2022年初中几何辅助线做法大全教学教材 .pdf

《2022年初中几何辅助线做法大全教学教材 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中几何辅助线做法大全教学教材 .pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有n(n2) 个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n1)条. 规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成12n(n+1)+1个部分 . 规律 3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n1)条. 规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图， B 在线段 AC 上， M 是 AB 的中点， N 是 BC 的中点 . 求证： MN =12AC 证明： M 是 AB 的中点

2、， N 是 BC 的中点AM = BM =12AB ,BN = CN =12BC MN = MB+BN =12AB +12BC = 12(AB + BC) MN =12AC 练习： 1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点， M 是线段 BC 的中点 . 求证： AM = 12(AB + BC) 2.如图，点 B 在线段 AC 上， M 是 AB 的中点， N 是 AC 的中点 . 求证： MN = 12BC 3.如图，点 B 在线段 AC 上， N 是 AC 的中点， M 是 BC 的中点 . 求证： MN =12AB 规律 5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n1)个

3、. 规律 6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n1）个 . 规律 7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n（n1）对对顶角 . 规律 8.平面上若有n（n3 ）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n1)(n2）个. 规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n1)个. 规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂

4、直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13. 已 知AB DE, 如 图 ,规律如下：1ABC+BCD+CDE=360EDCBAHGFEDBCAHGFEDBCAHGFEDBCANMCBAMCBANMCBANMCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流规律14.成“8” 字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已

5、知， BE、DE 分别平分 ABC 和 ADC，若 A = 45o,C = 55o,求 E 的度数 . 解： A ABE = E ADE C CDE =E CBE 得A ABE C CDE =E ADE E CBE BE 平分 ABC 、DE 平分 ADC ， ABE = CBE， CDE =ADE 2E =A C E = 12(A C) A =45o,C =55o, E =50o三角形部分规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D、E 为 A

6、BC 内两点，求证： AB AC BDDECE. 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于 M、N 在 AMN 中， AM AN MDDENE 在 BDM 中， MBMD BD 在 CEN 中， CNNECE 得AM AN MB MDCNNEMD DENEBDCE AB ACBDDECE 证法（二）延长BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G, 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有，ABAFBDDGGF GFFC GECE DGGEDE 有AB AFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABAC BDDECE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过

7、引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习 ：已知：如图P 为 ABC 内任一点，求证：12(ABBCAC)PAPBPCAB BCAC 规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知BD 为 ABC 的角平分线， CD 为 ABC 的外角 ACE 的平分线，它与BD 的延长线交于D. FGNMEDCBA+=CDEABCBCD2EDCBA-=CDEABCBCD3EDCBA-=CDEABCBCD4EDCBA+=CDEABCBCD5EDCBA+=CDEABCBCD6EDCBANMEDBCA名师资料总结 -

8、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流求证： A = 2D 证明： BD、CD 分别是 ABC 、 ACE 的平分线 ACE =21, ABC =2 2 A = ACE ABC A = 2122 又 D =1 2 A =2D 规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半 . 例：如图， BD 、CD 分别平分 ABC、 ACB， 求证： B

9、DC = 90o12A 证明： BD、CD 分别平分 ABC、 ACB A2122 = 180o2(1 2)= 180o A BDC = 180o(1 2) (1 2) = 180o BDC把式代入式得2(180o BDC)= 180o A 即： 360o2BDC =180o A 2BDC = 180o A BDC = 90o12A 规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图， BD 、CD 分别平分 EBC、 FCB， 求证： BDC = 90o12A 证明： BD 、CD 分别平分 EBC、 FCB EBC = 21、 FCB = 22 21

10、 =A ACB 22 =A ABC 得2（ 1 2）= A ABC ACB A 2（ 1 2）= 180o A （ 1 2）= 90o12A BDC = 180o(1 2) BDC = 180o(90o12A) BDC = 90o12A 规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 例：已知，如图，在ABC 中， C B， AD BC 于 D， AE 平分 BAC. 求证： EAD = 12(C B) 证明： AE 平分 BAC BAE = CAE =12BAC BAC =180o(B C) EAC = 12180o(B C)ADBC

11、 DAC = 90o C EAD = EAC DAC EAD = 12180o(B C) (90o C) 21CEDBADCBA2121FEDCBAEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流= 90o12(B C)90o C = 12(C B) 如果把 AD 平移可以得到如下两图，FDBC 其它条件不变，结论为EFD = 12(C B). 注意：同学们在

12、学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题 . 例：已知 D 为 ABC 内任一点，求证：BDCBAC 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E， BDC 是 EDC 的外角， BDC DEC 同理： DEC BAC BDC BAC 证法（二）：连结 AD ，并延长交BC 于 F BDF 是ABD 的外角， BDF BAD

13、同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线且 1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN = DB ，连结 NE、NF，则 DN = DC 在 BDE 和 NDE 中，DN = DB 1 = 2 ED = ED BDE NDE BE = NE 同理可证： CF = NF 在 EFN 中， ENFNEF BECFEF 规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 AB

14、C 的中线，且 1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：延长ED 到 M，使 DM = DE ，连结 CM、FM BDE 和 CDM 中，BD = CD 1 = 5 ED = MD BDE CDM CM = BE 又 1 = 2， 3 = 4 1 2 3 4 = 180o 3 2 = 90o即 EDF = 90o FDM = EDF = 90oEDF 和 MDF 中ED = MD FDM = EDF DF = DF EDF MDF EF = MF 在 CMF 中， CFCM MF BECFEF （此题也可加倍FD，证法同上）ABCDEFFEDCBAFABCDEDCBA4321NF

15、EDCBAMABCDEF12345名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，求证： AB AC 2AD 证明：延长AD 至 E，使 DE = AD ，连结 BE AD 为 ABC 的中线BD = CD 在 ACD 和 EBD 中BD = CD 1 = 2 A

16、D = ED ACD EBD ABE 中有 AB BEAE ABAC 2AD 规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：aba b = ca b = c d例：已知，如图，在ABC 中， AB AC， 1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证： AB ACPBPC 证明： 截长法： 在 AB 上截取 AN = AC ，连结 PN 在 APN 和 APC 中，AN = AC 1 = 2 AP = AP APN APC PC

17、= PN BPN 中有 PBPCBN PBPCAB AC 补短法： 延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM 在 ABP 和 AMP 中AB = AM 1 = 2 AP = AP ABP AMP PB = PM 又在 PCM 中有 CM PMPC AB ACPBPC 练习 ： 1.已知，在 ABC 中，B = 60o,AD 、 CE 是 ABC的角平分线 ,并且它们交于点O 求证： AC = AE CD 2.已知，如图， AB CD1 = 2 ,3 = 4. 求证： BC = AB CD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全

18、等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知， BE、CD 相交于 F， B = C， 1 = 2，求证： DF = EF 证明： ADF = B 3 AEF = C 4 又 3 = 4 B = C ADF = AEF 在 ADF 和AEF 中ADF = AEF 1 = 2 AF = AF ADF AEF 12EDCBAP12NDCBAABCD21PM4321FEDCBA4321EDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

19、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流DF = EF 规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图RtABC 中， AB = AC ， BAC = 90o，过 A 作任一条直线AN，作 BD AN 于 D，CEAN 于 E，求证： DE = BD CE 证明： BAC = 90o, BDAN 12 = 90o1 3 = 90o 2 = 3 BDAN CEAN BDA = AEC = 90o

20、在 ABD 和 CAE 中，BDA = AEC 2 = 3 AB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AEAD = BD CE DE = BD CE 规律 27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例： AD 为 ABC 的中线，且CFAD 于 F，BEAD 的延长线于E 求证： BE = CF 证明： （略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD ，AD AC 于 A，BCBD 于B 求证： AD = BC 证明：分别延长DA、CB 交于点 E ADAC BCBD CAE = DBE = 90o 在 DBE 和 CA

21、E 中DBE = CAE BD = AC E =E DBE CAE ED = EC ，EB = EA EDEA = EC EB AD = BC 规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB CD，AD BC 求证： AB = CD 证明：连结AC（或 BD）ABCD，AD BC 1 = 2 在 ABC 和 CDA 中，1 = 2 AC = CA 3 = 4 ABC CDA AB = CD 练习 ：已知，如图， AB = DC ，AD = BC ，DE = BF，求证： BE = DF 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为

22、“ 角分垂等腰归 ”.例：已知，如图，在RtABC 中， AB = AC ， BAC = 90o， 1 = 2 ，CEBD 的延长线于E 求证： BD = 2CE 证明：分别延长BA、CE 交于 F 321NEDCBA21DCBAFEOEDCBA4321DCBAEFDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流BECF BEF =BEC = 90o在 BEF

23、和 BEC 中1 = 2 BE = BE BEF =BEC BEF BEC CE = FE =12CF BAC = 90o , BECF BAC = CAF = 90o1 BDA = 90o1 BFC = 90oBDA = BFC 在 ABD 和 ACF 中BAC = CAF BDA = BFC AB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3 B， 1 =2,CDAD 于 D，求证： AB AC = 2CD 规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形 . 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB

24、= DC ，AC = BD ，求证： A = D 证明： （连结 BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC ， A = D 求证： ABC = DCB 证明：分别取AD 、BC 中点 N、M，连结 NB、NM 、NC（过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，1 = 2 ，P为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，AB BC = 2BD ，求证： BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 E PDBC， 1 = 2

25、PE = PD 在 RtBPE 和 RtBPD 中BP = BP PE = PD RtBPERtBPD BE = BD AB BC = 2BD ，BC = CD BD，AB = BE AE AE = CD PEBE，PDBC PEB =PDC = 90o 在 PEA 和 PDC 中PE = PD PEB =PDC 21EFDCBAOABDCBADC21DCBANPEDCBA21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此

26、文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流AE =CD PEA PDC PCB = EAP BAP EAP = 180o BAP BCP = 180o练习： 1.已知，如图， PA、PC 分别是 ABC 外角 MAC 与 NCA 的平分线，它们交于P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证： BP 为 MBN 的平分线2. 已知，如图，在 ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是 ACB 的平分线， D 是 AC 上一点，若 CBD = 20o，求 CED 的度数。规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB

27、= AC ，BDAC 于 D，求证： BAC = 2 DBC 证明： （方法一）作 BAC 的平分线 AE ，交 BC 于 E，则 1 = 2 = 12BAC 又 AB = AC AEBC 2ACB = 90o BDAC DBC ACB = 90o 2 = DBC BAC = 2 DBC （方法二）过A 作 AE BC 于 E（过程略）（方法三）取BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，D 为 BC 中点， DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证： DE = DF 证明：连结AD. D 为 BC 中点，BD = CD 又

28、AB =AC AD 平分 BAC DEAB ，DFAC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，在 BA 延长线和 AC 上各取一点E、F，使 AE = AF ，求证： EFBC 证明：延长BE 到 N，使 AN = AB, 连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC B ACB ACN ANC = 180o2BCA 2ACN = 180o BCA ACN = 90o即 BCN = 90o NCBC AE = AF AEF = AFE 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC

29、=2 AEF = 2 ANC AEF = ANC FMNPBADCEDCBA21EDCBAFEDCBANFECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中， AB = AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 延长线上，且BD = CE ，连结 DE 交 BC 于 F 求证：

30、DF = EF 证明： （证法一）过D 作 DN AE，交 BC 于 N，则 DNB = ACB ， NDE = E，AB = AC ， B = ACB B =DNB BD = DN 又 BD = CE DN = EC 在 DNF 和 ECF 中1 = 2 NDF =E DN = EC DNF ECF DF = EF （证法二）过E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则 EMB = B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中， AB =AC ，E 在 AC 上， D 在 BA 延长线上，且AD = AE ，连结 DE 求证： DEBC 证明：（证法一）过点E

31、作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED = ADE 又 AFEAEF AED ADE = 180o2AEF 2AED = 90o即 FED = 90oDEFE 又 EFBC DEBC （证法二）过点D 作 DNBC 交 CA 的延长线于N， （过程略）（证法三）过点A 作 AM BC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形- 等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC ， BAC = 80o,P 为形内一点， 若 PBC = 10oPCB = 30o求 PAB的度数

32、. 解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结CE 则 BAE =ABE = 60oAE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC = ACB AEC =ACE EAC =BAC BAE = 80o60o = 20o ACE = 12(180o EAC)= 80o ACB= 12(180o BAC)= 50o BCE =ACE ACB = 80o50o = 30o PCB = 30o PCB = BCE ABC =ACB = 50o, ABE = 60o EBC =ABE ABC = 60o50o =10o PBC = 10o21NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCB

33、APECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 PBC = EBC 在 PBC 和 EBC 中PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBC EBC BP = BE AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40o PAB = 12(180o ABP)= 70o解法二：以 AC 为一边

34、作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC ， BEC =EBC = 60oEB = EC E 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是BC 的中垂线EABC AEB = 12BEC = 30o =PCB 由解法一知： ABC = 50o ABE = EBC ABC = 10o=PBC ABE = PBC,BE = BC, AEB =PCB ABE PBC AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 50o10o = 40o PAB = 12(180o ABP) = 12(180o40

35、o)= 70o规律 35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中， 1 = 2， ABC = 2 C，求证： ABBD = AC 证明：延长AB 到 E，使 BE = BD ，连结 DE 则 BED = BDE ABD = E BDE ABC =2 E ABC = 2 C E = C 在 AED 和 ACD 中E = C 1 = 2 AD = AD AED ACD AC = AE AE = AB BE AC = AB BE 即 AB BD = AC 平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中， BDAC 于 D， BAC = 2 DBC 求

36、证： ABC = ACB 证明：作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则 BAE = CAE = DBC BDAC CBD C = 90o CAE C= 90o AEC= 180o CAEC= 90o21EDCBADECBAPECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流AEBC ABC BAE = 90o CAE C= 90oBAE = CAE A

37、BC = ACB 加倍小角例：已知，如图，在ABC 中， BDAC 于 D， BAC = 2 DBC 求证： ABC = ACB 证明：作 FBD =DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例： 已知，如图，ABC 中， AB = AC ， BAC = 120o，EF 为 AB 的垂直平分线， EF 交 BC 于F，交 AB 于 E 求证： BF =12FC 证明：连结AF，则 AF = BF B =FAB AB = AC B =C BAC = 120o B =CBAC =12(180oBAC) = 30o FAB = 30o

38、 FAC =BAC FAB = 120o30o =90o又 C = 30oAF = 12FC BF =12FC 练习：已知，如图，在 ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点 D，DM AB 于 M，DNAC延长线于 N 求证： BM = CN 规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在 ABC 中，B =2C，ADBC 于 D 求证： CD = ABBD 证明： （一）在 CD 上截取 DE = DB ，连结 AE，则 AB = AE B =AEB B = 2C AEB = 2 C 又 AEB = C EAC C =EAC AE = CE 又

39、CD = DE CE CD = BD AB （二）延长 CB 到 F，使 DF = DC ，连结 AF则 AF =AC （过程略）规律 38.有中点时常构造垂直平分线. FDCBAFECBANMEDCBAEDCBAFDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例：已知，如图，在ABC 中， BC = 2AB, ABC = 2 C,BD = CD 求证： A

40、BC 为直角三角形证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE， C =EBC ABC = 2 C ABE = EBC BC = 2AB ，BD = CD BD = AB 在 ABE 和 DBE 中AB = BD ABE = EBC BE = BE ABE DBE BAE = BDE BDE = 90o BAE = 90o即 ABC 为直角三角形规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在ABC 中， A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线求证： BE2AE2 = AC2证明：连结CE，则 BE = CE

41、A = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2练习：已知，如图，在ABC 中， BAC = 90o，AB = AC ，P 为 BC 上一点求证： PB2PC2= 2PA2规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在ABC 中， B = 45o，C = 30o，AB =2，求 AC 的长 . 解：过 A 作 ADBC 于 D B BAD = 90o， B = 45o， B = BAD = 45o，AD = BD AB2 = AD2BD2，AB =2AD = 1 C = 30o，ADBC AC = 2AD = 2 四边形

42、部分规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知 , ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点O， AOB 的周长比 BOC 的周长多 8cm，求这个四EDCBAEDCBADCBAPCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流边形各边长 . 解：四边形ABCD 为平行四边形AB = CD ，AD = CB ，AO

43、= CO AB CDDA CB = 60 AOAB OB(OBBCOC) = 8 AB BC = 30 ，ABBC =8 AB = CD = 19 ，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm. 规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上）规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtABC， ACB = 90o，CDAB 于 D，AE 平分 CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FHAB 交 BC 于H 求证： CE = BH 证明：过 F 作 FPBC 交 AB 于 P

44、，则四边形FPBH 为平行四边形 B =FPA，BH = FP ACB = 90o，CDAB 5CAB = 45o， BCAB = 90o 5 =B 5 =FPA 又 1 =2，AF = AF CAF PAF CF = FP 4 =1 5， 3 =2 B 3 =4 CF = CE CE = BH 练习：已知，如图，AB EFGH，BE = GC 求证： AB = EF GH 规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段 . 例：已知，如图，在 ABCD 中， AB = 2BC ，M 为 AB 中点求证： CMDM 证明：延长DM 、CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形A

45、D = BC ，AD BC A = NBA ADN = N 又 AM = BM AMD BMN AD = BN BN = BC AB = 2BC ，AM = BM BM = BC = BN 1 =2， 3 =N 12 3 N = 180o， 13 = 90oCM DM 规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图： OE = OF 规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个 端 点 的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 54321PHFEDCBAGHFEBAC321NMBADCFEODCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

46、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流如图： SBEC = 12S ABCD规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图： SAOB SDOC = SBOCSAOD = 12S ABCD 规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线 段的平方和相等 . 如图： AO2OC2 = BO2 DO2 规律

47、49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形GHMN 是矩形（规律 45规律 49 请同学们自己证明）规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图， E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点， 且 BE = ED ，P 为对角线BD 上一点， PFBE 于 F，PGAD 于 G 求证： PFPG = AB 证明：证法一：过P 作 PHAB 于 H，则四边形AHPG 为矩形AH = GP PHAD ADB = HPB BE = DE EBD = ADB HPB = EBD 又 PFB =BHP = 90o PFB BHP HB = FP AHHB = PG

48、PF 即 AB = PG PF 证法二：延长GP 交 BC 于 N，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）规律 51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高例：已知，如图 ,若从矩形ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与 BAD 的平分线交于点E 求证： AC = CE 证明：过 A 作 AFBD，垂足为 F，则 AFEG FAE = AEG 四边形 ABCD 为矩形 BAD = 90oOA = OD BDA = CAD AFBD ABD ADB = ABD BAF = 90o BAF =ADB = CAD AE 为 BAD 的平分线 BAE = DAE BAE BAF =DAE DAC

49、 即 FAE =CAE CAE =AEG AC = EC 作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时NPHGFEDCBAGOFEDCBAEDCBAODCBANMHGDCBAADCBOOBCDA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例：已知，如图，AD 、BE 是 ABC 的高，F 是 DE 的中点， G是 AB 的中点求证： GFDE 证明：连结G

50、E、GD AD、BE 是 ABC 的高， G 是 AB 的中点GE = 12AB，GD = 12AB GE = GD F 是 DE 的中点GFDE 有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在ABC 中， D 是 BC 延长线上一点，且DA BA 于 A，AC = 12BD 求证： ACB = 2 B 证明：取 BD 中点 E，连结 AE ，则 AE = BE = 12BD 1 =B AC = 12BD AC = AE ACB = 2 2 =1 B 2 = 2B ACB = 2 B 规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等. 例：已知，如图，过正方形ABCD 对角线 BD