人教版八年级数学培优竞赛(241页).doc

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1、-目录第1讲 全等三角形的性质与判定(P2-11)第2讲 角平分线的性质与判定(P12-16)第3讲 轴对称及轴对称变换(P17-24)第4讲 等腰三角形(P25-36)第5讲 等边三角形(P37-42)第6讲 实 数(P43-49)第7讲 变量与函数(P50-54)第8讲 一次函数的图象与性质(P55-63)第9讲 一次函数与方程、不等式(P64-68)第10讲 一次函数的应用(P69-80)第11讲 幂的运算（P81-86)第12讲 整式的乘除(P87-93)第13讲 因式分解及其应用(P94-100)第14讲 分式的概念性质与运算(P101-108)第15讲 分式的化简 求值 与证明(P

2、109-117)第16讲 分式方程及其应用(P118-125)第17讲 反比例函数的图像与性质(P126-138)第18讲 反比例函数的应用(P139-146)第19讲 勾股定理(P147-157)第20讲 平行四边形(P158-166)第21讲 菱形矩形(P167-178)第22讲 正方形(P179-189)第23讲 梯形(P190-198)第24讲 数据的分析(P199-209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲 全等三角形的性质与判定考点方法破译1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高

3、、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例】如图，ABEFDC,ABC9

4、0,ABCD，那么图中有全等三角形（ ）BACDEFA5对B4对C3对D2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：ABEFDC,ABC90. DCB90. 在ABC和DCB中 ABCDCB（SAS ） AD在ABE和DCE中 ABEDCE BECE在RtEFB和RtEFC中 RtEFBRtEFC（HL）故选C.【变式题组】01（天津）下列判断中错误的是（ ）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两

5、个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等02（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.AFCEDB03(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC；ABCDOFE分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加、，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结论构成命题2.命题1是_命题，命题2是_命题（

6、选择“真”或“假”填入空格）.【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求证：AFDE.【解法指导】想证AFDE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在AFB和AEF中，而DE在CDE和DEF中，因而只需证明ABFDCE或AEFDFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.ACEFBD证明：FBCE FBEFCEEF，即BECF在ABE和DCF中, ABEDCF（SSS） BC在ABF和DCE中, ABFDCE AFDE【变式题组】01如图，AD、BE是锐角ABC的高，相交于点O，若BOAC，BC7，CD2，则AO的长为（ ）A2B3C4D5AE第1题图ABCDEBCDO第2题图02

7、.如图，在ABC中，ABAC，BAC90，AE是过A点的一条直线，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，则BD_.03（北京）已知：如图，在ABC中， ACB90，CDAB于点D，点E在AC上，CEBC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：ABFC.AFECBD【例】如图，ABCDEF，将ABC和DEF的顶点B和顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.当DEF旋转至如图位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是_;当DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由_.B（E）OCF图FABCDEFAB(E)C

8、DDA图图【解法指导】AFDDCAAFDDCA理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABCDEF, BACEDF ABCFBCDEFCBF, ABFDEC在ABF和DEC中, ABFDEC BAFDEC BACBAFEDFEDC, FACCDF AODFACAFDCDFDCAAFDDCA【变式题组】01（绍兴）如图，D、E分别为ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若CDE48，则APD等于（ ）A42B48C52D5802如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（ ）AABCDEFBDEF90C ACDF

9、DECCFEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：ABED；若PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.BFACENMPDDACBFE【例】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BPAC，点Q在CE上，CQAB. 求证： APAQ；APAQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证APAQ,也就是证APD和AQE，或APB和QAC全等,由已知条件BPAC

10、，CQAB，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角12即可. 证APAQ，即证PAQ90，PADQAC90就可以.21ABCPQEFD证明：BD、CE分别是ABC的两边上的高，BDACEA90, 1BAD90，2BAD90，12. 在APB和QAC中, APBQAC，APAQAPBQAC，PCAQ, PPAD90 CAQPAD90，APAQ【变式题组】ABCDFE01如图，已知ABAE，BE，BAED，点F是CD的中点，求证：AFCD.02（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端

11、靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是（ ）ABCbmDamAECBA75C45BNM第2题图第3题图D03如图，已知五边形ABCDE中， ABCAED90，ABCDAEBCDE2，则五边形ABCDE的面积为_演练巩固反馈提高01（海南）已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）A72B60C58D50第3题图第1题图CAODBP第2题图ACA/BB/acca50b725802如图，ACBA/C/B/， BCB/30，则ACA/的度数是（ ）A20B30C35D4003（牡丹江）尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交O

12、A、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（ ）ASASBASACAASDSSS04（江西）如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90E21NABDC第5题图ABCDEABCD第4题图第6题图M05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A. ABECBD B. ABECBDC. ABCEBD45

13、D. ACBE06如图，ABC和共顶点A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有ABCAED.”小明说：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对07如图，已知ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119，ACD98,那么ECA的度数是_.08如图，ABCADE，BC延长线交DE于F，B25,ACB105，DAC10，则DFB的度数为_.09如图，在RtABC中，C90, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10题图ABCDE第9题图EABCDABCDEFOCAEB

14、D第7题图第8题图10如图，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，则AE_.11如图, ABCD, ABCD. BC12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，APBQDC. DAC.QP.BDBACEF12如图, ABC中，BCA90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D.求证：AECD；若AC12cm, 求BD的长. AEBFDC13（吉林）如图，ABAC，ADBC于点D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于点F, 请

15、你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.BDEClA找出图中的全等三角形，并加以证明；若DEa，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）AEFBDC15如图，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F.求证：CEDF.16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形

16、均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1.求证：ABCA1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）ABCDA1B1C1D1归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级奥赛检测01如图，在ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且AEAF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）A4对B5对C6对D7对F第6题图21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1题图B第2题图第3题图02如图，在ABC中，ABAC，OCOD，下列结论中：AB DECE，连

17、接DE, 则OE平分AOB，正确的是（ ）ABCD03如图，A在DE上，F在AB上，且ACCE , 1=2=3, 则DE的长等于（）ADC B. BC C. AB D.AEAC04下面有四个命题，其中真命题是（ ）A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05在ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BHAC，则ABC_.06如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，EF90，BC, AEAF. 给出下列结论：12；BECF;

18、 ACNABM; CDDB，其中正确的结论有_.（填序号）07如图，AD为在ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BFAC，FDCD.求证：BEAC；AEFCDB若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08如图，D为在ABC的边BC上一点，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线.求证：AC2AE. ABEDC09如图，在凸四边形ABCD中，E为ACD内一点，满足ACAD，ABAE, BAEBCE90, BACEAD.求证：CED90. AEBDC10（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点E

19、落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.求证：AFEFDE;若将图中DBE绕点B顺时针方向旋转角，且060，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明AFDFCBEDACBEACB图图图理由。11阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC中，AB5，AC13, 求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DEAD，

20、再连接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2AE8，则1AD4.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.ABEFCD问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BECFEF；ABCDEAEBFCD问题拓展：如图，在四边形ABDC中，BC180，DBDC，BDC=120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关

21、系，并加以证明. 12（北京）如图，已知ABC.请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；CBA请你根据使成立的相应条件，证明：ABACADAE.ADEGCHB13如图，ABAD，ACAE，BADCAE180. AHAH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GDGE.14已知，四边形ABCD中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120，MBN60, MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.当MBN绕B点旋转到AECF时，如图1，易证：AECFEF；（不需证明）当M

22、BN绕B点旋转到AECF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.DABCFNEMD图1ABCFNEMDABCFNEM图2图3第02讲 角平分线的性质与判定考点方法破译1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析【例】如图，已知OD平分AOB，在OA、OB边上截取OAOB，PMBD，PNAD.求证：PMPN【解法指导】由于PMBD，PNAD.欲证

23、PMPN只需34，证34，只需3和4所在的OBD与OAD全等即可.证明：OD平分AOB 12 在OBD与OAD中， OBDOAD 34 PMBD，PNAD 所以PMPN【变式题组】01如图，CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN.求证：点P在BAC的平分线上.02如图，BD平分ABC，ABBC，点P是BD延长线上的一点，PMAD，PNCD.求证：PMPN【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，且AE(ABAD)，如果D120，求B的度数【解法指导】由已知12，CEAB，联想到可作CFAD于F，得CECF，AFAE，又由AE(ABAD)得DFEB，于

24、是可证CFDCEB，则BCDF60.或者在AE上截取AMAD从而构造全等三角形. 解：过点C作CFAD于点F.AC平分BAD，CEAB，点C是AC上一点，CECF 在RtCFA和RtCEA中， RtACFRtACE AFAE 又AE(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF CFAD，CEAB，FCEB90 在CEB和CFD中，CEBCFD BCDF 又ADC120，CDF60，即B60.【变式题组】01如图，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 02(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，对角线AC平分BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有BD

25、180，请画图并证明你的结论. 【例】如图，在ABC中，BAC90,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求证：CEBD【解法指导】由于BE平分ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.证明：延长CE交BA的延长线于F，12，BEBE，BEFBECBEFBEC(ASA) CEEF，CECF 1F3F90，13在ABD和ACF中，ABDACF BDCF CEBD【变式题组】01如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，求证：ABACBD. 02如图，在ABC中，B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断FE和FD

26、之间的数量关系，并说明理由；求证：AECDAC.演练巩固反馈提高01如图，在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，则ABD的面积是（ ）AmnBmnC mnD2 mn02如图，已知ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正确的结论个数有（ ）个A1B2C3D403如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、S.若AQPQ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正确的是（ ）ABCD04如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、

27、F，则下列四个结论中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到AB、AC的距离相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正确的是（ ）ABCD05如图，在RtABC中，ACB90，CAB30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于E点，则AEB的度数为（ ）A50B45C40D3506如图，P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，给出下列结论：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点P是ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）ABCD07如图，点P是ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A点P到ABC三边的距离相

28、等B点P在ABC的平分线上CP与B的关系是：PB90DP与B的关系是：BP08如图，BD平分ABC，CD平分ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：点D到AB、AC的距离相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正确的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个09如图，ABC中，C90AD是ABC的角平分线，DEAB于E，下列结论中：AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正确的个数有（ ）A3个B2个C1个D4个10如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则Q

29、M、QN、QK的关系是_11如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求证：BECF12如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，DFAC于点F.求证：ADEF.培优升级奥赛检测01如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处B二处C三处D四处 02已知RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，则D到AB边的距离为（ ）A18B16C14D12 03如图，ABC中，C90，AD是ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC3c

30、m，DB4cm，AD8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是_04如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PFPGPE，则BPD_05如图，已知ABCD，O为CAB、ACD的平分线的交点，OEAC，且OE2，则两平行线AB、CD间的距离等于_06如图，AD平分BAC，EFAD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：G(ACBB)07如图,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:ABACDBDC08如图，在ABC中，BAC60，ACB40，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线上.

31、求证：BQAQABBP第3讲 轴对称及轴对称变换考点方法破译1轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：位置关系垂直；数量关系平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

32、上.3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典考题赏析【例】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.【变式题组】01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）02（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）【例2】（襄

33、樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，则与点B关于x轴对称的点的坐标是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【解法指导】在ABC中，点B的坐标为（1，1），将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，由点的坐标平移规律可得B（12，1），即B（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B关于x轴对称的点的坐标是（1，1），故应选D.【变式题组】01若点P（2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，302在直角坐标系中，已知点P（3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移

34、4个单位得到点R，则点R的坐标是_.03（荆州）已知点P（a1，2a1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为_.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（ACB90），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若ACB170，则ACD（ ）A30 B20 C15 D10【解法指导】由折叠知BCDB1CD.设ACDx，则BCDB1CDACB1ACD70x.又ACDBCDACB，即x（70x）90，故x10.故选D.【变式题组】01（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置.若EFB65，则AED等于（ ）A70 B65 C50 D2502如图，ABC中，A30，以

35、BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时CDB82，则原三角形中B_.03（江苏）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图）.小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）.求图中的大小.【例4】如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：BCAF【解法指导】EF是AD的中垂线，则可得AEFDEF，EAFEDF从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可证明：EF是AD的中垂线，AEDE，AEFDEF，EFEF，AEFDEF，243，3B1，24B1，12，B