中考攻略专题4：韦达定理应用探讨(8页).doc

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1、-专题4：韦达定理应用探讨韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：不解方程求方程的两根和与两根积； 求对称代数式的值； 构造一元二次方程； 求方程中待定系数的值； 在平面几何中的应用；在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知

2、一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：例1：若x1、x2是一元二次方程x23x20的两根，则x1x2的值是【 】A2 B2 C3 D1例2：若x1、x2是一元二次方程x24x30的两个根，则x1x2的值是【 】A.4. B.3. C.4. D.3.例3：已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A2 B0 C1 D2练习题：1. 已知一元二次方程的两根为x1、x2，则x1+x2= 。2. 已知一元二次方程的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【 】A12 B12 C7 D73. 已知一元二次方程x2+mx2=0的两个实数根

3、分别为x1、x2，则x1x2= 4.若关于的方程的一个根为，则另一个根为【 】ABC1D3 5.若x1，x2是一元二次方程2x27x+4=0的两根，则x1+x2与x1x2的值分别是【 】A、，2B、，2 C、，2 D、，2二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。典型例题：例1：已知一元二次方程：x23x1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【 】A3B3C6D6例2：已知m、n是方程x22x10的两根，则代

4、数式的值为【 】A9 B3 C3 D5例3：设m、n是一元二次方程x23x70的两个根，则m24mn 例4：设x1、x2是一元二次方程x25x3=0的两个实根，且，则a= .练习题：1. 已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则= 2. 已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，那么的值为 .3. 设a，b是方程x2x2013=0的两个不相等的实数根，则a22ab的值为 4. 若方程的两实根为、，求的值5.若、是一元二次方程的两根，则的值为【 】A、2010 B、2011 C、 D、6. 若x1，x2是方程x 2+ x1=0的两个根，则x 12+ x 22= 三、构造一元二次方程

5、：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：例1：设，且1ab20，则= .例2：如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：（1） 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2） 已知满足,求；（3） 已知满足求正数的最小值。例3：某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）

6、设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx124m2x1x2+mx22的值为12，求m的值练习题：1. 请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： .2. 请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 .四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。典型例题：例1：如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x22x12x25=0，那么a的值为【 】A3 B3 C13 D13例2：已知关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b与c的值分别为【

7、 】Ab=1，c=2Bb=1，c=2Cb=1，c=2Db=1，c=2例3：已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】Aa=3，b=1 Ba=3，b=1 C，b=1 D，b=1例4：若关于x的方程的两根互为倒数，则a= .例5：已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|2，求m的值和此时方程的两根例6：已知是一元二次方程的两个实数根.（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使为负

8、整数的实数a的整数值.例7：关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值练习题：1. 孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，则的值为 2. 已知关于x的方程有两个实数根x1，x2，（1）求的取值范围；（2）若，求的值。3. 关于x的一元二次方程。（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且x1=x22，求m的值及方程的根。4. 题甲：已知关于x的方程的两根为x1、x2，且满足.求的值。五、在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾股定

9、理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。典型例题：例1： 已知，如图，RtABC中，ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。（1）求m的值及AC、BC的长（BCAC）（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。练习题：1. 已知两圆半径r1、r2分别是方程x27x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】 A相交 B内切 C外切 D外离2. 已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2（2k+3）x+

10、k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5试问：k取何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2bxc(a0)可以看作二次函数yax2bxc(a0)当y0时的情形，因此若干二次函数yax2bxc(a0)的图象与轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。典型例题：例1：（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=q（2） 已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（1，1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值例2：已知：y关于x的函数y=（k1）x2

11、2kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值例3： 已知二次函数)图象顶点的纵坐标不大于(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；(2)若该二次函数图象与轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值 练习题：1. 二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解，另一个解= A、1 B、 C、 D、02. 已知抛物线与轴交干A、B两点。（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：（2）若 (O为坐标原点)，求抛物线的解

12、析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若ABC是直角三角形求ABC的面积3. 如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分别过M，N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是 M1和N1判断M1FN1的形状，并证明你的结论（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由一元二次方程根与系数的关系在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，八、证明等式或不等式。例1：如果一元二次方程ax2bxc(a0)的两根之比为2：3，求证：6b225a c。例2：已知a，b，c为实数，且满足条件：a6b，c2ab9，求证a=b。-第 - 8 - 页-