及外函数交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。定理 初等函数在其定义域上连续。六、闭区间上连续函数的性质定理 最大值及最小值定理假设在闭区间上连续，那么在上一定能取到最大值及最小值，即存在，使得对一切，都有。推论1 假设上连续，那么上有界。定理根的存在定理或零值点定理假设函数上连续，那么至少存在一点。推论1 假设函数上连续，且之间的任何常数，

35、那么至少存在一点。推论2 假设函数上连续，那么。这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件及结论，并会运用这些定理去解决问题。七、重要的函数极限及重要的等价量利用初等函数的连续性及极限符号及外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的重要的函数极限。1 2. .3.4.5. .6、.7.8.9 .10 .11假设=即 。注：不仅要记住这些公式的标准形式，更要明白一般形式。即上面公式中的可换成，只要时，结论依然成立。利用上述重要极限，我们可以得到以下对应的重要的等价无穷小量，在解题中经常要利用他们当时，.注：上式中的可换成，只要时，.结论依然成立。例如 。此外，假设.2.3 解题根本方

36、法及技巧一、求函数极限的有关定理等价量替换定理，假设1；2；，那么.证,即.这个定理告诉我们，在求函数极限时，分子、分母中的因式可用它的简单的等价的量来替换，以便化简，容易计算。但替换以后函数极限要存在或为无穷大。需要注意的是，分子、分母中加减的项不能替换，应分解因式，用因式替换，包括用等价无穷小量、等价无穷大量或一般的等价量来替换。夹逼定理 假设 ，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有，那么 。单调有界定理1假设在内递增或递减有下界或上界，那么存在。2假设在内递增或递减有下界或上界，那么存在。请读者给出的表达。函数的单调有界定理应用的较少，大家只要了解就可以。洛必达法那么I 设1；2存在的某

37、邻域，当时，都存在，且 ；3，那么.洛必达法那么II，设1；2存在的某邻域，当时，都存在且 ；3，那么.1上述两个法那么中的改成时，条件2只须作相应的修改，结论依然成立。2在用洛必达法那么求极限之前，应尽可能把函数化简，或把较复杂的因式用简单等价的因式来替换，以到达简化，再利用洛必达法那么。3利用洛必达法那么求极限时，可在计算的过程中论证是否满足洛必达法那么的条件，假设满足洛必达法那么的条件，结果即可求出；假设不满足，说明不能使用洛必达法那么，那么需用其它求极限的方法。此外，可重复使用洛必达法那么，但只能用有限次。注：洛比达法那么是第三章内容。二、函数极限的类型1 假设是初等函数，的定义域，由

38、初等函数的连续性知.2假设，那么12对于因式中含有对数函数，反三角函数时，一般放在分子、否那么利用洛必达法那么很繁，或求不出来。3当同号时，这时，把化成分式，通分、化简，化成“或“，再利用洛必达法那么。4(i)当时，我们有两种方法求该未定式的极限，一种方法利用重要极限来计算，另一种方法，化为以e为底的指数函数，再利用洛必达法那么。即解法一 再根据具体情况化成。解法二 这两种方法，我们经常还是利用解法一方便。ii当时，iii当时这时，只有化成以e为底的指数函数，再利用洛必达法那么。即.而不属于未定式，因为。三、函数的表达式，求函数的极限1求函数极限的四种重要方法 1极限的四那么运算；2等价量替换；3变量替换；4洛必达法那么。对于未定式的极限，先用等价量替换或变量替换或极限的四那么运算化简，再利用洛必达法那么求极限。很多情况下，这几种方法常常综合运用。例1 求.解 =。例2 求.解 ,由得原式=。注：此题虽然是未定式，但巧妙地用变量替换，并没用洛必法那么就直接求出了极限。例3 求。解 原式，由时，得原式。例4 求.解 原式，由时，得原式 .