2022年三角函数中半角公式的推导与证明 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载根据倍角公式得：coa2a=1- 2sin2 ,可得cosa=1- 2sin2( /2),可得1-cosa=2sin2(/2),可得sin2( /2)=（1-cosa ）/2,可得,sin(a/2)= 根号（ 1-cosa ）/2）cos2( /2)=1 -sin2( /2)所以： cos2( /2)=1 -（1-cosa ）/2=（1+cosa)/2 所以:cos(a/2)= 根号(1+cosa)/2 因为： tana=sina/cosa 所以:tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2) 所以： tan(a/2)= 根号（ 1-cosa ）/（1+cosa) 在

2、ABC中， C=900，AB=1 ，A=a, 则 cosa=AC/AB=AC,现将 ABC沿 AC折叠，得到ADC, 如图，在 ABC中， C=900，B=300，以 A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC于点 M和 N，再分别以M 、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交 BC于点 D，则下列说法中正确的个数是AD是BAC的平分线； ADC=600 ；点 D在 AB的中垂线上；SDACSABC=13A1 B2 C3 D4 1+cos(a)/2 =1/2+1/2cos(a/2+a/2) =1/2+1/2cos2(a/2)-sin2(a/2) =1/2-1/2sin2

3、(a/2)+1/2cos2(a/2) =1/2cos2(a/2)+1/2cos2(a/2) =cos2(a/2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1）如图（ 1），已知：在 ABC中， BAC=90 ，AB=AC ，直线 m经过点 A，BD 直线m ，CE 直线 m ，垂足分别为点D、E猜测 DE 、BD 、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）（2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改

4、为：在ABC中，AB=AC ，D、A、E三点都在直线m上，并且有 BDA= AEC= BAC= ，其中 为任意锐角或钝角请问第（1）题中 DE 、BD 、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是 D、A、E三点所在直线m上的两动点（ D、A、E三点互不重合） ，点 F 为BAC平分线上的一点， 且 ABF和 ACF均为等边三角形，连接 BD 、CE ，若 BDA= AEC= BAC ，试判断线段DF 、EF的数量关系，并说明理由解：（ 1）DE=BD+CE理由如下：如图 1，BD l ，CE l ，名师资料总结 - - -精品

5、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 BDA= AEC=90 又 BAC=90 ， BAD+ CAE=90 ， BAD+ ABD=90 ， CAE= ABD 在 ABD和 CAE中，ABD= CAEADB= CEA=90 AB=AC， ABD CAE （AAS ）BD=AE ，AD=CE ，DE=AD+AE，DE=CE+BD；（2）如图 2， BDA= AEC= BAC= ， DBA+ BAD= BAD+ CAE=180 -

6、 ， CAE= ABD ，在 ADB和 CEA中，ABD= CAEADB= CEAAB=AC， ADB CEA （AAS ），AE=BD ，AD=CE ，BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF 理由如下：由（ 2）知， ADB CAE ，BD=EA ， DBA= CAE ， ABF和 ACF均为等边三角形， ABF= CAF=60 ， DBA+ ABF= CAE+ CAF ， DBF= FAE ，BF=AF 在 DBF和 EAF中，FB=FAFBD= FAE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

7、 - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载BD=AE， DBF EAF （SAS ），DF=EF ， BFD= AFE ， DFE= DFA+ AFE= DFA+ BFD=60 ， DEF为等边三角形DF=EF 如 图 ， Rt ABC中 ， C=Rt， AC=BC=2， E， F 分 别 为 AC ， AB的 中 点 ，连 接 EF 现 将 一 把 直 角尺 放 在 给 出 的 图 形 上 ， 使 直 角 顶点 P 在 线 段 EF （ 包 括 端 点 ） 上 滑 动 ， 直 角 的 一 边 始 终经 过 点 C ， 另 一 边

8、 与 BF相 交 于 G， 连 接 AP （ 1 ） 求 证 ： PC=PA=PG；（ 2 ）设EP=x ，四 边 形 BCPG的 面 积 为 y ，求 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 ，现 有三 个 数12，98，74试 通 过 计 算 说 明 哪 几 个 数 符 合 y 值 的 要 求 ， 并 求 出 符 合 y 值 时 的 x 的 值 ；（ 3 ） 当 直 角 顶 点 P 滑 动 到 点 F 时 ， 再 将 直 角 尺 绕 点 F 顺 时 针 旋 转 ， 两 直 角 边分 别 交 AC ， BC 于 点 M ， N ， 连 接 MN 当 旋 转 到 使 MN=107时 ， 求

9、 APM的 周 长 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解 ： （ 1 ） E， F 分 别 是 AC ， AB的 中 点 ，EF=12BC=1， EF BC ，EF 垂 直 平 分 AC ，AP=PC， ECP= EAP ； CPG=90 ， ECP+ EPC= GPF+ EPC ， ECP= GPF GPF+ PGF= AFE=45 ，EAP+ PAF=45 ， PGF= PAF PA=PG，

10、PC=PA=PG；（ 2 ） 过 G 作 PF 的 垂 线 ， 垂 足 为 H ， （ 如 图 1 ） ECP+ EPC=90 ， HPG+ EPC=90 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 ECP= HPG ， PC=PG则 Rt PCE Rt GPH （ AAS ） ，GH=PE=x，y=12(1+2)1-12x 1-12(1-x)x，y=12x2-x+32， 或 y=12(x-1)2+1

11、，0 x 1 ，1 y32 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2，74不 符 合 ，所 以 只 有98，12x2-x+32=98， 4x2-8x+3=0， 解 得 ， x1=12， x2=32 1 （ 舍 去 ） ，答 当 x=12时 ， y 的 值 为98或 当 y=1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

12、理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2时 ，12x2-x+32=12， 0 ， 方 程 无 实 数 解 ；当y=98时 ， 4x2-8x+3=0， 解 得 ， x1=12， x2=32 1 （ 舍 去 ） ，所 以 当 x=12时 ， y 的 值 为98当y=74时 ，1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2x2-x+32

13、=74， 解 得 x1=1-6 2 0 （ 舍 去 ） ， x2=1+6 2 1 （ 舍 去 ） ， 所 以 不 符 合 （ 3 ） 连 接 CP ， 则 CP AB ， （ 如 图 2 ， 3 ）AP=CP， A= PCN=45 ，APM+ MPC=CPN+MPN=90 ， APM=CPN ， APM CPN （ ASA ） ，AM=CN，则 CM=BN， AM=CN=x， 则 CM=2-x， x2+(2-x)2=(107)2，解 得 ， x1=87名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

14、- - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载， x2=67， 即 AM=87或67；PM=572 ， AP=2 ，周 长 为87+1272 或67+1272 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载已知 ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,且 2b=a+c, 延长 CA 至 D,使AD=AB, 连接 BD.（1）求证 2D=BAC（2）求 tan

15、1/2 BCA的值问题补充：第一题我会,麻烦第二题详细一些第二题：求tan1/2 BAC tan1/2 BCA已知 ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,且 2b=a+c, 延长 CA 至 D,使 AD=AB, 连接 BD. （1）求证 2D=BAC （2）求 tan1/2 BCA 的值问题补充：第一题我会 ,麻烦第二题详细一些第二题：求tan1/2 BAC tan1/2 BCA 证明：（ 1）很明显 , AB=AD D=ABD BAC=D+ABD BAC=2D (2)过点 B 做 BE 垂直 AC 于 E 作C 的平分线交 BE 于 F 设 AE=x 在直角三角形 ABE 和直角三角形

16、CBE 中BE2=AB2-AE2BE2=BC2-CE2AB2-AE2=BC2-CE2c2 -x2=a2-（b-x）2c2 =a2-b2+2bx x=（c2+b2-a2）/2b 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x=（c+a）（c-a）+b2/2b 2b=c+a AE=x=（5c-3a ）/4 CE=b-x= （c+a）/2-（5c-3a）/4=（5a-3c）/4 DE=c+x=c+ （5c-3

17、a ）/4=（9c-3a）/4 D=1/2BAC( 已证) tan1/2 BAC tan1/2BCA=BE/DE EF/EC 在直角三角形 CEB 中,根据角平分线的性质BC/CE=BF/EF BF/EF=a/ （5a-3c）/4=4a/（5a-3c）(BF+EF)/EF=(9a-3c)/ （5a-3c）BE/EF=(9a-3c)/ （5a-3c）EF=（5a-3c）/（9a-3c ）BE 所以tan1/2 BAC tan1/2BCA=（5a-3c）/（9a-3c）BE2/(DE EC) BE2=AB2-AE2=c2-（5c-3a ）2/16=（30ca-9a2-9c2）/16 所以tan1/

18、2 BAC tan1/2BCA =（5a-3c）/（9a-3c） （30ca-9a2-9c2）/16/(5a-3c)/4（9c-3a ）/4 =(9a2-30ac+9c2)/(9a-3c)(3a-9c) =(3a2-10ac+3c2)/3(3a-c)(a-3c) =(a-3c)(3a-c)/3(3a-c)(a-3c) =1/3 已知，如图，在三角形ABC中， AB=AC=15 ，cosA=4/5 ，点 M在 AB上， AM=2BM ，点 P是边 AC上的一个动点，设 PA=x（1）求底边 BC的长（2）若点 O为 BC的中点，联接MP 、MO 、OP ，设四边形 AMOP 的面积是y，求 y

19、关于 x 的函数关系式，并出写出 x 的取值范围；（3）把 MPA 沿着直线 MP翻折后得到 MPN ，是否可能使 MPN 的一条边（折痕边PM除外）与 AC垂直？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解 ：（ 1） 作 BH AC 于 点 H， 如 图 1， 在 Rt ABH 中 ， cos A=45， AB=15， AH=12， BH=9， AC=1

20、5， CH=3， BC2=BH2+CH2， BC2=92+32=90 ， BC=310（ 2） 作 OE AB 于 点 E， OF AC于 点 F， 如 图 2， OE AB， OF AC， 点 O是 BC的 中 点 ， AB=AC， OE=OF=12BH=92， AM=2MB ， AB=AC=15，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 AM=10， BM=5， PA=x， PC=15-x ，

21、y=S A B C-SB O M-S C O P=12BH?AC-12OE ?BM-12OF?PC =12915-12925-1292（ 15-x ）即 y=94名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x+452 定 义 域 是 0 x 15（ 3） 当 PN AC时 ， 如 图 2， 作 MG AC于 点 G， 在 Rt AMG中 ， cos A=45， AM=10， AG=8， MG=6， 若

22、点 P1在 AG上 ， AP1N1=90， 由 折 叠 知 ： AP1M= N1P1M=135， MP1G=45， MG AC， P1G=MG=6 ， AP1=AG-P1G=2 若 点 P2在 CG上 ， 由 折 叠 知 ： AP2M=45， MG AC， P2G=MG=6 ， AP2=AG+P2G=14 当 MN AC时 ， 如 图 3，由 折 叠 知 ： AMP3= NMP3， P3N3=AP3=x， MN3=MA=10， P3G=8-x ， GN3=4 ， P3N32=P3G2+GN32， x2=（ 8-x ）2+42， x=5 ，综 上 所 述 ， x=2 或 5 或 14 时 满 足

23、 MPN的 一 条 边 与 AC 垂 直 如图，在ABC中，C=90 ，BAC的平分线 AD 交 BC 于 D，过点 D 作 DE AD 交 AB于 E，以 AE 为直径作O（1）求证：点D 在 O 上；（2）求证： BC 是 O 的切线；（3）若 AC=6 ，BC=8 ，求BDE 的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 sin 在等式两边减去1，整理得：将代入 ，整理得：开方，得cos 在

24、等式两边加上1，整理得：将代入名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载，整理得：开方，得tan sina=cos （90 -a）注： sin 在等式两边减去1，整理得：将代入 ，整理得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - -

25、- 学习好资料欢迎下载开方，得cos 在等式两边加上1，整理得：将代入，整理得：开方，得tan sina=cos （90 -a）注：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载半角公式的证明24. 如图，在ABC中，090C，BAC)900(00. 延长CA到D, 使ABAD, 连接BD，则DABD，BACDABD，2DABD，cosACABAD，ACACACACADCD) 1cos1(cos，又tan

26、ACBC，cos1sin01cossincoscos1tancos1cos1tan) 1cos1(tan2tanscACACCDBC；cos1sin2222coscossin)cos1(sincos1)cos1(sin)cos1)(cos1 ()cos1 (sinsincos1 即sincos1cos1sin2tan；(1) 已知1AC，3BC, 则2tan，2sin；(2) 求2sin的值（用含cos或tan的式子表示） . 解：（ 1）33，21；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

27、- - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）22)1cos1()tan(tan2sinACACACBDBC22)1cos1()(tantan22)coscos1()cossin(tan22)cos1()(sintancos22)(coscos21)(cos1tancoscos22tancos在 ABC 中， C为直角， BAC= ，延长 CA到 D，连接 BD使 D=/2 。 D=/2 ， BAC= DBA= - /2= /2= D（三角形外角等于不相邻两内角的和）AD=AB=AC/cos （等角对等边）则 CD=AD+AC=AC/cos

28、 +AC=AC(1/cos+1) 又 BC=AC*tntan( /2)=BC/CD=(AC*tan )/AC(1/cos+1)=tan/(1/cos+1)=cos tan /(1+cos )=sin /(1+cos ) 至此已得到正切的半角公式。根据其它公式可继续推得其它半角公式。cos( /2)=tan2( /2)+1-1/2=sin2/(1+cos )2+1-1/2=sin2+(1+cos )2/(1+cos)2-1/2=(sin2+cos2+2cos+1)/(1+cos)2-1/2=(2cos +2)/(1+cos)2-1/2=(1+cos)2/(2cos +2)1/2=(1+cos )

29、/21/2sin( /2)=cos(/2)tan(/2)=(1+cos)/21/2sin/(1+cos )=(1+cos)sin2/2(1+cos )21/2=sin2 /2(1+cos )1/2=(1-cos2)/2(1+cos)1/2=(1-cos)(1+cos )/2(1+cos)1/2=(1-cos)/21/2最终所得：sin( /2)=(1-cos)/21/2cos( /2)=(1+cos)/21/2tan( /2)=sin/(1+cos )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

30、- - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在ABC中，090C，BAC，AD平分BAC，交BC于点D,ABDE于E，过点E作ACEF, 交AD于G, 垂足为F. 则DCDE，BACBDE，DABD，BACDABD，2DABD，AEEFBACsin，AEAFBACcos,BDEDBDEcos, AEAFBDED，ADEDAFGF2sin，BDBCBDABBDBCACCDACAD2)(2222222BDDCBDABBDDCBDBDAB2)(222222222BDsiaADBDAB，22222BDsiaADBDADAB名师资料总结 - - -精品资

31、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载ABC 为直角三角形 ,DE 垂直于 AB,三角形 ACD 与 AED 全等DE 长=d,AE 长=b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在直角三角形 BDE 中,BD 长平方 -DE 长平

32、方 =BE 长平方即(a-d)2-d2=BE 长平方 =(c-b)2a2-2ad+d2-d2=(c-b)2d=(a2-(c-b)2)/2atan（x/2）=d/b=(a2-(c-b)2)/2ab=(a2-c2-b2+2bc)/2ab因为 c2=a2+b2=(2bc-2b2)/2ab=(c-b)/a=1/sinx-cosx/sinx=（1-cosx ）/sinx另一个证明是一样的=(c-b)(c+b)/a(c+b)=a2/a(c+b)=a/(c+b)=1/(c/a+b/a)=1/(1/sinx+cosx/sinx)=1/(1+cosx)/sinx)=sinx/(1+cosx)久了不用这些了 ,感觉方法有点烂wuming 补突2014-10-18名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - -