2022年三角函数最值专题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角函数最值问题的几种常见解法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。 解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等） 最值问题。 下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一 配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例 1

2、 函数3cos3sin2xxy的最小值为（）. A2 B . 0 C . 41D . 6分析 本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因 含 有cosx 的二 次 式 ， 可 换 元 ， 令cosx=t ， 则,23, 112ttyt配 方 ， 得41232ty, , 11t当 t=1 时,即 cosx=1 时，0miny,选 B. 例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值分析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。48331612,221sin683316812,22, 1

3、sin, 1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy二 引入辅助角法例 3 已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载分析 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxa

4、ycossin型求解。解：.47,6,2262,4562sin21452sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxy三 利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例 4 求函数1cos21cos2xxy的值域分析 此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角， 这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法

5、一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.31y解法一：原函数变形为, 1121, 1cos,121cosyyxyyx3y或.31y例 5 （2003 年高考题） 已知函数)cos(sinsin2xxxxf，求函数 f(x) 的最小正周期和最大值。分析 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：42212sin2cos1cossin2sin22xsnxxxxxxff(x) 的最小正周期为，最大值为21。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

6、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载四 引入参数法（换元法）对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx ， 与sinxcosx的 函 数 ， 运 用 关 系 式,cossin21cossin2xxxx一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析解：.cossin21cossin2xxxx令sinx+cosx=t，则ttyttxx21

7、,2,221cossin22，其中2,2t当.221, 14sin,2maxyxt五 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项， 凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例 7 求函数xxy22cos4sin1的最值。解：xxy22cos4sin1=9225tan4cot5tan14cot12222xxxx当且仅当,tan4cot22xx即2cot x时，等号成立，故9miny。六 利用函数在区间内的单调性例 8 已知, 0 x，求函数xxysin2sin的最小值。分析 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用

8、函数在区间内的单调性来求解。设ttyttx1,10,sin，在（ 0， 1）上为减函数，当t=1 时，3miny。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载七 数形结合由于1cossin22xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx) 在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例 9 求函数xxxy0cos2sin的最小值。分析 法一：将表达式改写成

9、,cos2sin0 xxyy 可看成连接两点A(2,0) 与点 (cosx,sinx)的直线的斜率。由于点 (cosx,sinx) 的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 A 的切线与半圆相切与点B,则.0ykAB可求得.3365tanABk所以 y 的最小值为33（此时3x）. 法二： 该题也可利用关系式asinx+bcosx=xbasin22（即引入辅助角法）和有界性来求解。八 判别式法例 10 求函数xxxxytansectansec22的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：kkxx

10、yyxyxyxxxxxxxxy, 0tan, 101tan1tan11tantan1tantantansectansec222221y时此时一元二次方程总有实数解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载.3310313, 014122yyyyy由 y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx由.31,4, 1tan,31minykxxy九 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例

11、 11 设20214sincos2xaxaxxf，用 a 表示 f(x) 的最大值M(a). 解：.214sinsin2axaxxf令 sinx=t,则, 10t.21442214222aaataattxftg（1）当12a，即tga,2在0， 1上递增，;21431agaM（2）当, 120a即20a时，tg在0，1上先增后减，;214422aaagaM（3）当, 02a即tga,0在0，1上递减，.4210agaM0,42120 ,21442,21432aaaaaaaaM以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住

12、题目关键和本质所在。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用1cos1sin,xx这一有界性求最值。例 1：求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，知1y，则有21sin1yxy，21| sin| | 11yxy22221|1(21)(1)1

13、yyyy203y，则此函数的值域是2, 03y例 2,若函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求 a,b 0,1,7430,1,74,3aabababaababab，练习： 1，求函数1cos3cosxyx的值域31（，+）2,函数xysin的定义域为 a，b，值域为21, 1，则 b-a 的最大值和最小值之和为b A34B2C38D4类型二：xbxaycossin型。此类型通常可以可化为22sincos()yaxbxabx求其最值（或值域） 。例 1：求函数3sin4cos,(0,)2yxx x的最值。解：343sin4cos5sin(),cos,sin55( ,),(3,52yxxx

14、xy2,求函数)3sin()6sin(xxy（Rx）的最值。解法 :)12sin(24)6sin(2)6cos()6sin(xxxxy，函数的最大值为2，最小值为2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载练习： 1,函数 y=3sin(x+20 ) +5sin(x+80) 的最大值是：（ c ） A 、215B、216C、7 D、8 2, 已知函数xxf2sin)(，)62cos()(xxg，直线

15、xt （t2, 0）与函数 f( x) 、g( x) 的图像分别交于M 、N 两点，则 | MN | 的最大值是3类型三：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间1 , 1上的最值问题。例 1：求函数1sin3cos2xxy（Rx）的最值解：49)23(sin1sin3sin122xxxy函数的最大值为49，最小值为4325例 2：求函数1sin3cos2xaxy（Ra，Rx）的最大值。解：1sin3cos2xaxy转化为2sin3 sin2yxax配方得：243)23(sin22aaxy当123a，即332a时，在 sinx=1，13maxay当123a

16、时，即332a时，在 sinx=1，13maxay当1231a，即332332a时，在ax23sin时，2432maxay综上：2max2 331()332 32 32()4332 331()3aayaaaa练习：函数则上的最大值为在区间, 1,32cos2sin)(2xxxf的值是 d A0 B3C2D2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载类型四：)0(cossinsin2acxxbxay型。例

17、 ：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时 x 的值。解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x2474x， 436232x，21)62cos(22x( )f x的最小值为2233，此时247x，( )f x无最大值。练习：已知：2123sincos12sinyxxxxR，求y的最大值及此时x的集合解：2123sincos12sinyxxx1cos2315sin 21sin(2)44264xxx，当sin(2)16x时，max157244y此时，2262xk，即6xk所以

18、y的最大值为74，此时x的集合为|6x xkkZ，类 型 五 ：dxcbxaxfc ossin)(型 。 此 类 型 最 值 问 题 可 考 虑 如 下 几种 解 法 ： 转 化 为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例：求函数sincos2xyx的值域。解法 1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，22sin()1yxy由2|2 |sin() |11yxy22(2 )1yy，解得：3333y，故值域是33,33解法 2：数形结合法： 求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定

19、的直线的斜率的范围。作出如图得图象， 当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，xQPyO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载易求得过 Q 的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33,33。练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。3cos1sin2yy/2 即为单位圆上的点(cos ，sin ) 与定点 (3 ，1) 连线的斜率

20、，由数形结合可知y/20 ，3/4, y 0 ，3/2 类型六：含有xxxxcossincossin与的最值问题。 解此类型最值问题通常令xxtcossin，xxtcossin212，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例： 求函数sincossincosyxxxx的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。解法 1：设 t=sinx +cosx，则)4sin(2xt2,2t) 1(21cossin2txx1) 1(21) 1(2122ttty221m a xy。解法 2：)4sin(22sin21cossincossinxxxxxxy，44xx，2111sin(2)2 sinco

21、s22sinsin2 sin2222ymax122y练习： 1,求函数(sin2)(cos2)yxx的最大、最小值解：原函数可化为：sincos2(sincos )4yxxxx，令sincos(|2)xxtt，则21sincos2txx，2211324(2)222tytt22,2t， 且 函 数 在2,2上 为 减 函 数 ， 当2t时 ， 即2()4xkkZ时，min92 22y；当2t时，即32()4xkkZ时，max9222y2,函数xxxxxfcossin1cossin)(的值域是 dA12, 11, 12B212,212C122, 122D212, 11,212名师资料总结 - -

22、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载类型七 :sin(0)sinbyaxxx型（转化为对号函数）函数最值问题。例：求函数xxxy2sinsin22sin1的最大、最小值xxxxysin11sin111)sin1(sin121sinx 0 y 0, 当 sinx=1 时 Ymin=0, 当 1sinx0 时,1 sinx+xsin11 2, ymax=1/2 已知34x，则函数xxycos)6sin(2的最大值与最小值的

23、和为35 . 当04x时,函数22cos()cos sinsinxf xxxx的最小值4 练习：1,已知(0,)x，求函数23sin13siny的最大值；2,当20 x时，函数21 cos28cos( )sin2xxf xx的最小值为 4 2221cos28cos2sin8cos4( )tansin 22sincostantan(0,),( )4,)xxxxf xxxxxxxf x类型八：条件最值问题。例 1：已知sin2sin2sin322，求22sinsiny的取值范围。解： sin2sin2sin322，sinsin23sin221sin0232sin01sinsin230sinsin2

24、322解得21)1(sin21sinsin21sinsin2222y 32sin0sin=0 时，0miny；32sin时，94maxy94sinsin022。2,2sincos,cos sin3xyxy则的取值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载cos sin2sincoscos sinsin() 1,132sincoscos sinsin() 1,131 1, 3 3xytxyxyxytxy

25、xyxytt设练习： 1,已知 Sinx+Siny=31，求 Sinycos2x 的最大值942,已知22sinsinyx，因式 cosx+cosy 的最大值为A2 B0 C1414D214D 22222coscos,sinsin21(sinsin )(coscos )22cos()231414 2,2,222xytxyxyxyxyttt类型九：其他问题例 1：函数cossinyxxx在3,22的最小值为max3cossinsin0,223,),( ,22yxxxyxxxxxyxyy2,求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当 x 分别为何值时取到最大值和最小值。解： 定义域为0 x1，可设x

26、x2cos且2022sincos11x，20)4sin(2cossinsincos22y20，4344，1)4sin(22即21y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当44或434，即 = 0 或2（此时 x=1 或 x=0） ，y=1；当2，即4时， （此时21x） ，2y，当 x=0 或 x= 1时， y 有最小值1；当21x时， y 有最大值2。练习： 1,求sincos2yxx，0,2x

27、的最大值。332maxsincos22sinsin,0,2sin0,1,2,610666,0,),0;(,1,066669yxxxx xxtytt ytttytyy设2若 不 等 式tantan1xx a， x (,22) 的 解 集 非 空 ， 则 参 数a 的 取 值 范 围为令 tanx = m， 则 m R， 原不等式化为a1mm即 a11mm而易知1mm的最小值为1 a1三角函数最值问题的几种常见类型三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；

28、或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后， 几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。1y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。 解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=22absin(x+)， 其中tanba例 1 已知函数 f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

29、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当 x12，127时， f(x)的反函数为f1(x)，求 f-1(1)的值 . 解： (1)f(x)=2cosxsin(x+3)3sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos3+cosxsin3)3sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+3) f(x)的最小正周期T=(2)当 2x+3=2k2，即 x=k1

30、25(kZ)时， f(x)取得最小值2. (3)令 2sin(2x+3)=1，又 x27,2, 2x+33,23,2x+3=65，则x=4，故 f-1(1)=4. 2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数。特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1 的形式来解。例 2求 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。解： y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x =2+2sin(2x+4) 当 sin(2x+

31、4)=-1 时， y 取最小值2-2，此时 x 的集合 x|x=k -38, kZ. 3y=asin2x+bcosx+c型的函数特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。例 3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+85a23在闭区间 0，2上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

32、13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载222max2max5351.:1 coscos(cos).8224820,0cos1.2531,2,cos1,1282202(),135101,02,cos,122482340().20,0,cos0,2aayxaxaxaxxaaxyaaaaaaaxyaaaaaxy解当时若时 即则当时舍去若即则当时或舍去若即则当时max51121()825aa舍去综合上述知，存在23a符合题设4y=sincosaxcbxd型的函数特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整

33、理成这个形式，它的处理方式有多种。例 4求函数 y=2sin2cosxx的最大值和最小值。解法 1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即 sin(x+ )=2221yy， |sin(x+ )|1, 2221yy 1，解出 y 的范围即可。解法 2：2sin2cosxx表示的是过点 (2, 2)与点 (cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。解法 3：应用万能公式设t=tg(2x)则 y=2222231ttt，即(2-3y)t2-2t+2-y=0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

34、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载根据 0 解出 y 的最值即可。5y=sinxcos2x型的函数。它的特点是关于sinx，cosx 的三次式（ cos2x 是 cosx 的二次式）。因为高中数学不涉及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。例 6 如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂

35、一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即I=k2sinr，其中k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos，由此得：20,cos1Rr，RRhRkIRkRkIRkRkrkI22tan,33sin,392)32()()sin1)(sin1(sin2)(2)cos(sincossinsin232222222222222此时时成立等号在由此得注： 本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。6含有 sinx与 cosx的和与积型的函数式。其特点是含有或经

36、过化简整理后出现sinx+cosx 与 sinxcosx 的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。例 6求 y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。解： 令 sinx+cosx=t,(- 2t2)，则 1+2sinxcosx=t2，所以2sinxcosx=t2-1, 所以 y=t2-1+t=(t+12)2-54. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - -

37、- - - 学习好资料欢迎下载根据二次函数的图象，解出y 的最大值是1+2。 相信通过这一归纳整理，大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了。并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题。望同学们在做有关的问题时结合上面的知识。三角函数最值问题的解决策略类型一 :y=asinx+bcosx+c 解决策略 :利用辅助角公式化成y=a2+b2sin(x+ )+c( 其中 tan=ba) 解决 . 【例 1】 已知函数 f(x)=sin2x-cos2x,x R.求函数 f(x) 在区间 8,34上的最值 . 解:f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x- 4), 又 f(x)

38、 在区间 8,38上为增函数 ,在区间 38,34上为减函数 , 又 f( 8)=0,f(3 8)=2,f(3 4)=-1, 函数 f(x) 在区间 8,34上的最大值为2,最小值为 -1. 类型二 :y=asin2x+bsinxcosx+c?cos2x 解决策略 :利用降幂公式整理化成y=Asin2x+Bcos2x+C, 再转化为类型一. 【例 2】 已知函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x R.求函数 f(x) 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合. 解:f(x)=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x =1+2sinxcosx+2cos2x

39、=sin2x+cos2x+2 =2+2sin(2x+ 4) 当 2x+4=2k+2, 即 x=k+8 (kZ)时,f(x) 取得最大值2+2,且函数f(x) 取得最大值时自变量x的集合 x|x=k +8,k Z. 类型三 :y=asin2x+bsinx+c 或者 y=acos2x+bcosx+c 解决策略 :利用换元法t=sinx,或者 t=cosx,t-1,1, 转化为二次函数y=mt2+nt+p,t -1,1 的最值问题 . 【例 3】 求函数 y=2sin2x+2sinx+1(x R)的值域 . 解:依题意令 t=sinx,t-1,1. y=2t2+2t+1=2(t+12)2+12, 因

40、此当 t=-12 时,ymin=12, 当 t=1 时,ymax=5. 故函数的值域为12,5. 类型四 :y=asin2x+bcosx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 解决策略 :利用 sin2x=1-cos2x 或者 cos2x=1-sin2x 转化成类型三 . 【例 4】 求函数 y=2sin2x+2cosx+1(x R)的最大值 . 解:y=2(1-cos2x)+2cosx+1 =-2cos2x+2cosx+3, 令 t=cosx,t-1,1, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

41、- - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y=-2t2+2t+3=-2(t-12)2+72, 当 t=12 时,ymax=72. 类型五 :y=asinx+bcsinx+d 或者 y=acosx+bccosx+d 解决策略 :利用分离常数法及函数的有界性|sinx|1、|cosx| 1. 【例 5】 求函数 f(x)=2sinx+1sinx+2 的最值 . 解:分离常数得f(x)=2-3sinx+2. -1sinx 1, 当 sinx=1 时,f(x) 取得最大值1; 当 sinx=-1 时,f(x)取得最大值 -1. 类型六 :

42、y=asinx+bccosx+d 解决策略 :去分母、引入辅助角公式,再利用函数的有界性. 【例 6】 求函数 y=2-sinx2-cosx 的最值 . 解:去分母得 2y-ycosx=2-sinx, 即 sinx-ycosx=2-2y, sin(x+ )=2 -2y1+y2(其中 tan= -y). |sin(x+ )| 1, |2-2y1+y2|1. 解得 4-73y4+73. 故 ymin=4-73,ymax=4+73. 类型七 :sinx+cosx 与 sinxcosx 同时出现解决策略 :先利用公式 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,再用换元法 . 【例 7】 求函数 y=2sinxcosx1+sinx+cosx 的最值 . 解:2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1, 设 t=sinx+cosx, 其中 t-2,2, 且 t -1, 则 2sinxcosx=t2-1. 所以 y=(t2- 1)?11+t=t-1. 故 ymin=2-1,ymax=2+1. (责任编辑金 铃 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -