数值分析作业1.docx

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1、拉格朗日插值法摘要：本篇综述是从插值法的原理入手，通过线性插值（一次插值）、抛物线插 值（二次插值）的分析，从特别到一般，从简洁到简单，引入拉格朗日插值多项 式。关键词：插值法线性插值 抛物插值 拉格朗日插值一、引言在科学讨论和其他很多实际问题中，经常有函数不便于处理和计算的情 形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要依据试验观测或其他方法来确 定与自变量的某些值相对应的函数值；有时函数虽有解析表达式，但是使用很不 便利。因此，盼望对这些问题中的函数建立一个简洁的便于计算和处理的近似表 达式，即用一个简洁的函数来近似代替这些不变处理的函数。与用近似数代替精 确数一样，这也是数值计算方法中最

2、基本的概念和方法之一，也就是插值法。二、插值法的基本原理.插值法设函数y = f（x）定义在区间a, b上，入0，犬1，是a, b上取定的n+1个互异的节点，且在这些点处的函数值/（%0）/（再）,/（%”）为，即y =/（xj,假设存在一个F的近似函数p（%）,满意夕= yj 1 = 0, 1, 2, , no （1）, 那么称,（x ）为F （x）的插值函数。（1）式称为插值条件，fix）称为被插函 数，a , b称为插值区间，求夕（x ）的方法就是插值法。插值函数夕（X）在n+1个互异插值节点匕（? = 0, 1, 2,7?）处与/（X,）相等，在其他点x就用夕（x ）的值作为f （x）

3、的近似值。这一过程称为插值，点 x称为插值点。换句话说，插值就是依据被插函数给出的函数表“插出”所要点 的函数值。用P （ x ）的值作为f 5）的近似值。不仅盼望P （ x ）能较好的靠 近f （才），而且还盼望它简洁。由于代数多项式计算既简洁又便于计算，这是我们选择用多项式作为插值函数的缘由。我们数值分析课主要学习了代数多项式插 值。1 .插值法的几何意义从几何上看，插值法就是求曲线y = (x)，使其通过给定的n+1个点(%,y),= 0, 1, 2,，n)。并用它近似曲线y = /(x),见下列图2. 1.= 0, 1, 2,，n)。并用它近似曲线y = /(x),见下列图2. 1.2

4、 .唯一性n次代数插值问题的解存在且是唯一的。由插值条件,(乙)=力(7 = 0,1, 2, , )。可得：a()+a/o+an%()n=yoa0+a1x+-+anxin=y1这是一个关于待定参数外 a01，aQ+aj x n+. .+anxa的n+1阶线性方程组。其系数行列式 n1 XoV(XoXi.,Xn)= 1 X1 1 Xn这就是范德蒙行列式，因看WX1,故为:Xo Xo2n n i“ Xi =nn(x-xp2n T 六Xn Xnvwo,依据克莱姆法那么，方程组的解存在且唯一。三、拉格朗日插值的引入1 .线性插值线性插值是代数插值的最简洁形式。假设给定了函数f(X)在两个互异的点的值，

5、%=/(Xo), y=/(X),现要求用线性函数(%) = 2X + Z?近似地代替 f(X)。选择参数。和b ,使(七)=/(xz.) (i=0, 1)称这样的线性函数P(%)为f (x) 的线性插值函数。线性插值的几何意义是：用通过点A (七八%)和B (氏)(%)的直线近似地代替曲线_y = /(x)。如下图:y3.1线性插值的几何意义由解析几何知道，这条直线可用点斜式表示为：P(x) = y0+比(x-x。) 玉一/将上式整理，可以改写成：P(x) = 3二工为 十二y ,将朝,代入可以验证P(x)X() 一 X Xj - x)就是所求的多项式，记：/。)二/。)=x- x()其中/o

6、(x)与4。)称为线性插值基函数，于是线性插值函数可以表示为为 J与基函数的线性组合，即：P(x) = /o(x)，o+/(x)X2 .抛物线插值线性插值计算便利、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要 求的，X比拟小，且fQx)在沏X上变化比拟平稳，否那么线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简洁的曲线去近似地代替简单的曲线，最 简洁的曲线是二次曲线。设函数尸/I(X)在给定互异的自变量值吊，X1,在上对应的函数值为外,%,二次插值就是构造一个二次多项式P(x) = % + axx + a2x2使之满意尸(%) = = 0,1,2这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个

7、点的抛物线y二P(x)近似代替y = /(x),如下列图所示:3.2抛物线插值的几何意义设条件方程为:尸(x) = /()(%)% +/(x)h +l2(x)y2 ,要想满意条件就应有:，0(*0)= 1/()(七)=。，0(%2)=。T(/o)= o4a) = 14(%2)= 0/2(xo) = O，2(%)=/2(2) = 1(3)现在关键是求插值基函数：由(1)式知：相 至是4 5)的根，所以有:/o(x) = x 玉)(% 马)其中4为常数。再由:ZO(XO) = 1W：/0(x0)= X。一玉)(x0 %)= 1(% 王)(2-x2)(% 王)(2-x2),从而导出:=（X-X）（X

8、-X2）（叫）一玉）（10 一12）同理可推得:I、=。7（）（72）1 （七一%）（为一）“（%）= （XT。8 -）（% -X（）（X2 -Xj）这样就得出了全部的插值基函数。所以:（x-xx-x2）（x-x0）（x-x2）。7（）（工一%）-X I）2（% 一%）（% 一%） （七一/O）（X Z） （% %0）（工2 玉）.四、拉格朗日插值多项式1 .从以上的分析可以看到，两个插值点可以求出一次插值多项式，而3 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个是，也就是通过n+1个不 同的点（%,yj （/=0, 1, 2,）来构造一个次数为n的多项式。方法 与推导抛物插值的基函数类

9、似，应领先构造一个特别n次多项式/,.（%）的插值问 题。设连续函数y=f （x）在a, b上对给定n + 1个不同结点：用，为, ，Xn分别取函数值乂），71,，为其中 Yi = f （x） i = 0, 1, 2, , n试构造一个次数不超过n的插值多项式：P（x） = a0 + a1x + a2x2 + + anxn ,并依据抛物插值的多项式来构造n次插值多 项式：P（%） = 4 （%） %+/（%）% + 4（%）%使之满意条件:P（x。= y i = 0, 1, 2, , n类似地，同构造线性、抛物插值的方法，先求次多项式A （x） A=0, 1,由（七）=0知,石，/t，%都是人

10、得零点,我自己通俗的理解为: 在自己点处的值是1,在其它点处的值都为0。故与抛物插值多项式类似，设4（幻二%（%一%）（工一%）（次-.1）（%一/+1）（%一五）=丸立（Xf）J=o-k又由4 （须）=1,得：(% 一%)(% %)(/ /_)(% /+1)(/ Z)所以有:/ =5/）（刀一%）。一/1）0与+|）（二苞?）k （一公）（一七）（一+）（一乙）rtrto A -w J-J4（X）就是关于基点看的n次插值基函数（/=0, 1, 2,，），它们都是n 次插值多项式。这些多项式称为在n+1个节点为，为，黑上的n次基本插 值多项式或n次拉格朗日插值基函数。将4。)代入 P(x) =

11、 /k(x)Vk 得:k=0 Y - yp(x)= g)yk=E n二%百七0 %O Xk - Xj j*k7这就是所求的n次拉格朗日(Lagrange)插值多项式。2 .拉格朗日插值多项式的误差f (x)P(x)称为用插值多项式尸(X)代替f(X)的余项，误差或插值余项， 记为R(x) = /(x) P(x)定理：设尸(X)在区间a, b上连续，+D(x)在a, b上存在,吊，丸, X”是a, b上互异的数，记插值问题的余项为此(幻=/(%)-？(%)，那么，当XC a, b时,有如下估量r(+i)o/r(x)=k后-%+1(幻，其中：叫+i(x)=n(x乙)。5 + 1)!甘五、典型例题及

12、算法流程1 .已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度(m)0100300100015002000压强(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485试用二次插值法求1200米处的压强值。解：设X为高度，y为大气压强的值，选取(1000, 0. 8515) , (1500, 0. 7984), (2000, 0. 7485)三点构造二次插值多项式p(x)=(X-X)(X-X2)y +(X-X)(X-X2)y + (X-X)(X- X1) (X0-Xj)(X0-X2) (X -X0)(X-X2)1(X2-X0)(X2-X) ?代入的数值，得P(1200)

13、P(1200)(1200-)()()( 1200-1500) 7485 (20()0-15()0)(2000-1000) ,(1200-1500)( 120()-200() 0 15 +(120()-1()()()( 12()()-2()()0) 0 (1000-1500)(1000-200() 、(1500-1000)(1500-2000) ,所以 y(1200) P(1200)= 0. 82980 (kgf/m2)2 .拉格朗日插值法的算法流程11六、小结拉格朗日插值多项式是最基本最简洁的插值法。特点如下：(1)插值多项式P(x)只与数据为，/(为)有关，与节点排列顺无关，与了(X)无关，但余项4(X)与/(X)有关。(2) /(x)是不超过n次的多项式，取n+1个节点插值时，插值多项式就是 其本身。(3) n=l时时线性插值，n=2时是抛物线插值。(4) Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算简单。高次插值的精度 不肯定高。数值分析姓名：SM班级：Y100401学号：S20220659指导老师：杨明