2022年二项式定理高考数学总复习高中数学课时训 .pdf

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1、二项式定理1. 在（ 1+x）n( nN*) 的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n= . 答案10 2. 在（ a2-2 a31）n的展开式中，则下列说法错误的有个. 没有常数项当且仅当 n=2 时，展开式中有常数项当且仅当 n=5 时，展开式中有常数项当 n=5k ( kN*) 时，展开式中有常数项答案3 3. 若多项式0Cn( x+1）n-C1n( x+1)n-1+(-1)rCrn( x+1)n- r+(-1)nCnn=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an, 则 a0+a1+an -1+an= . 答案1 4. （2008山东理） ( x-31x)12展开式中的常数项为 . 答

2、案-220 5. （2008福建理， 13）若( x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 则 a1+a2+a3+a4+a5= .（用数字作答）答案31 例 1在二项式 (x +421x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项 . 解二项展开式的前三项的系数分别是1，2n，81n（n-1 ） ，22n=1+81n（n-1 ） ，解得 n=8 或 n=1（不合题意，舍去） ，Tk+1=Ck8x28 kk421x=Ck82- kx4-43k，当 4-43kZ 时， Tk +1为有理项，0k8 且 kZ, k=0，4，8 符合要求 .

3、故有理项有 3 项，分别是基础自测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - T1=x4，T5=835x，T9=2561x-2. n=8，展开式中共9 项，中间一项即第5 项的二项式系数最大.T5=835x. 例 2已知 (1-2 x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7. 求:(1) a1+a2+a7; (2) a1+a3+a5+a7; (3) a0+a2+a4+a6; (4)| a0|+| a1|+| a2|+ +| a

4、7|. 解令 x=1, 则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 令 x=-1, 则 a0- a1+a2- a3+a4-a5+a6- a7=37(1) a0=C07=1, a1+a2+a3+a7=-2. (2)( - ) 2, 得 a1+a3+a5+a7=2317=-1 094. (3)( +) 2, 得 a0+a2+a4+a6=2317=1 093. (4) (1-2 x)7展开式中 , a0, a2, a4,a6都大于零 , 而 a1, a3, a5, a7都小于零 , | a0|+| a1|+| a2|+ +| a7| =(a0+a2+a4+a6)-( a1+a3+a5+

5、a7), 由 (2) 、 （3）即可得其值为2 187. 例 3（14 分） （1）已知 nN*, 求证： 1+2+22+23+25 n-1能被 31 整除；（2）求 0.9986的近似值，使误差小于0.001. （1）证明1+2+22+23+25n-1=21215n=25n-1=32n-1 3 分=（31+1）n-1 =31n+C1n31n-1+C2n31n -2+C1nn31+1-1 =31（31n-1+C1n31n-2+C1nn）6 分显然括号内的数为正整数，故原式能被 31 整除. 7 分（2）解0.9986=（1-0.002 ）6=1-C16（0.002 ）+C26（0.002 ）2

6、-C36（0.002 ）3+10 分第三项 T3=15(0.002)2=0.000 06 0.001, 以后各项更小 , 0.99861-0.012=0.988. 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1. 在（ 3x-2y）20的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项 . 解（1）二项式系数最大的项是第11 项，T11=C1020310（-2 ）10 x10y10

7、=C1020610 x10y10. （2）设系数绝对值最大的项是第r +1 项，于是1211202020119120202023C23C23C23Crrrrrrrrrrrr，化简得rrrr3)21( 2)20(2) 1(3，解得 752r 852. 所以 r =8, 即 T9=C82031228x12y8是系数绝对值最大的项. （3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r -1 项系数最大，于是rrrrrrrrrrrr222022022222222042224422022222222023C23C23C23C，化简得092416310007711431022rrrr. 解之得 r =5, 即

8、25-1=9 项系数最大 . T9=C82031228x12y8. 2. 求 x(1- x)4+x2(1+2 x)5+x3(1-3 x)7展开式中各项系数的和. 解设 x(1- x)4+x2(1+2 x)5+x3(1-3 x)7=a0+a1x+a2x2+anxn在原式中，令x=1, 则 1(1-1)4+12(1+2)5+13(1-3)7=115, 展开式中各项系数的和为115. 3. 求证 :3n( n+2) 2n-1（nN*，n2）. 证明利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明 . 因为 nN*，且 n2, 所以 3n=(2+1)n展开后至少有4 项. （2+1）n=2n+C1n2n-1+

9、C1nn2+12n+n2n-1+2n+12n+n2n -1=( n+2)2n -1, 故 3n( n+2) 2n-1. 一、填空题1. （1-2 x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则 | a0|+| a1|+| a2|+ +| a6| 的值为 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 答案729 2. （2008安徽理） 设（ 1+x）8=a0+a1x+a8x8，则 a0，a1， a8中奇数的个数为 . 答案2

10、 3. （2008全国理） (1-x )6(1+x )4的展开式中 x 的系数是 . 答案-3 4. 已知 ( x-xa)8展开式中常数项为1 120 ，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为 . 答案1 或 385. 若(1+5 x2)n的展开式中各项系数之和是an,（2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则nnnba13的值为 . 答案316. 设 m N*, nN*, 若 f ( x)=(1+2 x)m+(1+3x)n的展开式中x 的系数为 13，则 x2的系数为 . 答案31 或 40 7. （1+x）6(1- x)4展开式中 x3的系数是 . 答案-8 8. （2

11、008天津理， 11）52xx的二项展开式中x2的系数是 .（用数字作答）答案40 二、解答题9. 已知 (x +22x)n( nN*) 的展开式中第5 项的系数与第3 项的系数之比为101. 求展开式中系数最大的是第几项？解依题意，第 5 项的系数为 C4n24，第三项的系数为C2n22，则有2244C2C2nn=110，解得 n=8. 设展开式中第r +1 项的系数最大，则118811882C2C,2C2Crrrrrrrr解得 5r 6. 第 6 项和第 7 项的系数相等且最大，即最大为 5625=728=1 792. 10. 已知（32x+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数

12、和大992. 求展开式中系数最大的项. 解令 x=1，得各项的系数和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数和为：C0n+C1n+Cnn=2n，4n=2n+992. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - (2n-32)(2n+31)=0 2n=32 或 2n=-31 （舍去）， n=5 设第 r +1 项的系数最大，则;3C3C,3C3C11551155rrrrrrrr即;1351,613rrrr27r 29，又 r

13、Z， r =4，系数最大的项是T5=C45x32（3x2）4=405x326. 11. （1）求 ( x2-x21)9的展开式中的常数项；（2）已知 (xa-2x)9的展开式中x3的系数为49，求常数 a 的值；（3）求（ x2+3x+2）5的展开式中含x 的项 . 解（1）设第 r +1 项为常数项，则Tr +1=Cr9( x2）9- r(-x21)r=(-21)rCr9xr318令 18-3 r =0, 得 r =6, 即第 7 项为常数项 . T7=621C69=1621. 常数项为1621. (2) 设第 r +1 项是含 x3的项，则有Cr9(xa)9- rrx2=49x3, 得：

14、xr-9x2r=x3，故23r -9=3, 即 r =8. C89a（-21）8=49， a=4. （3）（ x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，（x2+3x+2）5的展开式中含x 的项是（ x+1）5展开式中的一次项与（x+2）5展开式中的常数项之积， （x+1）5展开式中的常数项与( x+2)5展开式中的一次项之积的代数和. 含 x 的项为 C45xC5525+C551C45x24=240 x. 12. 在（ 2x-3 y）10的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）x 的

15、奇次项系数和与x 的偶次项系数和 . 解设(2 x-3 y)10=a0 x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10 (*) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 各项系数和即为a0+a1+a10, 奇数项系数和为a0+a2+a10, 偶数项系数和为a1+a3+a5+a9, x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+a9, x 的偶次项系数和a0+a2+a4+a10. 由于（ * ）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的

16、系数和. （1）二项式系数和为C010+C110+C1010=210. （2）令 x=y=1, 各项系数和为 (2-3)10=(-1)10=1. （3) 奇数项的二项式系数和为C010+C210+C1010=29, 偶数项的二项式系数和为C110+C310+C910=29. (4) 设（ 2x-3 y）10=a0 x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+a10=1 令 x=1,y=-1( 或 x=-1, y=1) 得 a0- a1+a2- a3+a10=510+得 2( a0+a2+a10)=1+510, 奇数项的系数和为25110；- 得 2( a1+a3+a9)=1-510, 偶数项的系数和为25110. （5）x 的奇次项系数和为a1+a3+a5+a9=25110; x 的偶次项系数和为a0+a2+a4+a10=25110. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -