数值分析例题.docx

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1、例2.2给定函数值表用二次插值计算ln(11.25)的近似值,并估量误差。X10111213Inx2.3025852.3978952.4849072.564949解:取节点X。=10,西=11,丁 =12,作二次插值ln(l 1.25) L2 (11.25) =ln(l 1.25) L2 (11.25) =(11.25 11)(11.25 12)(10-11)(10-12)x 2.302585(11.25-10)(11.25-12)(11-10)(11-12)(11.25-10)(11.25-12)(11-10)(11-12)x 2.397895(11.25-10)(11.25-11)(12-

2、10)(12-11)x 2.484907 =2.420426在区间10,12上历x的三阶导数(2/x3)的上限M3=0.002, 可得误差估量式| % (11 .25)| -1(11.25-10)(11.25 -11)(11.25-12)10.0000781注：实际上Jn(ll.25)=2.420368,|R2(11.25) |=0.000058例2-3(反插值法)单调连续函数 =f(x)在如下采样点处 的函数值X1.01.41.82.0yi=fM-2.0-0.80.41.2求方程/。) = 0在1,2内根的近似值 小使误差尽可能小。分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。例6-6例

3、1中的雅可比迭代法的迭代矩阵为因|BJL=|L故雅可比迭代格式收敛。例 7-1 求f (x) = V % 1 = o在1.0,1.5内的一个 实根，准确到小数点后2位.kakbkXkf(Xk)符号01.01.51.2511.251.375+21.3751.312531.31251.3438+41.34381.3281+51.32811.320361.32031.3242一只要二分6次(k = 6),便能到达预定的精度 x*-x6 0.005例7-2求xi = o在1.5附近的根1*。解：将方程改写成以下麒X = VX + 1据此建立迭代公式Xk+1 = Vxk +1 (k =。,1,2,)kX

4、kkXkkXk01.531.3258861.3247311.3572141.3249471.3247221.3308651.3247681.32472结果X,与X8完全相同，可以认为7实际上已满足方程 即为所求的根。例7-3为求x3一x2-l=0在x0=l.5附近的一个根，设奖方程改写成下 列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1) x = l + ，迭代公式=1+4；(2) =1 + V迭代公式=割+ X；/=，迭代公式 x-i试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效 数字的近似根。解:取X。=1.5的邻域侏考察(1)当 口 .3,1.6时，(p(x) = 1+-Lg1.3,

5、1.6,x221(x) = t r = 1,故迭代式4+i = 1 + ;B1.3,1.6x1.3xk上整体收敛。(2)当)口.3,1.6时(x) = Vl + x2 e 1.3,1.6o(x) = 13 (l + x2)2/3-1? L = 0.522 1 3 (1 + 1.32)273故与+】=机+就在L3J.6上整体收敛。(3) 0(x) = -=，H(x)| =V x 112(x-1)3/2故与+i = / 二发散。 - 1由于(2)的L较小，故取(2)中迭代公式计算。要求结果具有四位有缴字，只需4x-xlO-3 0.5x10-3L 2取x。=1.5计算结果见下表kXkkXk1231.

6、4842480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820由田X-X ；x 1 ()-3,故可3sx6 = 1.466例7-4比拟求ex +10x-2 = 0的根到三位小数所需的计算量：(1)在区间0,1内用二分法； 用迭代法Xk+ =(2-eXk)/10,取初值X。=0.解：(1)因x* e0,1,f(0) 0,f0,故0 x* 1,用二分法计算，此时Xm x*卜士 = 0.000030517，x1(t4, 2X*X14具有三位有效数字。(2)当X e 0,0.5附，9(x) e 0,0.5,|(x)| = (2-e

7、Xk)在0Q5上整体收敛。取x0=0,迭代计算结果如下kXkkXk1230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951止匕时 X6 x* x6-x5 1;3x2(2) =， (p (x)=一Xk +1 =%3), d(x) = l 泉。3) = 1 - -0.134;1313(4)%=产+7(%)= ”-7)，。(%*)=。.kXk迭代法迭代法迭代法迭代法0123*XoXiX2X3*23987*21.521.5*21.751.734751.732631*21.751.7321431.732051*、2例7-6给定初值/

8、 w 0,4以及迭代公式a%+1 = %(2 - 4%), % = 0,1,2,，常数a w 0证明：(1)该迭代式是二阶收敛的；10都是收敛的，并求神.1 C证明：V% 0,对Xk+1 =-（Xk +）式配方,易知Xkxk+1-Vc=-（xk-Vc）22Xkxk+1+Vc=-（xk+Vc）22Xk以上两式相除得记x0 yc q =7=x0 + VC整理上式，得2kxk-C=2y/C-i-q-对任意x（）0,总有M 1,故由上式推知，当Z f oo时 z”行,即迭代过程恒收敛。1 c利用+1 =;（/+一）4取C = 115,初值%=10。迭代3次便得到精度为IO的结果。kXk010110.7

9、50000210.723837310.723805410.723805例7-9用上述三种方法求/ + 4 = 0的二重根x* = V2.解:法一着(2)（*）/+1 =(3)(*)%=/ 忒-2；2Xk-2)计算结果如下:计算结果如下:kXk(1)(2)(3)0Xo1.51.51.51Xi1.4583333331.4166666671.4117647062X21.4366071431.4142156861.4142114383X31.4254976191.4142135621.414213562例7-10用两点弦截法求方程1 = 0的根. 解：两点弦截法公式为%+1kXkkXk00.530.5

10、670910.640.5671420.56532例8-1用累法求110.5110.5110.250.50.252的按模最大特征值及其特征向量Uo = v0,v, = Au, i，k k-、(攵=,2r)4 =max(vjA =、/%kUk（法律规范化向量）Max(vk)0(11 1)2.75000001(0.90910.8182 1)2.55879185(0.76510.6674 1)2.538002910 (0.7494 0.6508 1) 2.536532320(0.74820.6497 1)V于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.74820.6497 1)例8-2 设

11、AR4x4有特征值4=15 j (j = 1,2,3,4)比值r=%p0.9。作变换B = A-pl (p = 12)4那么B的特征值为4=2,从2=1，以3=，应用幕法计算B的主特征值从得收敛速度的比值为2以2以4 - P = J_ 2考察带原点平移的幕法求A的按模最大特征值及其特征向量的收敛速度例8-3用带原点平移的基法求 110.5-A = 110.250.5 0.252的主特征值及其特征向量。取p = 0.75。 解：作变换B = A-pl那么一0.2510.5B = 10.250.250.5 0.25 1.25对B应用基法。kUk(法律规范化向量)Max(vk)0(1 1 1)1.7

12、9140115(0.75160.6522 1)1.78884436(0.74910.6511 1)1.78733007(0.74880.6501 1)1.78691528(0.74840.6499 1)1.78665879(0.74830.6497 1)1.786591410(0.74820.6497 1)可以看出B的主特征值为4b 1.7865914, A的主特征值为4 比从 +0.75 = 2.5365914 特征向量为：(0.7482 0.6497 1) 例8-4利用反暴法求矩阵6 2 1A= 2 3 11 1 1的最接近于6的特征值及对应的特征向量。解：平移量p = 6B = A -

13、pl =2-31115调整矩阵为 B=-312-5然后利用UV|=(U,1)T解得V,Lyk =PU”UVk =Yk，Uk =1 J_ 20-3520111 T 27 yUi =Vmax(V)，得max。计算得V =(1.618518519 0.807407 0.185185185/V7 =(0.776528141 0.405985642 0.188028715)TU7 =(1 0.522821544 0.242140245)TA的与6最接近的特征值约为.28&对应特征向量为 (1 0.522821544 0.242140245)r例9T 求解初值问题解：求解此题的欧拉公式为2x%+i = %

14、 + %(% -)以取步长力=0.1,计算结果见下表2xyr = y(0xl)yy(0) = l步长。=0.1XnVnV( Xn)xnVnV( Xn)0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321例9 - 2用梯形方法求解初值问题J y，= x+y, 0x0.5y(0) = i取步长=并与准确解y = -x-1 + 2,相比拟。解:梯形方法计算

15、公式为券+1 =% z + / + Z+I + 笫+1乙解得 =0,1,，4_ 1%+l-h/2XnVn|y( xn)-yn I0.11.1105260.0001844790.21.2432130.0004077790.31.4003930.0006760270.41.5846450.0009962100.51.7988180.001376285例9-3用梯形方法求解初值问题y =+ 1,0xl y一%y(0) = l取 = 0.2,要求卜胪-期| =1.542857y, =1.548936=1.548265乂旬=1.548339此时,黑- 乂$ (0.2) ” 1.548339同法解得y(0

16、.4) a % = 2.020118,y(0.6)% = 2.451578y(0.8)。乂 = 2.8565830,y(L0)。= 3.243224例9-4用改进的欧拉方法求解初值问题例1角翠：改进的欧拉公式为乂/ = +/（）1 / 、%+】=7（先+ 乂）XnVny( Xn)XnVnV( Xn)0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321

17、例9-5设f(x,y)关于y满足利普希茨条件，试证明欧拉法、 改进的欧拉法都是收敛的。证明通过两点加初力力句的线性插值为4 =f(a)T:(x-a)b-a于是max f(x)-f(a)+ axbmax f(x)-f(a)+ axbf()() b-a(x-a)(x-b)=max f(x)- LiN = maxaxbaxbmaX (x-a)(x-b(b-a)2M2,axb3均差计算表Xif(Xi)一阶均差二阶均差三阶均差 n阶均差XoXiX2X3 Xnf(Xo) f(xi) f(X2) f(X3) f(Xn)fXo,Xi fXl,X2 fX2,X3* *fXn-l,Xnfx0/Xi/X2fxi,x

18、2,x3 fXn-2,Xn-l,XnfXo,Xi,X2,X3 fXn-3,Xn-2,X2,X3fXo,Xi,.,Xn例如 由函数y=/(x)的函数表写出均差表.* 10123Xi-2-112/(Xi)531721解均差表如下例2-6对例如中的/(X),求节点为XO/X1的一次插值Xo,XlX2的 二次插值和Xo,Xi/X2,X3的三次插多项式.*1Xif(Xi)一阶均差二阶均差三阶均差0-251-13-221177332214-1-1解由差商表知/XO,X1=2JXO,X1,X2=3,/Xo,X1,X2,X3=；,于是有Ni(x)=5-2(x+2)=l-2xN2(x)=1-2x+3(x+2)(

19、x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9* 1Xif(Xi)一阶均差二阶均差三阶均差0-251-13-221177332214-1-1例2-7给出f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计算f(0.596)的近似值。Xif(Xi)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.05

20、1.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012Nx) = 0.41075 + 1.116(x - 0.4) + 0.28(x - 0.4)(% 0.55)+ 0.19733(% - 0.4)(x - 0.55)(x - 0.65)+ 0.03134(x - 0.4)(x - 0.55)(x - 0.65)(x - 0.8) 于是f(0.596) x N4 (0.596) = 0.63192截断误差R4(x)| 工 I fx0,%5 皿(0.596)归 3.63 X10-9例2-8试用数据表建立不超过3次的埃尔米特插值多项式。X012fM129fM030解

21、法一(待定系数法)以函数值为插值瓣的二次插值多项式为N2(x)= /(0)+ /O,l(x-0)+ /0,l,2(x - 0)( x -1) =1 +1 x (x 0) + 3 x (x 0)( x 1) =3x2 2x +1设待求插值函数为H3(x) = N2(x) + k(x-0)(x-l)(x-2)令H) =/=3,即4 % = 3,求得左=1。进而有H3(x) = A2(x) + (x-0)(x-1)(x - 2)= x3+l解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）Xif(Xi)一阶均差二阶均差三阶均差01121123229741H3(x) = /(0) + /0,1(x-0) +

22、 /0,1,1(x-0)(x-1) + /0,1,1, 2(%-0)(x-l)(x-l)= l + lx(x-0) + 2(x-0)(x-l)+ l(x-O)(x-l)(x-l) = x3+l例3-3实测数据表如下,求它的拟合曲线Xi12345Yi44.5688.5助213114 00解：设S(x) =。()+qx, (p()(X)=L(X)=X,故4(q)o(x),(Po(x) =与=8 /-0 4(00。)M。)=(9(x),0o(x) =2助3=22z-04(必用)=助片=74 i-()4(0O(X)/ ) =gfi=47, (%(x)/ )=工口/ = 145.5/-0法方程组为8 2

23、2/-0法方程组为8 22/-022 74 q47145.5解得旬=2.5648,q =1.2037于是所求拟合曲线为s； (x) = 2.77 +1.13x解得旬=2.5648,q =1.2037于是所求拟合曲线为s； (x) = 2.77 +1.13x例3-4实测数据表如下,确定数学模型y=oebx, 用最小二乘法确定a, bo101234Xi1.001.251.501.752.00Yi5.105.796.537.458.46分析：依据给定数据描图也可确定拟合曲线方程，但它不是线性形式。因此首先要将阅历曲线线性化。此题可以实行等 式两边取对数的形式线性化。数据表中的数值也相应的转化 为取对

24、数之后的数值，见下表。解：曲线方程不是线形形式，两边取对数得线性形式。因此首先要将阅历曲线线性化。此题可以实行等 式两边取对数的形式线性化。数据表中的数值也相应的转化 为取对数之后的数值，见下表。解：曲线方程不是线形形式，两边取对数得In y = In 6/ + bx,假设令 y = Iny, A = Ina,那么得 y = A + Zzx,。= 1 ,x.101234Xi1.001.251.501.752.00Yi5.105.796.537.458.46Yi1.6291.7561.8762.0082.135根据最小二乘法，0()(x) =1,9G) =x, g(x)三 1,4(。0(尤)阴)

25、(幻)二Z1=5Z-04(o(x)，9(x) =(9|(x),0o(x) =七=7.5 z-o4(OG),0G) =Z%； = 11875/-O44(0o(x)，)，纥9.404,(0(x), )%乜=14.422./-0 i-0-法方程组为57.50 A7.50 11.875 b9.40414.422J解得 A = 1A 22,b = 0.505,6/ = - = 3.071, 于是最小二乘拟合曲纳y = 3.071e55*例3-5实验数据如下表所示，用最小二乘法求 形如丁 = +法2的经验公式，并计算均方误差。101234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8

26、W ： %(X)= 1,(p(X)=/，(x) = 1,44M(x),(Po(x) =1=5，(Po(x),(P(x) =(eG),0o(x) =Zx；=5327 z-0z-()4(%(x),%(x) =Zx：=7277699 z-0443)(x),y)=Zy =27L4,(9(x),y)=Z%y =369321.5z-0z-0例4-2运用梯形公式、辛普森公式分别计算 积分1e以r,并估计误差。解：运用梯形公式/公。+ / = L8591409o 2其误差为 同/)卜-、-(1-0)3吨其误差为 同/)卜-、-(1-0)3吨12= 0.2265235, ()运用辛普森公式ri11 exdx。渭

27、 + 4e2 + J = 1.7188612其误差为同/)| =同/)| =e(1802)4 =J_n 2880 = 0.00094385, ”(0,1) 2880例4-3对于函数/(尤)=二给出 =8时的函数表，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分平小Xi01/81/43/81/2f(Xi)10.99739780.98961580.97672670.9588510Xi5/83/47/81于(Xi)0.93615560.90885160.84147090.8414709I = 竿+ WK 心 + |) + J + 6 + 吟 + A6 + 学X 0.9456909.1 f1357邑=而卜(

28、。)+ 4叫)+与)+ 5)+)1131+2f(-) + /(-) + /(-) + /(I) x 0.9460832乙I例4 4计算积分/ = /公,假设用复合梯形公式，问区间应分多少等份才能使误差不超过xlO-5,假设改用复合辛普森公式，要到达同样精度，区 2间0,1应分多少等份?解：由于/(x) = e:/(%) = /=,故复合梯形公式，要求中川=I等人2fxm 4(4e4x 10。,77 G Qi)122 n 2改写原方程为X (3% 2%3 + 20),%2=石(-4X + 玉 + 33), 七=(一61 3%2 + 36).或改写为x = B0x + f,其中2x?+20)/8,

29、 )+x?+33)/ll, 3x，+36)/12.构造迭代格式：1 IJ J j=i IJ J I靖+D=靖）+0A七（其中/二1） 例6-3用SOR迭代法解线性代数方程组-4111-4111141111-41解:取x*=0,迭代公式为铲d =染）以1 + 4染）-琛）蒋）/ 4以钊=- 0（1 %产。+ 4V;）岩）/ 44旬=琛）。”铲）_铲）+ 4燎）一靖）/4=岩)一双1 _铲1)_铲)_铲)+ 4熠)/4取=1.3,第11次迭代结果为X)二(-0.99999646, -1.00000310, -0.99999953,-0.99999912)7此时,)2 0 46x10-5例6.4考察用雅可比迭代法求解线性方程组8% 一 3x2 + 2x3 = 20, 4工1+1 lx2 - x3 = 33, 6% + 3x2 +1 2x3 = 36.解:迭代矩阵的特征方程为det(A7 - J)=了+ 0.034090909Z + 0.039772727 = 0 解得4 =-0.308222=0.1541+i0.324523同=同=0.359211,同1即夕(/)1.所以用雅可比迭代法解程组是收敛的。例6-5考察迭代法解方程组x（k+,）=Bx（k）+f的收敛性解：特征方程为det（/lI-B）=；l2_6 = 0,特征根4,2 - V6即夕（B）1,这说明所用迭代法解此方程组不收敛c