2022年倒立摆系统的建模及Matlab仿真 .pdf

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1、第 1 页 共 11 页倒立摆系统的建模及Matlab 仿真1.系统的物理模型考虑如图 (1) 所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图(1) 倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量： m=0.1g 摆杆的长度： l =1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度： g=9.8m/2s摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件( 由干扰引起 ) 时，最大超调量10% ，调节时间 ts 4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。2.系统的数学模型2.1 建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首

2、先假设：1) 摆杆为刚体； 2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z, 摆心瞬时位置为（sinlz）, 在 u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有ulzdtdmdtzdM)sin(2222即：umlmlzmMsincos)(2绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共

3、11 页sincos)sin(22mglllzdtdm即：s i nc o ss i nc o sc o s22gllz以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解， 需作线性化处理。 由于控制的目的是保持倒立摆直立， 在试驾合适的外力条件下， 假定很小，接近于零时合理的， 则1cos,sin， 且可忽略2项。于是有umlzmM)(glz联立求解可得uMlMlmMuMMmgz1)(12.2 列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,xxxx，Txxxxx4321,则uMlxMlmMxxxuMxMmgxxx1)(134433221即CxxxyBuAxuMlMxMlgmMMmgzzdtdx000

4、110100)(00100000000101代入数据计算得到：0,0001,1010,01100100001000010DCBAT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 11 页3.设计控制器3.1 判断系统的能控性和稳定性01101110100101101032BABAABBQk，rank(kQ)=4, 故被控对象完全可控由特征方程0)11(22AI解得特征值为 0 ，0，11。出现大于零的特征值，故

5、被控对象不稳定3.2 确定希望的极点希望的极点 n=4，选其中一对为主导极点1s和2s，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点1.021ep可得59.0，于是取6 .0；取误差带02.0有nst4，则1.67n，闭环主导极点为22, 11jsn=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的 5 倍，取154, 3s3.3 采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点状 态 反 馈 的 控 制规 律 为kxu，3210kkkkk； 状 态反 馈 系 统的 状 态方 程 为BvxBKAx)(，其特征多项式为0122033

6、141010)11()()(kkkkkkBKAI希望特征多项式为3692 .49964.28632)8.01)(8.01()15(2342jj比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵92.8154.33492.499.36k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 11 页4.设计全维观测器4.1 判断系统的能观性1000010000100001)()(32CACACACQTTTg，rank(gQ)=4, 故被

7、控对象完全可观4.2 确定观测器的反馈增益全维观测器的动态方程为GCxBvxGCAx)(；其特征多项式为)11()11()11()(312021304ggggggGCAI取观测器的希望极点为： -45 ，-45，-3+3j ，-3-3j ；则希望特征多项式为3465013770258396)8.01)(8.01()15(2342jj比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵TG64984148262594965.降维状态观测器的设计5.1 建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移 z 由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（三维）状态观测器，通过重新排列被控系统变量的次序， 把需由降维状态观测器

8、估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量分离开。将 z 作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为zzyuzzzzdtd1000010100010011001000010名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 11 页简记为：211212122211211210 xxIyyubbxxAAAAxx式中Tzx1，011010001011A，TA00012，Tb 101 1yzx2，TA0012

9、1，21A=0，02b，11I被控系统的 n-q 维子系统动态方程的一般形式为vxAx1111，121xAz式中ububyAv1121,zyubyAyz222z 为子系统输出量。故倒置摆三维子系统动态方程为zzuzzdtd00110101101000105.2.判断子系统的可观测性A1=0 -1 0;0 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0; Qg1=obsv(A1,C1);r=rank(Qg1) 运行 Matlab 程序；结果为 r=3,故该子系统可观测降维状态观测器动态方程的一般形式为yhxyAhAhAhAubhbAhA122122111212111式中 h=Thhh210。考虑被控对

10、象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为yhhhxyhhhhhhhhuhhh2101120210120210111010111001名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 11 页5.3 确定三维状态观测器的反馈矩阵h 三维状态观测器的特征多项式为20120321111111hhhhAhAI设希望的观测器闭环极点为-45，-3+3j ，-3-3j ，则希望特征多项式为810288513333452

11、3jj比较以上两式系数，解得h=1371-29951故所求三维状态观测器的动态方程为yyxxyu1137129951000001000010000166632138782302101011137110299015116.Matlab仿真分析6.1 源程序通过 Matlab 对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为Inversion_pendulum_system.m的源程序%倒立摆系统建模分析%a)判断系统能控性和能观性clear all; clc A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1; C=1 0 0 0

12、; D=0; Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc); n=size(A); if rc=n disp(The system is controlled. ) elseif rc0)=0) disp(The system is unstable and the ubstable poles are:) v(find(Re0) elsedisp(The system is stable! ); end% c)极点配置与控制器 -全维状态观测器设计与仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j; K=acker(A,B,p

13、c),G=acker(A,C,po) Gp=ss(A,B,C,D); %将受控过程创建为一个 LTI 对象disp(受控对象的传递函数模型：); H=tf(Gp) Af=A-B*K-G*C; disp(观测器控制器模型： ); Gc=ss(Af,-G,-K,0) %将观测器 -控制器创建为一个 LTI 对象disp(观测器控制器的极点： ); f_poles=pole(Gc) GpGc=Gp*Gc; %控制器和对象串联disp(观测器控制器与对象串联构成的闭环系统模型：); Gcl=feedback(GpGc,1,-1) %闭环系统disp(闭环系统的极点和零点： ); c_poles=pol

14、e(Gcl) c_zeros=tzero(Gcl) lfg=dcgain(Gcl) %低频增益N=1/lfg % 归一化常数T=N*Gcl; %将N与闭环系统传递函数串联x0=100 10 30 10 0 0 0 0;%初始条件向量t=0:0.01:1; %时间列向量r=0*t; %零参考输入y t x=lsim(T,r,t,x0); %初始条件仿真plot(t,x(:,1:4),-.,t,x(:,5:8) %由初始条件引起的状态响应title(bf状态响应 ) legend(x1,x2,x3,x4,x1hat,x2hat,x3hat,x4hat) figure(2) step(T) titl

15、e(bf阶跃响应 ) figure(3) impulse(T) title(bf脉冲响应 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 11 页6.2 程序运行结果The system is controlled. The system is observable. P = 1 0 -11 0 0 v = 0 0 3.3166 -3.3166 The system is unstable and the

16、ubstable poles are: ans = 3.3166 K = -36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200 G = 96 2594 -14826 -64984 受控对象的传递函数模型Transfer function: s2 - 1.776e-015 s - 10 - s4 - 11 s2 观测器 控制器模型：a = x1 x2 x3 x4 x1 -96 1 0 0 x2 -2557 49.92 333.5 81.92 x3 1.483e+004 0 0 1 x4 6.495e+004 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 -96

17、 x2 -2594 x3 1.483e+004 x4 6.498e+004 c = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 11 页x1 x2 x3 x4 y1 36.9 49.92 334.5 81.92 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 观测器 控制器的极点：f_poles = 1.0e+002 * -1.4948 + 1.8786i -1.4948 - 1.87

18、86i 1.7424 -0.0328 观测器 控制器与对象串联构成的闭环系统模型：a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 -1 0 36.9 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 11 0 -36.9 x5 96 0 0 0 -96 x6 2594 0 0 0 -2557 x7 -1.483e+004 0 0 0 1.483e+004 x8 -6.498e+004 0 0 0 6.495e+004 x6 x7 x8 x1 0 0 0 x2 49.92 334.5 81.92 x3 0 0 0 x4 -49.92 -334.5 -81.92 x5 1 0

19、0 x6 49.92 333.5 81.92 x7 0 0 1 x8 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 -96 x6 -2594 x7 1.483e+004 x8 6.498e+004 c = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 11 页x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 y1 1 0 0 0 0 0 0 0 d =

20、u1 y1 0 Continuous-time model. 闭环系统的极点和零点：c_poles = -45.0000 -45.0000 -15.0001 -14.9999 -3.0000 + 3.0000i -3.0000 - 3.0000i -1.0000 + 0.8000i -1.0000 - 0.8000i c_zeros = 3.1623 0.2263 -0.1707 -3.4312 -3.1623 lfg = 1.0000 N = 1.0000 由控制器全维状态观测器实现的倒立摆系统在初始条件下引起的状态变量的响应、输出变量的阶跃响应和脉冲响应如下图图(2) 状态响应tx（虚线）和tx（实线）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 11 页图(3) 阶跃响应ty图(4) 脉冲响应ty名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -