32一元二次不等式及其解法2.ppt

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1、3.23.2一元二次不等式及一元二次不等式及其解法其解法主要内容一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法不等式的分类，有哪些不等式？绝对不等式：对于一切实数都成立的不等式矛盾不等式：对于一切实数都不成立的不等式条件不等式: 对于一定实数范围内的未知数，不等式成立.如 |x|0, x2+10, (a+b)20如 |x+1|0, x2+10, (a+b)20如 |x+1|11.依据不等式成立的条件分为以下三类： 2. 依据未知数的个数，可分为一元不等式、二元不等式、多元不等式如： x+23x是一元不等式 x+y1是二元不等式 3. 依据未知数的最高次数，可分为一次不等式、二次不等式、高次不等式如：

2、 x+23x是一次不等式 x2+x2 是二次不等式 x（x+1）（x-2）0是高次不等式 4. 依据其它形式： 如含有绝对值的不等式, 含有分式的不等式, 无理不等式、超越不等式等.如：1) |x-2|3121)2xxxx3) 34） log2xx2-4x一元一次不等式的解法ax+b0当a=0,b0时，不等式的解集为R当a=0,b0时，不等式的解集为x|x ab当a0时，不等式的解集为x|x0 其中a，b，c是常数.如何求解一元二次不等式? 如x2-5x0 首先探究一元二次不等式x2-5x0和一元二次函数y=x-5x及一元二次方程x2-5x=0的关系. 1. 方程x2-5x=0的解为x1=0,

3、x2=5为二次函数y=x2-5x的零点.2. 一元二次函数y=x2-5x的图象xy05观察函数的图象知 1) 当x5时，函数图象位于x轴上方，此时 y=x2-5x0; 2) 当x=0或x=5时， y=x2-5x=0; 3)当0 x5时，函数图象位于x轴下方，此时 y=x2-5x0;所以，不等式x2-5x0的解集为50|xxx或50|xxx或一般地， 如果对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0)有两个不等的根 x1 = ，x2=aacbb242aacbb242那么，不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为21xx一元二次不等式的解法xx|21或xxx其中不等式ax2+bx+c0(a0)的解集

4、为xx|21或xxx不等式ax2+bx+c0)的解集为xx|21xx不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为xx|21xx例1. 解下列一元二次不等式1）x2-3x+203）-2x2+3x+202）x2-x-1x(2x-3)+11）x2-3x+20解： 方程x2-3x+2=0的解为x1=1, x2=2,所以不等式x2-3x+20的解集为 x|x2且二次项系数为1, 而10，如图所示：21yxO2）x2-x-10解：方程x2-x-1=0的解为x1= , x2=251251所以不等式x2-x-10的解集为 x| x 0，如图所示：3）-2x2-3x+20方程2x2-3x-2=0的解为x1= , x

5、2=221所以原不等式的解集为 x| x221 解：由于二次项系数为-20, 先同解变形原不等式为 2x2+3x-20方程3x2-4x+1=0的解为x1= , x2=131所以原不等式的解集为 x| x131 解：先把不等式化为二次项为正数的标准式, 通过去括号，移项合并，同解变形原不等式为 3x2-4x+1x(2x-3)+1 上述例子中对应的一元二次方程都有两个不等的实根,如果一元二次方程有两个相等的实根或没有实根，如何确定相应的一元二次不等式的解集呢?ax2+bx+c=0(a0) 2）当根的判别式=b2-4ac=0时，二次方程有两个相等的实根； 3）当根的判别式=b2-4ac0时，二次方程

6、有两个不相等的实根；1）4x2-4x+102）-x2+2x-30例2. 解下列一元二次不等式解：1） 原不等式变为（2x-1)20. 方程 4x2-4x+1=0 有两个相等的实根x1=x2=2121二次函数y=4x2-4x+1的图象开口向上，与x轴有且只有一个交点( ,0)， 除了这个交点外，所有的函数值y都大于零. 所以不等式4x2-4x+10的解集为 21|xx2）-x2+2x-30解：1） 原不等式变为x2-2x+30. 由于=-80, 方程 x2-2x+3=0 无实根; 二次函数y=x2-2x+3的图象开口向上，与x轴没有交点，不存在x使得函数值y=x2-2x+30 显然10,方程x2

7、+9x-7110=0有两个实根，即 x1-88.94, x279.94. 所以不等式的解集为79.94x94.88|或xx 解：设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm/h,根据题意，我们得到5 .3918012012xx所以，这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h. 练习某种商品每件60元，不加税收时，每年大约销售80万件.若政府收附加税，每销售100元要征收R元（叫做税率R%）,则每年的销售量将减少 万件，要使每年在此项经营中收取税金不少于128万元，求R的取值范围.203R反思提高例5解关于x的不等式x2+(2-a2)x-2a20.解：（x+2）(x-a2)0 方程（x+2）(x-a2）

8、=0的根为 x1=-2,x2=a2而a2-2,所以原不等式的解集为 得x| xa2 分析：这是一个带字母系数的一元二次不等式,有时需要对字母进行讨论.例6解关于x的不等式x2-(2+a)x+2a0.解：原不等式化为（x-2）(x-a)2,则原不等式的解集为x|2xa;若a=2,则原不等式的解集为空集;若a2,则原不等式的解集为x|ax2. 例7.若不等式x2-mx+n0的解集为x|-5x1，求实数m、n的值. 解：根据解集为x|-5x1可构造一元二次方程： （x+5）（x-1）0 即： x2+4x-5 0 与原不等式对照得 m=-4, n=-5. 例8关于x的方程（m-2）x2+(2m-3)x

9、+m=0有两个均大于1的根，求m的取值范围.1212(1)(1)0(1)(1)00 xxxx 47024502490mmmmmm 解：设x1,x2为已知方程的两个根，则22322121mmxxmmxx0)2(4) 32(01)(22212121mmmxxxxxx把根与系数关系带入上式得解不等式组得 例9关于x的不等式ax2+ax+a-10的解集为，求实数a的取值范围.204 (1)0aaa a 4343 解：当a=0,原不等式变为 1综合上述 a当a0时，原不等式为一元二次不等式，a应满足 1若不等式ax2+bx+10的解集为 ，则求实数a、b的值. 1 ,21 3已知关于x的方程x2+(m+

10、2)x+m+5=0,问当实数 m在什么范围内取值时，方程有两个不同的正根？ 2已知关于x的不等式（a2-4）x2+(a+2)x-10的解集为空集，求a的取值范围. 练习题 22240(2)4(4)0aaa 6565 2.解答：如果a=-2, 原不等式为0 x2+0 x-10,解集为空集，故a=-2符合要求； 可得 -2a综合上述，a的取值范围为 -2a1.答：a= -2, b=1 如果a=2,原不等式为4x-10, 解集不是空集，故a=2不合要求； 当a2时，原不等式为一元二次不等式，解集为空集的条件是2(2)050(2)4(5)0mmmm 2544mmmm 或即得 -5m-4. 3.解答：实数 m 需满足不等式组： 小结 1.1.一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 2. 2. 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用作业练习P.1,2，习题P组，组全部