西南交大 数值分析题库.doc

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1、考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。非线性方程求解：方程的近

2、似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Newton法与弦截法、牛顿局部收敛性、Newton收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、 求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。解线性方程组迭代

3、法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；He

4、rmite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。曲线拟合和函数逼近：最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见函数类；正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。数值积分与微分：求积公

5、式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生（Simpson）公式、几种低价牛顿一柯特斯求积公式的余项；牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断误差、复化Simpson公式及其截断误差、龙贝格（Romberg）求积法、外推加速法、高斯型求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。常微分方程数值解：常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格库塔法

6、、阿当姆斯方法。本套题库均采用闭卷考试，卷面总分为100分。试题形式分为判别正误、多项选择、填空、解答和证明等多种题型。其中判断题、多项选择题和填空题覆盖整个内容范围，题量多而广，重点集中在基本概念、公式和方法的构建与处理思想等方面，此类题型主要用于考查学生对整体内容的理解与掌握情况；解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过程，主要考查学生对主要计算技术、技巧和方法理解与掌握情况；证明题主要集中在主要的计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用能力。本课程的考试方法与要求：期末闭卷考试，按时完成上机习题。学习合格条件：考试卷面成绩60且上机习题符合要求，二者缺一

7、不可。综合成绩：原则上=卷面成绩，但可参考上机习题完成情况作微调。填空题 1 绪论(1). 要使的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_4_位有效数字。0.410, a1=4, er10-(n-1) 0.1% ，故可取n4, 即4位有效数字。(2). 要使的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_4_位有效数字,此时的绝对误差限为 (3). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|(4). 计算 f=(-

8、1)6 , 取1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：_C_.(A) , (B) (3-2)2, (C) , (D) 99-70(5). 要使的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_位有效数字？0.410, a1=4, er10-(n-1) 0.1%故可取n3.097, 即4位有效数字。(6). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u=. u=(7). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=, 请给出一个精度较高的算式u= . u=(8). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2

9、*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为: e | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|； 2 方程根(9). 设迭代函数j(x)在x*邻近有r（1）阶连续导数，且x* = j(x*)，并且有j(k)(x*)=0 (k=1,r-1)，但j(r) (x*)0，则xn+1=j(xn)产生的序列 xn 的收敛阶数为_r_(10). 称序列xn是p 阶收敛的如果(11). 用牛顿法求 f(x)=0 的n重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0的单根，u(x)=(12). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x

10、0= 1.5, 则x1= _ 解 x1=1.5970149(13). 用牛顿法解方程的迭代格式为_解 (14). 迭代过程收敛的充分条件是 1._(15). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= 1.5970149(16). 用牛顿法解方程的迭代格式为_(17). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= _ 解 x1=1.5970149(18). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法3方程组(19). 矩阵的 LU 分解中L是一个

11、 _为单位下三角阵，而U是一个上三角阵_。(20). 设线性方程组的系数矩阵为A=,全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或8_，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 _. 列主元消元法的第一次主元素为 _8_；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_; (21). 在方阵A的LU分解中, 方阵A的所有顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能_(能,不能)进行LU分解；非奇异矩阵_不一定_(一定，不一定)能进行LU分解。(22). 设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一).(23). 设，为使A可分解为A=

12、LLT，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a的取值范围是 ，取a=1，则L= 。(24). 解 ，4迭代(1). ，则 ， ， ；答：4，3.6180340，5；(2). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_是_收敛（填“是”或“不”）。(3). 给定方程组记此方程组的Jacobi迭代矩阵为BJ=(aij)33，则a23= -1； , 且 相应的Jacobi迭代序列是_发散_的。(4). 设，则关于的 1 , (5). ，则(6). Rn 上的两个范数|x|p, |x|q等价指的是_$C,DR,_C_|x|q _|x|pD |x|q _； Rn 上的两个范数_一定_是等价的。（

13、选填“一定”或“不一定”）。(7). ，则 19 ,13_，_12 ；(8). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_收敛（填“收敛”或“发散”），(9). 则 ， ， 解 (10). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_收敛（填“是”或“不”）， 解 （3）因的Jacobi迭代矩阵，故Jacobi迭代是收敛的，(11). 已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是_，高斯-塞德尔法的迭代格式是_； 解 (12). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_收敛（填“是”或“不”），解 因的Jacobi迭代矩阵，故Jacobi迭代是收敛的，(13). 已知方程组，其雅可比法的迭代

14、矩阵是_，高斯-塞德尔法的迭代格式是_； 解 (14). ，要使，a应满足_；解 (15). 则 ， ， 。，则 ， 。解 。 (16). 设若,则矩阵A的1-范数 4 ，cond1(A)= 16 。(17). 如果线性方程组用Jacobi迭代法，其迭代矩阵满足。如果用Gauss-Seidel迭代法解此线性方程组，则方法 一定 (一定,不一定)收敛(18). 设 ，则 2 (19). ，则 ， ， ；答案：（1）19，13，12；(20). 方程组用超松驰法求解时，迭代矩阵为,要使迭代法收敛，条件0w2是 必要条件 (充分条件、必要条件、充要条件)；如果是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且

15、仅当w在区间 (0,2) 时。(21). 给定方程组，其Jacobi迭代格式的迭代矩阵为 当 1 时，Jacobi迭代格式收敛；其Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵为 ，当 1 时Gauss-Seideli迭代格式收敛。(22). 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法_是_收敛（填“是”或“不”）(23). 已知,则_6_ ，_7_ , A的谱半径(24). （1）.设，则关于的 1 , , 。(25). 则 ， ， 解 (26). 已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是_，高斯-塞德尔法的迭代格式是_； 解 设线性方程组的系数矩阵为A=,列主元消元法的第一次主元素为 (13) ；

16、第二次主元素为(用小数表示) (14) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)44，则a23= (15) , . (13) -8 ; (14) 7 .5; (15) -17/4;(27).5插值(28). 在等式中, 系数ak与函数f(x)有 关。（限填“有”或“无”）(29). 设lk(x)是关于互异节点x0, x1, xn, 的Lagrange 插值基函数，则 0 m=1,2,n(30). 用个不同节点作不超过次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式 (相等, 不相等)。(31). 函数 与函数中,是三次样条函数的函数是 _f_ ，另

17、一函数不是三次样条函数的理由是 _二阶导不连续_ 。a) 设Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是 x2-3x+1 。 函数 与函数中,是三次样条函数的函数是 ，另一函数不是三次样条函数的理由是 不满足具有二阶连续导数 。(32). 令f(x)=ax7+ x4+3x+1, 则f20, 21,27= a ；f20, 21,28= 0(33). 设 (i=0,1,n)，则 _x_ , 这里（xixj,ij, n2）。(34). 牛顿插商与导数之间的关系式为：(35). 设x0, x1,x2是区间a, b上的互异节

18、点，f(x)在a, b上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： R2(x)= (36). 在等式中, 系数ak与函数f(x)_ 无_关. (37). 高次插值容易产生_龙格（Runge）现象。(38).(39). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是 _ x2-3x+1_ 。(40). 令f(x)=x7+ x4+3x+1, 则f20, 21,28 =_0_(41). 确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要_4n_个(42). 若 f (x) 充 分 光 滑， 若2 n+1 次 多

19、项 式 H2n+1(x) 满 足H2n+1(xi)= f (xi), ,则称H2n+1(x)是f (x)的 _ _ Hermite插值_多项式，且余项R（x）=f (x)H2n+1(x)= _；(43). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是 _ 。解 （4）y=x2-3x+1(44). 用个作不超过次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)6拟合(1). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 _法方程组病态_问题。(2).

20、 试确定0,1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？答： p(x)=(3/2)x, ; 唯一。(3). 设f(x)Ca,b， f(x)的最佳一致逼近多项式是_一定_存在的。(4). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数,在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数. 无穷范数； |f|；2-范数(5). 若j0(x), j1(x), jn(x)是a,b上的正交族。为f(x)的最佳平方逼近。系数ak=(6). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 无穷 范数. 在函数的最佳

21、平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 2 范数. (无穷范数；2-范数，1-范数)(7). 设f(x)=2x4在-1,1上的不超过3次最佳一致逼近多项式P(x)= 2x2-1/4 。(8). 采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.(9). 在函数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. (10). 函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的 (11) 范数.(11). 函数f(x)=|x| 在-1,1的，次数不超过一次的最佳平方逼近多项式是 。 7积分(45). Gauss型求积公式不是 插值型求积公式。（限

22、填“是”或“不是”）(46). n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次(47). 设称为柯特斯系数 则=_1_(48). 为辛卜生（Simpson）公式具有_3_次代数精度。(49). 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。(50). 设公式 为插值型求积公式， 则, 且=b-a(51). n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n1次。(52). Gauss点与积分区间_无关_但与被积函数_有关。(53). 当常数A= ，B= ， 时，数值积分公式是Gauss型积分公式(54). Simpsons数值求积公式具有 _3_次代数精度，用于计算所产

23、生的误差值为_；(55). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到_n_阶，至多可达到_2n+1_阶；(56). 勒让德（Legendre）多项式是区间_-1,1_上，带权_1_正交的正交多项 (3) 用梯形公式计算积分 9.219524E-003:此值比实际值 小 (大,小)(57). 用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则用复化梯形公式计算积分此实际值 大 (大，小)。(58). 若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Sim

24、pson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。(59). Simpsons数值求积公式具有 _3_次代数精度，用于计算所产生的误差值为_；(60). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到_n_阶，至多可达到_2n+1_阶；(61). 若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值(62). 在以为内积的空间C0,1中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 。(63). Simpsons数值求积公

25、式具有 _次代数精度，用于计算所产生的误差值为_；(64). 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达到_阶，至多可达到_阶；8微分方程(25). 欧拉预报-校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是 阶方法。，此方法是 2 阶方法。(26). 称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(hp+1)。 (27). 求解微分方程数值解的Euler法的绝对稳定区间是_(-2,0)_。(28). 欧拉预报-校正公式求解初值问题 ,如取步长h=0.1,计算y(0.1)的近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法(29). （1）当 ， 时，下述形式的RK公式为二阶公

26、式 (30). 欧拉预报-校正公式求解初值问题的迭代格式(步长为h) ，此方法是 2 阶方法。(31). 用Euler方法解初值问题 的近似解的最终表达式 (取步长)；当时， 。非线性方程求解例4-2 证明在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？ 解答 设，则；又因，故在0，1上单减，因此f(x)在0,1上有且仅有一个根。 使用二分法时，误差限（按例4-1的编号方式）为，解得 所以需迭代14次即可。 例4-3 求解方程的根，要求取,分别用简单迭代法、迭代法的加速方法：，以及埃特金方法求解，要求误差应满足。 解答 （1）简单迭代法。此时迭代公式为 计算结果如下：kk00.51

27、00.566 907 2 10.606 530 6110.567 277 220.545 239 2120.567 067 330.579 703 1130.567 486 340.560 064 6140.567 118 850.571 172 1150.567 157 160.564 862 9160.567 135 470.568 438 0170.567 147 780.566 409 4180.567 140 790.567 559 6此时已满足，故取。 （2）用加速技巧来做。在附近，故取，此时迭代式为计算结果如下：kk00.530.567 149 80.567 143 110.60

28、6 530 70.566 581 740.567 143 40.567 143 320.567 461 90.567 131 8此时已满足，做。 （3）用埃特金方法来做。此时迭代式为计算结果如下：k00.510.60653070.54523920.567623920.56687080.56729790.567143330.56714330.5671433此时不能再算了，因已达到精度要求，故取即可 例4-4 当R取适当值时，曲线与相切，试用迭代法求切点横坐标的近似值，要求不少于4位有效数字，也不求R。 分析 两曲线相切，在切点处曲线函数值相等，导数值相等，根据这些条件可列出切点横坐标应满足的关系

29、式，然后用迭代法求解。 解答 的导数为的导数满足，故由两曲线相切的条件，可得 即 令，则，因此在（1，2）内有根。又在（1，2）内仅有一个根，构造迭代格式取，计算结果如下：由于，故取，即可保证有4位有效数字。即两曲线切点的横坐标为1.438. 例4-5 分别用单点弦割法和双点弦割法求的根，要求。 解答 因，故没有极值点。由于，因此在（1，2）内仅有一根。 （1）用单点弦割法，迭代公式为取，计算结果如下：kk0151.3688086441261.36880804921.36842105371.36880811531.36885126381.36880810741.368803298此时，已满足精

30、度要求，故取即可 （2）若采用双点弦割法，迭代公式为 仍取，则有kk0131.3688504691241.36880810421.36842105351.368808108取，可保证。注记 本题方程为Leonardo方程。Leonardo于1225年研究了该方程，并得到了的结果，这在当时是非常重要的结果，但无人知道他是用何法而得。这时。 例4-6 用牛顿法求解Leonardo方程要求。 解答 由上题知，在（1，2）内有一个根，且，故应取，利用牛顿迭代公式计算结果如下：kk0131.36886941911.641.36880810921.38338870451.368808108,故取。 注记

31、由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言，当牛顿法中的计算量超过的计算量的44%时，双点弦割法的总计算时间较牛顿法的少，见参考文献7. 例4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）；（2）。 分析 判断方程能否用迭代法求根，最关键的是在根的附近能否满足。因此可用该条件来判断。 解答（1），对所有的x，有故能用迭代法求根。 （2）方程为。设，则，故有根区间为1,2，题中，故不能用来迭代。 把原方程改写为，此时，故可用迭代公式来求解。 例4

32、-11为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式（2），迭代公式（3），迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。 解答 取的邻域1.3,1.6来考察。 （1），故迭代公式（1）收敛。（2），故（2）也收敛。 （3），故发散。 由于越小，越快地收敛于，故取第（2）式来求根。计算结果如下：kk01.551.4662430111.4812480361.4658768221.4727057371.4657102431.4688173181.4656344641.4670479791.46559999 由于,故可取。

33、例4-15 设，证明迭代公式 是计算的三阶方法。 分析 本题应说明的极限为a，并且才行。关于第二件事也可按定理3.3来证（下文未给出该种证明）。 证明 显然，当时，。令，则 故对，即迭代收敛，设的极限为l，则有解得，由题知取。即迭代序列收敛于。故题中迭代式确是求的三阶方法。 例4-18 试给出简化牛顿公式（单调弦割法） 收敛的一个充分条件。又设f(x)在a,b内有单根x*，证明，其中。 分析 这里可看作是迭代函数为的简单迭代法。因之，可用简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。 解答 令，则（在x*的邻域内）是收敛的一个充分条件， 即 解得 因而，只要对给定的，存在,使对任何上式都能成立

34、的话，单调弦割法就收敛。再由，有介于与x*之间这样所以 例4-20 已知方程f(x)=0。 （1）导出迭代求根公式 ； （2）证明对f(x)=0的单根，（1）的公式是具有三阶收敛速度； （3）讨论在f(x)=0的重根附近，（1）的公式的收敛速度。 分析 这里要求直接导出迭代公式，故可先求出根x*的近似表达式，然后令其值为即可，为导出x*的近似表达式可考虑f(x)的泰勒展开式。想法导出所求公式。 解答 （1）设x*为f(x)=0的单根，则，不妨设在x*的邻域均有界，则令x=x*，我们有解出并乘以，得上式右端第二项所以解出，得即略去高阶无穷小，得 （2）讨论收敛速度故在单根附近，（1）的公式具有三

35、阶收敛速度。 （3）仅就二重根的情况证明之，其余类似。 利用，作泰勒展开，得于是代入、的泰勒展开式，并化简得故在重根附近，（1）中公式是线性收敛的。例7-2 已知函数方程，（1）确定有根区间a,b；（2）构造不动点迭代公式使之对任意初始近似，迭代方法均收敛；（3）用所构造的公式计算根的近似值，要求。 解 （1）令，由于，因此区间2,3是方程f(x)=0的一个有根区间，又因，当时f(x)单减，故f(x)=0在内有具仅有一根，即。 （2）将等价变形为，则，由于当时故不动点迭代法，对均收敛。 （3）取，利用进行迭代计算，结果如表7-2所示k02.512.0820849990.41791500122.

36、1246700040.04258500532.1194723870.005819761742.1200949760.000622589此时x4已满足误差要求，即。 例 7-3 考虑求解方程的迭代公式 （1）试证：对任意初始近似，该方法收敛； （2）取，求根的近似值； （3）所给方法的收敛阶是多少？ 解（1）由迭代公式知，迭代函数。由于的值域介于与之间，且故根据定理7.1,7.2知在内存在惟一的不动点x*，且对，迭代公式得到的序列收敛于x*。 （2）取，迭代计算结果如表7-3所示。表7-3k0413.5642375870.43576241323.3919951680.17224241933.35

37、41248270.03787034143.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此时已满足差要求，即 （3）由于，故根据定理7.4知方法是线性收敛的，并有有。 例7-4 对于迭代函数，试讨论： （1）当C为何值时，产生的序列收敛于； （2）C取何值对收敛最快？ （3）分别取，计算的不动点，要求 解（1），根据定理7.3当，亦即时迭代收敛。 （2）由定理7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。 （3）分别取，并取迭代计算结果如表7-4所示。 表7-4 kk01.201.211.4811.39798989961.14336958621.41

38、4120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此时都达到。事实上， 例7-5 给定初值以及迭代公式常数 证明：（1）该迭代式是二阶收敛的；（2）该迭代产生的序列收敛的充要条件是。 解（1）显然，迭代函数，且，即是的不动点。又，所以，由定理7.4知，迭代是二阶收敛的，且 （2）因，令，则然而故由此可知等价于，而又等价于，即。 注（1）的结论也可直接用二阶收敛的定义去证明，另外，本题迭代式实际上是对使用牛顿迭代法而得。 例7-8 曲线与在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，使。 解 两曲线的导数分别为和，

39、两曲线相切，导数相等，故有令，则f(1)0，故区间1,2是f(x)=0的有根区间，又当时，因此f(x)=0在1,2上有惟一实根x*，对f(x)应用牛顿迭代法，得计算公式由于，故取迭代计算一定收敛，计算结果如表7-6所示。 表7-6kk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7继续计算仍得，故。注 本题也可令，解得切点横坐标满足方程，用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2，仍取x0=2，经四步可得x*=1.7。 9. 研究求的牛顿公式证明对一切且序列是递减的。 证法一 用数列的办法。因由知，且又由故，即单减有下界。根据单调有界原理知，xk有极限。易证其极限为。 证法二 设。易知f(x)=0在0, +内有惟一实根。对f(x)应用牛顿迭代法，得利用例7-9的结论知，当时，单减有下界，且。当时，此时，从x1起，单减有下界，且极限仍为。 13. 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。 解 ，所以牛顿迭代公式有易知。故取时，迭代收敛。