数值分析复习题04742.docx

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1、数值分析复习题一一、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字.2,设f(x)可微，那么求方程x2=f(x)根的牛顿迭代格式为.3 .对 f(x)=x3+3x2-x+5,差商 f0123,4=.4 .方阵A的谱半径是指.5 .求积分)(%)公的近似值，其辛卜生公式为.一h二、观测数据(1,-5), (2,0), (4,5), (5,6),试用最小二乘法求形如= ax + x的阅历公式。(10分)三、求一个次数不高于4的多项式p4(x),满意以下插值条件X012f(x)011广01四、写出计算线性方程组$ - 2x2 + 2x3 = 5v - X + 3%2 = -2

2、x + 7x3 = 2的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、用预估一校正法求初值问题2xy0Xlv y)(0) = 1在x=0.2处的数值解，步长取h=(M。(要求保存小数点后4位)六、把区间分成两等份，用复化辛卜生公式计算(口的近似值。保存小数点后四位，并说明误差是多少.七、在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简洁迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭 代法为平方收敛.数值分析复习题二一填空1 .近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字.2 .设/( = %6_3%4+工35,那么差商/0,123,4,5,6=3 .求积分公的近似值，其复化梯形公式为4 . 5点

3、高斯求积公式，其代数精度为5 .设f(x)可微，那么求方程x2=f(x)根的近似值的牛顿迭代格式为6 .采用二分法求/(幻=0在加上根的近似值，误差限为7 .方阵A的谱半径是指8 .矩阵A的条件数是指9 .能用高斯消元法求解Ar =人的充要条件是548548-2 1，那么1141广10 .设4= 3 12 72% + 313 =12二给定线性方程组4玉 + 2%2 + 退=12% + 2x2 + 3x3 = 161 .用列主元消元法求解所给线性方程组。2 .写出Gauss Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。三 设加2=用。 1，/ .试在/2中求/(X)=UI在区间上的最正确平方

4、靠近元。四对于积分。()公，假设取节点工0 =1,玉=g,%2 =1，试推导一个插值型求积公式，并用这个 公式求工/dx的值。五给定方程xLit2 = 0(1)分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；(2)构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。b六观测数据(1,-5), (2, 0), (4, 5), (5, 6),试用最小二乘法求形如0(x) = ix + 的阅x历公式。ax2七 初值问题=奴+。4(0) = 0有精确解丁。)= + bx,求证：用欧拉法以为步长所得近似解的整体截断误差为8 = y(xn) - yn = ahxn。八 给定线性方程组Ax = b其中A =1

5、,b =用迭代公式一分:阴)(k = 0,1,2)求解，问取什么实数。可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。数值分析复习题三一、填空.用1000.1近似真值1000时，其有效数字有位,1 .设/(%) = ？3/+/5,那么差商/0,1,2,3,4,5,6=.求积分公的近似值，其复化梯形公式为2 . 5点高斯求积公式，其代数精度为.求标的近似值，其牛顿迭代格式为3 .采用二分法求/(x) = 0在加上根的近似值，误差限为.方阵A的谱半径是指4 .矩阵A的条件数是指.能用高斯消元法求解Ax = 的充要条件是2 110.设4= 3 12 754 ,那么|加|尸83 -1二给定线性方程组0 22 1

6、1 1、1 3六求解冲突方程组2 53 -1211-21 .写出Gauss -Seidel迭代格式；2.分析该迭代格式是否收敛。7T三 设/(x) = sinx, xe 0,-,试求/(x)的一次最正确平方靠近多项式，并估量误差。2h四给定求积公式L/(x)公pAf(0 + ”(O) + q(，试打算A民。使它的代数精度尽可能得高。五给定方程九一乙九2 = 0(1)分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；(2)构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。ax1初值问题=以+ M0) = 0有精确解y(x) = + ,求证：用欧拉法以/z为步长所得近似解的整体截断误差为耳=y(x)

7、一券=La/vc o3 213用迭代公式八 给定线性方程组Ax = b，其中A= ,b =1 2-1心+D二”)-小巧 仅二0,1,2)求解，问取什么实数。可使迭代收敛，什么。可使迭代收敛最快。数值分析复习题四一、填空L设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，那么其相对误差限是2 .求为的近似值，其牛顿迭代格式是3 .设有函数表如下4.设 f(x)=3x3+2x2+l,那么差商 “0,1,234=.XX0Xix2X3X4yyoyi Y2Y3 Y4ymomi m2m3 m4那么可采用插值，其插值多项式的次方为55,设 A= 737311 2 ,那么 囿=266 .具有三个节点的高斯型求积公

8、式其代数精度是.7 .非奇异矩阵A的条件数CondA=, A是病态是指.8 .微分方程数值解的几何意义是指10.5二、给定线性方程组Ax = b,其中A=0.510.50.510.5二、给定线性方程组Ax = b,其中A=0.510.50.50.50.5 ,证明雅可比迭代法发散，而高斯一赛1德尔迭代法收敛。三、观测数值如下x 12 45y -5 0 56b试用最小二乘法求形如y =+ 的阅历公式。x四、采用矩阵的三角分解法，解方程组五 给定方程x-乙心-2 = 0。(1)分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；(2)构造求近 似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。1 11 3六求解

9、冲突方程组2 53 -1七 初值问题、=奴+y(0) = 0有精确解y(x) = + bx,求证：用欧拉法以。为步长所得 近似解y的整体截断误差为n = y(x)- = alvcn o-3 2l 3 一八 给定线性方程组 Ax = b，其中4=,b= ，用迭代公式1 21-1_xM=x(k) + a(b-Axk)(女二0,1,2)求解，问取什么实数?可使迭代收敛。数值分析复习题五一、填空(1)求解方程x)=0的Newton迭代公式为,割线公式为.一3 -3(2)设有矩阵4= / ，那么l|A% =|A|产。4 6(3)设有数据x-112y 032那么其2次 Lagrange插值 多项式为.,

10、2次拟合 多项式 为.。(4)设/(7) = JTTRdx,那么用梯形公式所得近似值为 oy = /(x, y), ax(%) y=x, i = l,2,3,。 69八、设Ae/t 有个正的实的特征值42办2.试证当0。一时迭代公式型训二”+。(八觥的) 4收敛。数值分析复习题六一、填空1 .设 =2.40315是真值 = 2.40194的近似值，那么有 位有效数字。2 .牛顿柯特斯求积公式的系数和方c/)k=0门2、3 .4=，那么条件数condg(A) =。I。1Jx3 -10 x 14 .假设S(x) = 1 1 二 。，是三次样条函数，那么折氏-(x-l)3+a(x-l)2+b(x-l

11、) + c lx2 2C-o5 .以 + 1个整数点攵(攵=0, 1, 2,几)为节点的Lagrange插值基函数为nlk(x) ( k =0, 1,2, ,/?),贝U klk(x) =.k=06 .序列yj：o满意递推关系：y = 10yn.l-l,(n = 1,2,.)，假设y0有误差,这个计算过程稳定.7 .假设f(x) = 2x4 + x2-3,那么fl,2,3,4,5,6 =.ri3118 .数值求积公式Jf(x)dx = f() + f(l)的代数精度是9.当x很大时，为防止损失有效数字，应当使，7石- =110.A= 671x 11那么Ax二、用最小二乘法确定一条经过原点的二次

12、曲线，使之拟合以下数据x 0y 0.2,2 0A= 0 5、2 01.02.0 3.00.5 1.0 1.2c、o ,b= 3 ，用迭代公式淤)+。(以一份Vl-b(女= 0,1,2,)求解Ax =匕,问取什么实数a可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。四、设/(%)四阶连续可导，%=% + %/ = 0,2,，试建立如下数值微分公式/(%) = ”)2广)+)，并推导该公式的截断误差。h2xei,l,试求/(x)的一次最正确平方靠近多项式，并估量误差。 4六.给定方程丁+4/10 = 0,分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代公式是收敛的。七、对于积分114假设取节点叫)=,Xj = yX2 = g,试推导一个插值型求积公式,并用这个公式求工/dx的近似值。八、用预估一校正法求初值问题(步长取为0.1)J =1+jxe0,2J(0) = 0