2022年全国高考理科数学试题及答案-全国卷 .pdf

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1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）理科数学注意事项：1. 答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有

2、一项是符合题目要求的。1. 31ii（）A12i B12i C2i D2i2. 设集合1,2,4A，240Bx xxm若1ABI，则B（）A1, 3 B1,0 C1,3 D1,53. 我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90 B63 C42 D365

3、. 设x，y满足约束条件2330233030 xyxyy，则2zxy的最小值是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - A15 B9 C1 D9 6. 安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀， 2 位良好， 我现在给甲看乙、

4、丙的成绩， 给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）A2 B3 C4 D5 9. 若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2 B3C2 D2 3310. 已知直三棱柱111ABCA B C中，C120o，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A32 B155 C105 D3311. 若2x是函数21( )(1)

5、xfxxaxe的极值点，则( )f x的极小值为（）A.1 B.32e C.35e D.1 12. 已知ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPCuu u ruu u ruuu r的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 最小值是（）A.2 B.32 C. 43 D.1二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13. 一批产品的二等品率为0.02， 从这批产品中每次随机取一件

6、，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D14. 函数23sin3 cos4fxxx（0,2x）的最大值是15. 等差数列na的前项和为nS，33a，410S，则11nkkS16. 已知F是抛物线C：28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点 若为F的中点，则FN三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17. （12 分）ABC的内角ABC、 、所对的边分别为, ,a b c，已知2sin()8sin2BAC，（1）求cosB；（2）若6a

7、c，ABC的面积为2，求b18. （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg” , 估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg旧养殖法新养殖法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

8、- - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01 ）19. （12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90 ,2ABBCADBADABCE是PD的中点 . （1）证明：直线/ /CE平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值20. （12 分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNMuu u ruuuu r. （1）求点P的轨迹方程；

9、（2）设点Q在直线3x上，且1OP PQuuu r uu u r. 证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21. （12 分）已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。（1）求a；（2）证明：fx存在唯一的极大值点0 x，且2202efx. （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4（1）M为曲线1C上的动点， 点P在线段OM上，且满足| | 16OMOP, 求点P的轨迹2C

10、的直角坐标方程；P（?2? ）0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - （2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值23. 选修 4-5 ：不等式选讲 （ 10 分）已知330,0,2abab，证明：（1）55()()4ab ab；（2）2ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

11、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2017 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2 理科数学参考答案一、选择题：1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 二、填空题：13. 1.96 14. 1 15. 21nn16. 6 三、解答题：17. （12 分）解：（1）由题设及ABC得2sin8sin2BB，故上式两边平方，整理得217cos32cos150BB解得15cosB=cosB171（舍去），=（2）

12、由158cosBsin B1717=得，故14sin217ABCSacBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及a6c得所以2b18. （12 分）解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50kg”. 由题意知( )()( )()P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故()P B的估计值为0.62 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故()P C的估计值为0.66 名师资料总结 - - -精

13、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 因此，事件A的概率估计值为0.62 0.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.0040.0200.0440.0

14、68)50.680.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为19. （12 分）解：（1）取PA的中点F，连接,EF BF，因为E是PD的中点，所以/ /EFAD，12EFAD由90BADABCo得/ /BCAD，又12BCAD，所以/ /EFBC，四边形BCEF是平行四边形，/ /CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故/ /CE平面PAB（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，ABu uu r的方向为x轴正方向，|ABuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

15、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,3)ABCP，设( , , )(01)M x y zx，则因为BM与底面ABCD所成的角为45o，而(0,0,1)n是底面ABCD的法向量，所以222|2|cos,|sin45 ,2(1)zBM nxyzouuu u r，即222(1)0 xyz又M在棱PC上，设PMPCuuuu ru uu r，则,1,33xyz由，解得21,21,62xyz（舍去），21,21,62xyz所以26(1,1,)22M，从而26(1,1,)22AM

16、u uu u r设000(,)mxyz是平面ABM的法向量，则0,0,m AMm ABuuu u rguuu rg即0000(22)26)0,0,xyzx所以可取(0,6, 2)m，于是10cos,|5m nm nm ng因此二面角MABD的余弦值为10520. （12 分）解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - （1）设( ,)P x y，00(,)M xy，则000(,0),(, ),(0,)N xNPxxy

17、NMyu uu ruuuu r由2NPNMuuu ru uu u r得002,2xx yy因为00(,)Mxy在C上，所以22122xy因此点P的轨迹方程为222xy（2）由题意知( 1,0)F设( 3, ),(, )QtP m n，则( 3, ),( 1,),33OQtPFmn OQ PFmtnuuu ruu u ruu u r uu u rg，由1OQ PQu uu r uuu rg得2231mmtnn又由（ 1）知222mn，故所以0OQ PFu uu r uuu rg，即OQPFu uu ruu u r. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

18、21. （12 分）解：（1）( )f x的定义域为(0,)设( )lng xaxax，则( )( ),( )0f xxg xf x等价于( )0g x因为(1)0,( )0gg x，故(1)0g，而1( ),(1)1g xagax，得1a若1a，则1( )1g xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 当01x时，( )0,( )g xg x单调递减；当1x时，( )0,( )gxg x单调递增所以1x是( )g

19、x的极小值点，故( )(1)0g xg综上，1a（2）由（ 1）知2( )ln,( )22lnf xxxxx fxxx设( )22lnh xxx，则1( )2h xx当1(0, )2x时，( )0h x；当1(,)2x时，( )0h x. 所以( )h x在1(0,)2单调递减，在1(,)2单调递增 . 又21()0, ( )0, (1)02h ehh，所以( )h x在1(0,)2有唯一零点0 x，在1,)2有唯一零点 1，且当0(0,)xx时，( )0h x；当0(,1)xx时，( )0h x；当(1,)x时，( )0h x. 因为( )( )fxh x，所以0 xx是( )f x的唯一极

20、大值点. 由0()0fx得00ln2(1)xx，故000()(1)fxxx. 由0(0,1)x得01()4f x. 因为0 xx是( )f x在(0,1)的最大值点，由11(0,1),()0efe得120()()f xf ee. 所以220()2ef x（二）选考题： 22. 解：（1）设P的极坐标为( , )(0)，M的极坐标为11(, )(0). 由题设知14|,|cosOPOM由| 16OMOPg得2C的极坐标方程4cos(0)因此2C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

21、名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - （2）设点B的极坐标为(, )(0)BB. 由题设知|2,4cosBOAa，于是OAB面积23. 当12a时，S取得最大值23所以OAB面积的最大值为2323. 解：（1）556556()()ab abaaba bb（2）因为33223()33abaa babb所以3()8ab，因此2ab. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -