考研数学三：公式大全.doc

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1、专题八：公式大全（一）最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。终于又下定决心，要好好整理一下咯！下面将收录，我认为比较重要的部分公式。有些考的少，或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。（二）1.当x0时，xsinxtanxarcsinxarctanxln1+xex-1当x0时，ax-1xlna （用e的等价变形来记） 1-cosx12x21-cos2x2x2 n1+x-11nx1+x-1x （用1未定式来记） loga(1+x)1lnax （用换底公式来记）2. 1未定式通用公式：limf(x)g(x)=elimg(x)fx-13

2、.泰勒公式：fx=fx0+fx0x-x0+f (x0)2!x-x02+f(n)x0n!x-x0n+f(n+1)(n+1)!(x-x0)n+1 （在x与x0之间）麦克劳林公式：fx=f0+f0x+f (0)2!x2+fn(0)n!xn+fn+1x(n+1)!xn+1（01）4.五个基本初等函数泰勒公式：(1)ex=1+x+12!x2+1n!xn+ex(n+1)!xn+1(2)sinx=x-13!x3+15!x5-+-1n-112n-1!x2n-1+-1ncosx2n+1!x2n+1(3)cosx=1-12!x2+14!x4-+(-1)n12n!x2n+-1n+1cosx2n+2!x2n+2(4)

3、1+x=1+x+-12!x2+-1-n+1n!xn+-1-nn+1!1+x-n-1xn+1(5)ln1+x=x-12x2+13x3-+-1n-11nxn+-1nxn+1n+11+xn+15.定积分重要公式：（1）若f(x)在-a,a上连续，则-aaf(x)dx=0afx+f(-x)dx（2）若f(x)在0,a上连续，则0af(x)dx=120afx+f(a-x)dx（3）0xf(sinx)dx=20fsinxdx=02f(sinx)dx6.几个重要的广义积分：（1）-+e-x2dx= （主要记这一个，以下的几个自己推）（2）0+e-x2dx=2（3）-+e-x22dx=2（4）0+e-x22d

4、x= 2 7.6种常见的麦克劳林展开式：（1）ex=n=0xnn! x-,+（2）sinx=n=0-1nx2n+12n+1! x-,+（3）cosx=n=0-1nx2n2n! x-,+（4）ln1+x=n=0(-1)nxn+1n+1 x(-1,1（5）(1+x)a=n=0-1-n+1n!xn x(-1,1)特别：11-x=n=0xn x(-1,1) 11+x=n=0-1nxn x(-1,1)（6）arctanx=n=0-1nx2n+12n+1 x-1,18.微分方程与差分方程的6大类：（1）一阶齐次线性微分方程 y+P(x)y=0 通解：y=Ce-P(x)dx (C=eC1)（2）一阶非齐次线

5、性微分方程 y+Pxy=Q(x) 的通解：y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C)（3）二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 (p,q为常数)的通解：由特征方程 r2+pr+q=0,解出r1,r2i. r1,r2为两个不相等的实根：y=C1er1x+C2er2xii. r1,r2为两个相等的实根：y=(C1+C2x)er1xiii. r1,r2为一对共轭复根，r1=+i,r2=-i (=-p2,=4q-p22)：y=exC1cosx+C2sinx（4）二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x) 的特解：若fx=Pm(x)ex，则特解为 y*=xkQm(x)ex，i.若不

6、是特征方程的根，则k=0ii.若是特征方程的单根，则k=1iii.若是特征方程的重根，则k=2若fx=exPlxcosx+Pnxsinx，则特解为 y*=xkexRm(1)xcosx+Rm(2)xsinx (m=max(l,n)i.若+i（或 -i）不是特征方程的根，则k=0ii.若+i（或 -i）是特征方程的根，则k=1（5）一阶常系数齐次线性差分方程 yx+1-ayx=0的特征方程为：-a=0通解为： Yx=Cax （C为任意常数）（6）一阶常系数非齐次线性差分方程 yx+1-ayx=f(x)的特解为：若fx=Pn(x)，则特解为：yx*=xkQn(x)i.若1不是特征方程的根，则k=0i

7、i.若1是特征方程的根，则k=1若fx=b1cosx+b2sinx，则特解为：yx*=Acosx+Bsinx （A,B为待定系数）9.条件概率公式：PBA=PABPA10.全概率公式：PA=PAB1PB1+PAB2PB2+PABnPBn贝叶斯公式：PBiA=PABiPBij=1nPABjPBj i=1,2,n常用的两个公式：PA=PABPB+PABPBPBA=PABPBPABPB+PABPB11. 随机变量分布及其数字特征： 分布及数字征离散型分布律期望方差（0-1）分布PX=k=pk1-p1-kpp(1-p)二项分布PX=k=Cnkpkqn-knpnpq几何分布PX=n=pqn-11pqp2

8、超几何分布PX=k=CMkCN-Mn-kCNnnMNnMN1-MNN-nN-1泊松分布PX=k=kk!e- 分布及数字征连续型概率密度分布函数期望方差均匀分布fx=1b-a,axb0,其他Fx=0,xax-ab-a,ax00,x0Fx=0,x01-e-x,x0112一般正态分布fx=12e-x-2222标准正态分布x=12e-x22x=12-xe-t22dt0112.边缘分布公式：连续型随机变量边缘分布函数：FXx=Fx, , FYy=F,y离散型随机变量边缘分布函数：不需要记，明白意思就能自己推连续型随机变量概率密度：fXx=-+fx,ydy , fYy=-+fx,ydx离散型随机变量概率密

9、度：不需要记，明白意思就能自己推13.两个随机变量的函数分布：i.Z=X+Y的分布若X与Y不独立，则 fX+Yz=-+f(z-y,y)dyfX+Yz=-+f(x,z-x)dx若X与Y独立，则 fX+Yz=-+fXz-yfY(y)dyfX+Yz=-+fXxfY(z-x)dxii.Z=YX 的分布；Z=XY 的分布若X与Y不独立，则 fYXz=-+xfx,xzdxfXYz=-+1xfx,zxdx若X与Y独立，则 fYXz=-+xfXxfY(xz)dxfXYz=-+1xfX(x)fYzxdxiii.M=maxX,Y 及 N=minX,Y 的分布，设X和Y相互独立Fmaxz=FX(z)FYzFminz

10、=1-1-FXz1-FYz14.期望及方差公式：（1）离散型随机变量期望：EX=k=1xkpk（2）连续型随机变量期望：EX=-+xf(x)dx（3）设Y是X的函数Y=g(X)，则EY=Eg(X)=k=1g(xk)pkEY=Eg(X)=-+g(x)f(x)dx（4）设Z是二维随机变量(X,Y)的函数 Z=g(X,Y)，则EZ=Eg(X,Y)=-+-+gx,yf(x,y)dxdyEZ=Eg(X,Y)=j=1i=1gx,ypij（5）期望的性质：i.EX+Y=EX+E(Y)ii.若X,Y不相关，则：EXY=EXE(Y)iii.附加公式：EX+Y=-+-+(x+y)f(x,y)dxdyEXY=-+-

11、+xyf(x,y)dxdy（6）方差定义式：DX=EX-EX2具体写成：DX=k=1xk-EX2pkDX=-+xk-EX2fxdx（7）方差计算式：DX=EX2-E2X（8）方差的性质：i. DCX=C2DX , DX+C=DXii. DXY=DX+DY2Cov(X,Y)iii.若X,Y不相关，则：DXY=DX+DY（9）切比雪夫不等式：设随机变量X具有期望 EX=，方差 DX=2，则对任意正数有：PX-22 或 PX-1-22（10）协方差定义式：CovX,Y=EX-EXY-EY（11）协方差计算式：CovX,Y=EXY-EXEY（12）协方差的性质：i. CovaX,bY=abCovX,Y

12、ii. CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y（13）相关系数：XY=CovX,YDXDY从此处开始以下公式共用一个条件：X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本。15.（1）当n充分大时：k=1nxk-nnN(0,1)（2）当n充分大时，上式也可也写成：X-nN0,1 或 XN(,2n)16.（1）样本均值：X=1ni=1nXi（2）样本方差：S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX216.2分布：总体XN(0,1)，则2=X12+X22+Xn2 记作：22(n)E(2)=n , D2=2n2n1+2n2=2n1+n217.t分布：设 XN(0,1)，Y

13、2(n)，则t=XYn记作：tt(n)若 tt(n)，则：t2F1,n18.F分布：设 X2(n1)，Y2(n2)，且X与Y相互独立，则F=Xn1Yn2 记作：FFn1,n2若 FFn1,n2，则 1FFn2,n1特例：若XN(0,1)，YN(0,1) 则 X2Y2F(1,1)19.九个最常见的统计量：EX= , DX=2n ,ES2=2XN,2n , X-n=nX-N(0,1)i=1nXi-222(n)n-1S22=i=1nXi-X22(n-1)X-Sn=nX-St(n-1)nX-2S2F1,n-120.施密特正交化公式：1=12=2-1,21,113=3-1,31,11-2,32,22r=r-1,r1,11-2,r2,22-r-1,rr-1,r-1r-1