2022年全国初中数学联赛金牌教练讲座：相似三角形的性质 .pdf

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1、第1页（共 10页）兰州第十中学数学组2013 年最新八年级数学竞赛讲座第二十一讲相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系 1相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2相似三角形周长之比等于相似比； 3相似三角形面积之比等于相似比的平方以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野例题求解【例 1】如图，梯形ABCD中， AD BC(ADBC) ，AC 、BD交于点 O ，若 SOAB=256S梯形 ABCD，则

2、AOD与 BOC的周长之比是( 浙江省绍兴市中考题) 思路点拨只需求BCAD的值，而题设条件与面积相关，应求出BOCAODSS的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用人类第一次运用相似原理进行测量， 是 2000 多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性使教学具有不可动摇的说明力【例 2】如图，在平行四边形ABCD 中 E为 CD上一点， DE ：CE=2：3，连结 AE 、BE 、BD ，且 AE 、BD交于点 F，则 SDEF：SEBF：SABF=( )

3、A 4：10：25 B4：9：25 C2：3：5 D2：5：25 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第2页（共 10页） (黑龙江省中考题) 思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比【例 3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C=90， AB=5cm ，BC=3 ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长思路点拨要在三角形内裁出面积最

4、大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、 推理、 构思可能的方案，再通过比较、 鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路【例 4】 如图在 ABC的内部选取一点P，过 P点作 3 条分别与 ABC的三边平行的直线，这样所得的 3 个三角形1t 、2t 、3t 的面积分别为4、9 和 49，求 ABC的面积( 美国数学邀请赛试题) 思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换追

5、求形式上的统一【例 5】如图， ABC中 D、E分别是边 BC、AB上的点，且 l 2=3，如果 ABC 、 EBD 、ADC的周长依次是m、m1、m2，证明：4521mmm( 全国初中数学联赛试题) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第3页（共 10页）思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一， 得到同线段比的代数式，通过代数变形证明注例 4 还隐舍着下列重要结论： (1)FDP IPE PHG ABC ；

6、 (2)1BCHGACIEABDF； (3) 2ACFGABHIBCDE学力训练1如图，已知DEBC ，CD和 BE相交于 O，若 SDOE：SCOB=9：16，则 AD：DB= 2如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形ABCD的 位置，它们的重叠部分( 图中的阴影部分 ) 的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA 是 (江西省中考题 ) 3若正方形的4 个顶点分别 在直角三角形的3 条边上， 直角三角形的两直角边的长分别为3cm和 4cm，则此正方形的边长为 ( 武汉市中考题) 4阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果

7、两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同就把它们叫做相似体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设 S甲： S乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66babaSS乙甲，又设V甲、V乙分别表示这两个正方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第4页（共 10页）体的体积，则333)(babaVV乙甲(1) 下列几何体中，一定属于相似体的是( ) A两个球体

8、B 两个圆锥体 C两个圆柱体 D两个长方体(2) 请 归纳出相似体的3 条主要性质：相似体的一切对应线段(或弧 ) 长的比等于；相似体表面积的比等于；相似体体积的比等于 ( 江苏省泰州市中考题) 5如图，一张矩形报纸ABCD的长 AB=acm ，宽 BC=b， E、F 分别是 AB 、CD的中点，将这张报纸沿着直线 EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a：b 于( ) A 2： 1 B1：2 C 3 ：1 D1：3 (2004年南京市中考题) 6如图， D为 ABC的边 AC上的一点， DBC= A，已知 BC=2， BCD与 ABC的面积的比是2：3，则CD

9、的长是 ( ) A34 B3 C232 D 334 7 如图，在正三角形ABC中， D、E分别在 AC 、AB上，且31ACAD，AE=BE ，则有 ( ) A AED BED B AED CBD C AED ABD D BAD BCD (2001年 杭州市中考题 ) 8如图，已知ABC中， DE FG BC ，且 AD ：FD ：FB=1：2：3，则 SADE：S四边形 DFGE ：S四边形 FBCG等于 ( ) A1：9：36 Bl ：4：9 C1：8：27 D1：8：36 9 如图 ，已知梯形ABCD中， AD BC ， ACD= B，求证：ADBCCDAB22名师资料总结 - - -精

10、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第5页（共 10页） 10 如图，在平行四边形ABCD 中，过点B作 BE CD于 E ，连结 AE ，F 为 AE上一点，且BFE= C (1)求证： ABF EAD ； (2)若 AB=4 ， BAE=30 ，求 AE的长； (3)在(1) 、 (2) 的条件下，若AD=3，求 BF的长 (2003年长沙市中考题) 11如图，在ABC中， AB 5，BC=3 ，AC=4，PQ AB ，P点在 AC上(

11、 与点 A 、C不重合 ) ，Q点在 BC上(1) 当 PQC 的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2) 当 PQC 的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3) 试问：在AB上是否存在点M ，使得 PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出 PQ的长 (厦门市中考题) 12如图，在ABC中， AB AC 5，BC=2 ，在 BC上有 100 个不同的点Pl、P2、 P100，过这 100 个点分别作 ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2， L100，则L1+L2

12、+L100= (安徽省竞赛题) 13如图，在ABC中， DE FG BC ，GIEFAB，若 ADE 、 EFG 、 GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则 ABC的面积为14如图，一个边长为3、4、5 厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第6页（共 10页）正方形的两条边AD 、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2 ( “希望杯”邀

13、请赛试题) 15如图，正方形 ABCD 中，AE EF=FB ，BG= 2CG ，DE ， DF分别交 AG于 P、Q，以下说法中， 不正确的是 ( ) A AG FD BAQ ：QG 6，7 C EP ：PD=2 ： 11 DS四边形 GCDQ：S四边形 BGQF=17：9 (2002年重庆市竞赛题) 16 如图，梯形ABCD 中， ABCD ，且 CD=3AB ，EF CD ，EF将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED等于 ( ) A2 B23 C215 D21517如图，正方形OPQR 内接于 ABC ，已知 AOR 、 BOP和 CRQ 的面积分别是S1=1，S2=3和

14、 S3=1，那么正方形 OPQR 的边长是 ( ) A 2 B 3 C2 D3 18在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4 个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a 、b、c，且 abc d ，问正方形的2 个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大 ? 19如图， PQR和 PQ R，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - -

15、- - 第7页（共 10页）这个六边形的边长为AB= a1， BC =b1，CD= a2，DE= b2，EF= a3，FA =b3求证 ：a1 +a2 +a3= b1+ b2 +b320如图， 在 ABC中，AB=4，D在 AB边上移动 ( 不与 A、B重合 ) ，DE BC交 AC于 E，连结 CD ，设 SABC= S，S DEC=S1(1) 当 D为 AB中点时，求SS1的值；(2) 若 AD= x，ySS1，求 y 与 x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；(3) 是否存在点D，使得SS411成立 ?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由( 福州市中考题) 21已知 AOB=90

16、 ， OM是 AOB的平分线，按以下要求解答问题： (1)将三角板的直角顶点P在射线 OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB交于点 C，D在图甲中，证明：PC=PD ；在图乙中，点G是 CD与 OP的交点，且PG=23PD，求 POD 与 PDG 的面积之比(2) 将三角板的直角顶点 P在射线 OM 上移动，一直角边与边OB交于点 D，OD=1 ，另一直角边与直线OA ，直线 OB分别交于点C、 E ，使以 P 、 D、E为顶点的三角形与OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP的长 ( 绍兴市中考题 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

17、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第8页（共 10页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第9页（共 10页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第10页（共 10页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -