双曲线的简单几何性质1.ppt

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1、双曲线的定义双曲线的定义 点点p p到两定点到两定点F F1 1 F F2 2的距离之差的距离之差的绝对值为常数的绝对值为常数（小于（小于F F1 1 F F2 2的距离）的距离）点点p p 的轨迹的轨迹XY0F1F2 pYXF1F2A1A2B1B212222byax双曲线图像双曲线图像(1)(1)双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线0双 曲 线 的 范 围根据双曲线的标准方程根据双曲线的标准方程 可得：可得： 即即 ，所以，所以xa, x-a xa, x-a 这说明双曲线在不等式这说

2、明双曲线在不等式xa, x-axa, x-a所表示的区所表示的区域内域内, ,即在直线即在直线x=-a,x=ax=-a,x=a两侧两侧. .当当x x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，y y的绝对值也无限增大的绝对值也无限增大, ,所以所以曲线曲线是无限伸展的是无限伸展的, ,不像椭圆那样是封闭曲线不像椭圆那样是封闭曲线. .122ax22ax 双 曲 线 的 对 称 性: 双曲线双曲线关于每个坐标轴关于每个坐标轴和原点都是对称的和原点都是对称的. .坐标轴坐标轴是双曲线的对称轴是双曲线的对称轴, ,原点是原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心. .双曲线双曲线的对称中心叫做双曲线的的对

3、称中心叫做双曲线的中心中心. 双 曲 线 的 顶 点:在双曲线的标准在双曲线的标准方程中，令方程中，令y=0y=0得得x=x=a, a,因此把因此把A A1 1（-a-a，0 0）, A, A2 2（a a，0 0）叫做双曲线的顶点叫做双曲线的顶点. .如图如图: :线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴, ,它的长等于它的长等于2 2a, a, a a叫做双叫做双曲线的曲线的实半轴长实半轴长. .线段线段B B1 1B B2 2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴, ,它的长等于它的长等于2 2b, b, b b叫做双曲叫做双曲线的线的虚半轴长虚半轴长. .v 双曲线的

4、渐近线双曲线的渐近线想一想想一想：怎样较为准确的画出怎样较为准确的画出169x-y=122的图象的图象 ？YX-44-330猜想：猜想： 432- 42=43 y=x1-( )xx42y= 43xy=43xy= -43x432- 42 y=xYXF1F2A1A2B1B20MN第一象限的曲线方程第一象限的曲线方程 c ：直线方程：直线方程： y= abxy= xab2- a2( x a)C:设设M（x,y) 是是c上一点上一点,y= abxN (x,Y)是直线是直线.上一点。上一点。 y = abx.Q双曲线双曲线 的渐近线是的渐近线是12222byaxMN= Y- y= ab( x - x a

5、 22)x + x a 22ab=YXF1F2A1A2B1B20MN.Q( x - x a 22)= ab( x - x a 22).( x + x a 22)( x + x a 22)0时，且当xx + x a 22ab0双双 曲曲 线线 的的 离离 心心 率率: :双曲线的焦距与实轴长双曲线的焦距与实轴长的比的比 , ,叫做叫做双曲线的离心率双曲线的离心率. .因为因为ca0, ca0, 所以所以 e1.e1.由由c - a = b222c - a 22 ab=a22=ac- 1= e - 12YXF1F2A1A2B1B20 ab= e - 12 e越小（接近越小（接近1）双曲线开口越小（

6、褊狭）双曲线开口越小（褊狭） ab越接近越接近0 e越大越大 ab 双曲线开口越大（开阔）双曲线开口越大（开阔）越大越大双曲线图像与性质双曲线图像与性质(1)(1)标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线12222 byaxxa 或或x-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2F1(-c , 0 ),F2( c , 0 )ace=YXF1F2A1A2B1B20 y = abx 双曲线图像双曲线图像(2)(2) 标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性

7、对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线XYF1F2OB1B2A2A112222bxay双曲线图像与性质双曲线图像与性质(2)(2)标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线ya 或或y-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。B1（0, -a ),B2（0，a）实轴 B1B2 虚轴 A1A2F1(0 , -c ),F2( 0 , c )ace= y = bax12222 axbyXYF1F2OB1B2A2A112222bxay上述两种双曲线性质对比上述两种双曲线性质对比标标 准准 方方 程程 范

8、范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线12222 byaxxa 或或x-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2F1(-c , 0 ),F2( c , 0 )ace= y = abx12222 axbyya 或或y-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。B1（0, -a ),B2（0，a）F1(0 , -c ),F2( 0 , c )实轴实轴 B1B2 虚轴虚轴 A1A2ace= y = bax例题讲解例题讲解例题例题1 :求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长

9、,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 + +45 acexy341. 1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, ,(1)(2)焦点坐标焦点坐标, ,顶点坐标顶点坐标, ,离心率离心率, ,渐近线的方程渐近线的方程. . 方 程图 象 实半轴长实半轴长 虚半轴虚半轴 长长焦点坐标焦点坐

10、标顶点坐顶点坐 标标离心率离心率 渐近线方程渐近线方程xy25xy342. 2. 求顶点在求顶点在x x轴上轴上, ,两顶点间的距离为两顶点间的距离为8,8,离心率离心率e=5/4e=5/4的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程. .解：解：由由2 2a=8, e=5/4 a=8, e=5/4 可得可得a=4 b=3 c=5a=4 b=3 c=5因为双曲线的顶点在因为双曲线的顶点在x x轴上，所以它的焦点也在轴上，所以它的焦点也在x x轴轴上上，所以它的标准方程为：，所以它的标准方程为：23.11163 2 3y2根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：x（）与双曲线有共同渐进线，且9过点（，）

11、；练习：已知双曲线的两条渐进线方程是 焦点坐标是 求此双曲线的方程3,2yx (0,26),(0,26)(2)326经过点（ ， ），且一条渐进线的倾斜角为；(3)2410离心率为，且过点（ ，）22122220124.1(0,0)30 xyFFababFxPPFF已知 、为双曲线的焦点，过作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ，且，求双曲线的渐进线的方程。例例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径下口半径为为25m,高高55m.选择适当的坐标系，求出此选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m). AA0 xCCBBy131225例题讲解例题讲解