2022年双曲线及其标准方程习题归类 .pdf

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1、学业水平训练 1动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为2，则点 P 的轨迹是 () A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线解析： 选 D.依题意 |PM|PN|2|MN|，所以点 P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线2若方程x210ky25k1 表示双曲线，则k 的取值范围是 () A(5,10) B(， 5) C(10， ) D(， 5)(10， ) 解析： 选 A.由题意得 (10k)(5k)0，解得 5k10. 3以椭圆x23y241 的焦点为顶点， 以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是() A.x23y21 By2x231 C.x23y241 D.y23x

2、241 解析： 选 B.椭圆x23y241 的焦点为F1(0,1)，F2(0， 1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y2x231. 4在方程 mx2my2n 中，若 mn0，则方程表示的曲线是() A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在x 轴上的双曲线C焦点在y 轴上的椭圆D焦点在y 轴上的双曲线解析： 选 D.将方程化为y2nmx2nm 1. 5若点 M 在双曲线x216y241 上，双曲线的焦点为F1，F2，且 |MF1|3|MF2|，则 |MF2|等于 () A2 B4 C8 D12 解析： 选 B.双曲线中a21

3、6，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又 |MF1|3|MF2|，所以 3|MF2|MF2|8，解得 |MF2|4. 6设 m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y2mx291 的一个焦点，则m_. 解析：由点 F(0,5)可知该双曲线y2mx291 的焦点落在y 轴上，所以 m0，且 m952，解得 m16. 答案： 16 7已知双曲线的焦点分别为(0， 2)、(0,2)，且经过点P(3，2)，则双曲线的标准方程是 _解析： 由题知 c2，又点 P 到(0， 2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a，2a|3022 2 2302 222|2， a1， b2c2a23.又焦点在

4、y 轴上，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 双曲线的方程为y2x231. 答案： y2x231 8在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24y2121 上一点 M 的横坐标为3，则点 M到此双曲线的右焦点的距离为_解析： 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为 (3，15)或(3，15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案： 4 9求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的焦点在

5、y 轴上，并且双曲线过点(3， 42)和(94，5)(2)与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(32，2)解： (1)由已知，可设所求双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则32a29b21，25a28116b21，解得a216，b29，所以双曲线的方程为y216x291. (2)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0， b0)由题意知 c25. 因为双曲线过点(3 2，2)，所以322a24b21. 又因为 a2b2 (2 5)2，所以 a212， b28. 故所求双曲线的方程为x212y281. 10焦点在 x 轴上的双曲线过点P(4 2， 3)，且点 Q(0,5)与两焦点

6、的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解： 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0， b0)， F1(c,0)，F2(c,0)因为双曲线过点P(42， 3)，所以32a29b21.又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以 QF1 QF20，即 c225 0. 解得 c225.又 c2a2b2，所以由可解得a216 或 a250(舍去 )所以 b29，所以所求的双曲线的标准方程是x216y291. 高考水平训练 1已知双曲线x26y231 的焦点为F1，F2，点 M 在双曲线上，且MF1x 轴，则 F1到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

7、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 直线 F2M 的距离为 () A.3 65B.566C.65D.56解析： 选 C. 不妨设点 F1(3,0)，容易计算得出|MF1|3662，|MF2|MF1|2 6. 解得 |MF2|526. 而|F1F2| 6，在直角三角形MF1F2中，由12|MF1| |F1F2|12|MF2| d，求得 F1到直线 F2M 的距离 d 为65. 2已知双曲线的两个焦点F1(5，0)，F2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF1 PF2

8、0，|PF1| |PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析： 由题意可设双曲线方程为x2a2y2b21(a 0，b0)由PF1 PF20，得 PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即 |PF1|2|PF2|220. 根据双曲线定义有|PF1|PF2| 2a. 两边平方并代入|PF1| |PF2| 2 得202 24a2，解得 a24，从而 b2541，所以双曲线方程为x24y21. 答案：x24y21 3设圆 C 与两圆 (x5)2y24，(x5)2y24 中的一个内切，另一个外切求C的圆心轨迹L 的方程解： 设两圆 (x5)2y24，(x5)2y24 的圆心分别为F1

9、(5，0)，F2(5，0)，两圆相离，由题意得 |CF1|CF2| 425|F1F2|，从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线，且 a2，c5，所以 b52 221，所求轨迹 L 的方程为x24y21. 4如图，若F1，F2是双曲线x29y216 1的两个焦点(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点 M 到另一个焦点的距离；(2)若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1| |PF2|32，试求 F1PF2的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4

10、 页 - - - - - - - - - 解： 双曲线的标准方程为x29y216 1，故 a3，b4，ca2 b25. (1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x，则 |16x|6，解得 x10 或 x22. 故点 M 到另一个焦点的距离为10 或 22. (2)将|PF2|PF1|2a 6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| 36，|PF1|2|PF2|236 2|PF1| |PF2|36232100. 在 F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1| |PF2|1001002|PF1| |PF2|0， F1PF290 ，SF1PF212|PF1| |PF2|123216. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -