2022年同方专转本高等数学汇编 .pdf

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1、江苏 2001 年“专转本”统一考试高等数学试卷及答案一、选择题1 下列极限正确的是（C ）Aexxx11lim0；Bexxx111lim；11sinlimxxx；11sinlim0 xxx不定积分dxx211（ D ）211x；Cx211；xarcsin；Cxarcsin若)()(xfxf，且在),0(内：0)( xf，0)( xf，则)(xf在)0,(内必有：（）0)( xf，0)(xf；0)( xf，0)(xf；0)( xf，0)(xf；0)( xf，0)(xf4定积分201dxx（D ）0；2；1；15方程xyx422在空间直角坐标系下表示：（）圆柱面；B点；C圆；D旋转抛物面二、填空

2、题6设参数方程为22ttytext；则0tdxdy2 7微分方程0136yyy的通解为：)2sin2cos(213xCxCeyx其中21,CC是任意常数8交换积分次序后202),(xxdyyxfdx4222202),(),(yyydxyxfdydxyxfdy9函数yxz的全微分dyxxdxyxdyyzdxxzdzyyln110设( xf为连续函数，则564)()(223dxxxxfxf原式 =223)()(dxxxfxf224dxx224dxx564 （其中xfxf是偶函数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

3、心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 三、计算题11已知5cos)21ln(arctanxxy，求dy。dxxxdyxx)212ln22111(12计算31sincos2cos2sin22cossin21sin2020200222limlimlimxxxxxxxxexxxxexxdtexxxxxxtx（第一步用等量替换也行，那样更简单些）13求函数)1(sin)1()(2xxxxxf的间断点，并指出其类型。（1x是第二类无穷间断点；0 x是第一类跳跃间断点；1x是第一类可去间断点）14已知xyxyln2，求11yxdxdy解：两边求导2

4、ln12xyxyyyy解得xyxyyyxy2222ln故11yxdxdy1 15计算dxeexx12解：dxeexx12dxeeeexxxx12dxeeeexxxx1)(2=dxexdxeexx1Ceexx)1ln(1621102dxxk，求常数k解：由212arctan1002kxkdxxk，得1k17求微分方程xxyysectan，满足初始条件00 xy的特解解：xCxCxdxxxCdxxeeCdxxeeyxxdxxdxxcoscosseccos1secseccoslncoslntantanxxyCCyxcos00cos0000名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

5、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 18计算二重积分dxdyyD2sin，其中D是由直线2,3,1yxx，及1xy所围成的区域解：原式 =2021120224cos1sinsindyyydxdyyy19已知曲线)( xfy经过原点， 并且在原点的切线平行于直线032yx，若baxxf23)(，且)(xf在1x处取得极值，试确定ba,的值，并求出函数)( xfy的表达式。解： 1） “过原点的切线平行于032yx” ，2,2)3()(020bbaxxfxx. 2） “)( xf在

6、1x处取得极值” （连续、可导） ，0)3()(121xxbaxxf，3/2a22)(2xxf，xxyCxxdxxxfyy232232)22()(30)0(3220设),(2yxxfz，其中，f具有二阶连续偏导数，求yxzxz2,解：令yxvxu,2，则),(vufzyvufxvufxzvu1),(2),(vufyvufxvufyxyyvufyyxvufvufvufyxvufxyvufxvufyxzvvvuvvvvvuuuuvyvyu,211,1,0,0),()(,(21),(2),(23222221过)0,1(P作抛物线2xy的切线，求（ 1）切线方程；（2）由抛物线、切线，以及x 轴所围平

7、面图形的面积； （3）该平面图形分别绕x 轴、y轴旋转一周的体积。解： 1）由已知条件，可设切线方程为，)1( xky2）将切线方程与抛物线方程联立，消y，得：0)21()12(222kxkx3）由于切点是唯一的交点，上述关于x 的方程，必须有重根，即：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 21,0)21(4)12(222kkk（舍去负号）得切线方程为：)1(21xy4）解出切点坐标： （3， 1） ，沿y轴积分，则所

8、求面积A为：102) 12()2(dyyyA=31或32212)1(21)1(21dxxxdxxA=315) 该平面图形分别绕x 轴旋转一周的体积为：62)1(21313222dxxdxxVx6）该平面图形分别绕y轴旋转一周的体积为：56)12()2(10222dyyyVy（本题一开始不设斜率，设切点坐标也可以）22设函数00)()(xaxxxfxg，)( xf具有二阶连续导数，且0)0(f，（1）求 a ，使)(xg在0 x处连续；（2）求)0(g解： 1)由)(xg在0 x处连续axgx)(lim0，)( xf具有二阶连续导数及0)0(f得xxfx)(lim000)(lim0 xxfxaf

9、xfxfx)0(00)(lim0即0fa2）由)( xf具有二阶连续导数，0)0(f及xxfx)(lim0afxfxfx)0(00)(lim0可导出)0(212lim2limlim1lim/)(lim)0()0(lim)0(00202000fxxxfxxfxfxxfxxfxxfxxfxxfxaxxfxgxggxxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 23设函数)( xf在),0(c上具有严格单调递减的导数)(

10、xf，)(xf在0 x处右连续且0)0(f，试证，对于满足不等式cbaba0的ba,，恒有下式成立：)()()(bafbfaf证：1） “)( xf是),0(c上严格单调递减的导数，)(xf在0 x处右连续”)( xfy在),0c上是凸的。于是，当)1,0(p时，),0,21cxx满足：)1()()1()(2121xppxfxfpxpf（*）2）取baap，baxx21;0，满足（ * ） ，代入得：(*)()()(0)()0(bfbafbabbababbaafbafbabfbaa3）类似地，取babp，baxx21;0，得：*)*(*)()()(0)()0(afbafbaababaababf

11、bafbaafbab4）综合（ * ） （* ）得：)()()(bafbfaf关于本题的另两种证明：其一证明：设)()()(xfxafxF，则)( xF在闭区间,0b上连续，在开区间),0(b内可导由)( xf在),0(c上严格单调递减，得0)()()(xfxafxF)0(bx于是)(xF在,0b上单调递减，知)0()(FbF即)0()()()(fafbfbaf而0)0(f，故)()()(bafbfaf其二证明：由拉格朗日定理知：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页

12、，共 6 页 - - - - - - - - - )(11)()()(babfabfbaf，)0(22)()0()(afafaf由)( xf在),0(c上严格单调递减，知)()(21ff而0)0(f，故)()()(bafbfaf24一租赁公司有40 套设备要出租。当租金每月每套200 元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加 10 元时， 租出的设备就会减少1 套；而对于租出的设备，每月需要花20 元的维持费。 问租金定为多少时，该公司可获最大利润。解：设每月每套租金为（x10200） 。则，租出设备的总数为， （x40） ；每月的毛收入为，)40)(10200(xx；维护成本为20)40(x。于是，利润为：)400(10220200,7)40)(10180()(2xxxxxxL110)(xxL比较0 x，11x，40 x三处的利润值，因为)40()0()11(LLL所以，租金为310)1110200(元时，利润最大。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -