轨迹方程求法及经典例题汇总.doc
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1、轨迹方程求法及经典例题汇总一、 轨迹为圆的例题:1、 必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动,求线段AB的中点M的轨迹方程:必修2课本P124B组:已知M与两个定点(0,0),A(3,0)的距离之比为,求点M的轨迹方程;(一般地:必修2课本P144B组2:已知点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数;讨论点M(,)的轨迹方程(分=1,与1进行讨论)2、 必修2课本P122例5:线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求AB的中点M的轨迹。(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段长为,在轴上截得线段长为。 (1)求圆心的的轨迹方
2、程;(2)若点到直线的距离为,求圆的方程。如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在RtABP中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在RtOAR中,|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=,代入方程x2+y24x
3、10=0,得10=0整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中,点,直线设圆的半径为,圆心在上 (1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围(2013陕西卷理20)已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹的方程;(2) 已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,若轴是的角平分线,证明直线过定点。二、 椭圆类型:3、 定义法:(选修2-1P50第3题)点M(,)与定点F(2,0)的距离和它到定直线的距离之比为,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论:当这个比例常数不是小于1,而是大
4、于1,或等于1是的情形呢?(对应双曲线,抛物线)4、 圆锥曲线第一定义:(选修2-1P50第2题)一个动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆的圆心轨迹方程。5、 圆锥曲线第一定义:点M()圆上的一个动点, 点(1,0)为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点(1,0)在圆内)6、 其他形式:(选修2-1P50例3)设点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且他们的斜率的乘积为,求点M的轨迹方程:(是一个椭圆)(讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线)(2013新课标1卷20)已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线。 (
5、1)求的方程; (2)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于两点,当圆的半径最长时,求(2013陕西卷文20)已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。(1)求动点的轨迹的方程(2)过点的直线与轨迹交于两点,若是的中点,求直线的斜率。三、 双曲线类型:8、圆锥曲线第一定义:点M()圆上的一个动点, 点(1,0)为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点(1,0)在圆外)定义法:(选修2-1P59例5)点M(,)与定点F(5,0)的距离和它到定直线的距离之比为,求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、 抛物线类型:10、定义法:(选修2-1)点M(,)与定点F(2,0
6、)的距离和它到定直线的距离相等,求点M的轨迹方程。(或:点M(,)与定点F(2,0)的距离比它到定直线的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 (1)求动点的轨迹的方程(2)过点的直线与轨迹交于两点,若是的中点,求直线的斜率已知三点,曲线上任意一点满足。(1)求曲线的方程;)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.()求曲线C1的方程;(湖北)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线i与x轴的交点,
7、点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m0,且m1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;(辽宁)如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,。点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; (四川)如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。()求轨迹的方程;()设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。1.()已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线2
8、.()设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A.B. C.D.二、填空题3.()ABC中,A为动点,B、C为定点,B(,0),C(,0),且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4.()高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.()已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,O切直线l于点A,又过B、C作O异于l的两切线,设这两切线交于
9、点P,求点P的轨迹方程.6.()双曲线=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,引A1QA1P,A2QA2P,A1Q与A2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.8.()已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点,当AOB的面积取得最大值时,求k的值.一、1.解析:|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=
10、2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析:设交点P(x,y),A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线,A2、P2、P共线,解得x0=二、3.解析:由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支,且实轴长为,故方程为.答案:4.解析:设P(x,y),依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案:4x2+4y285x+100=0三、5.解:设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|
11、+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|,故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解:设P(x0,y0)(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上,b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为:a2x2b2y2=a4(xa).8.解:(1)点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,F2PR=QPR,|F2R
12、|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线,故点F1、P、Q在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,x02+y02=a2.故R的轨迹方程为:x2+y2=a2(y0)(2)如右图,SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB当AOB=90时,SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中,AOC=45,专题一:求曲线的轨迹方程课前自主
13、练习:1如图1,中,已知,点在轴上方运动,且,则顶点的轨迹方程是图1 图2 图3 图42如图2,若圆:上的动点与点连线的垂直平分线交于点,则的轨迹方程是3如图3,已知点,点在圆上运动,的平分线交于,则的轨迹方程是4与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线方程为5如图4,垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、,点在轴上,且点满足,则线段的中点的轨迹方程是几种常见求轨迹方程的方法:1直接法:由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤:建系设点列式代换化简检验;【例1】(1)求和定圆的圆
14、周的距离等于的动点的轨迹方程;(2)过点作圆:的割线,求割线被圆截得弦的中点的轨迹解:(1)设动点,则有或即或故所求动点的轨迹方程为或(2)设弦的中点为,连结,则,化简得:其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧(不含端点)【例2】已知直角坐标平面上一点和圆:,动点到圆的切线长等于圆的半径与的和求动点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线解:如图,设切圆于,又圆的半径,由已知设,则,即可化为故所求的轨迹是以点为中心,实轴在轴上的双曲线的右支,顶点为,如图【例4】已知定圆的半径为,定点与圆的圆心的距离为又一动圆过定点,且与定圆相切求动圆圆心的轨迹方程解:以所在的直线为轴,以的中点为原点建立坐标系,如图当动圆
15、与定圆外切时,;当动圆与定圆外切时,由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线(外切时为右支,内切时为左支)显然,又,故所以所求的点轨迹方程是:3动点转移法:若动点随已知曲线上的点的变动而变动,且、可用、表示,则将点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点的轨迹方程这种方法称为动点转移法(或代换法或相关点法)【例5】已知定点、为抛物线,上任意一点,点在线段的中点,当点在抛物线上变动时,求点的轨迹方程解:设点,且设点,则有点是线段的中点由中点坐标公式得:,将此式代入中,并整理得:,即为所求轨迹方程它是一条抛物线4待定系数法:当动点的轨迹是确定的某种曲线时,设出这种曲线的方程,然后列方程,求
16、出所设的参数,进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点,又直线被双曲线截得的线段长等于,求此双曲线方程解:设所求双曲线方程为,将代入整理得:抛物线和双曲线仅有两个公共点,根据它们的对称性,这两个点的横坐标应相等,因此方程应有等根,即由和得:由弦长公式得:即由得:,双曲线的方程是5参数法:当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量,并用表示动点的坐标、,从而动点轨迹的参数方程消去参数,便可得到动点的的轨迹的普通方程,但要注意方程的等价性,即有的范围确定出、的范围【例8】抛物线的焦点为,过
17、点作直线交抛物线于不同两点、,以、为邻边作平行四边形,求顶点的轨迹方程解:设,:,中点为,与联立得:,为中点,消得:巩固练习:1平面上和两相交的定圆(半径不等)同时相外切的动圆圆心的轨为()(A)椭圆的一部分(B)椭圆(C)双曲线的一部分(D)双曲线2已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大,则动点的轨迹()(A)抛物线(B)抛物线的一部分(C)抛物线和一射线(D)抛物线和一直线3已知定直线和外一点,过与相切的圆的圆心轨迹是()(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)直线4一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心轨迹为()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线5已知椭圆的焦点是、是椭圆上的一个
18、动点如果延长到,使得,那么动点的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线6已知点、,动点满足,则点的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线7与圆外切,又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是()(A)(B)和(C) (D)和8过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、,则线段中点的轨迹方程为()(A)(B)(C)(D)9过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)10已知两点、,点为坐标平面内的动点,满足,则动点的轨迹方程为()(A)(B)(C)(D)11与双曲线有共同的渐近线,
19、且经过点的双曲线方程是()(A)(B)(C)(D)12设为双曲线上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的轨迹方程是13已知,是圆:(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为14倾斜角为的直线交椭圆于、两点,则线段中点的轨迹方程是15求焦点在坐标轴上,中心在原点且经过和两点的椭圆方程16已知双曲线与椭圆共焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程是17已知是椭圆上的任意一点,从右焦点作的外角平分线的垂线,垂足为,求点的轨迹方程18如图,直线:与直线:之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为(1)分别用不等式组表示和;(2)若区域中的动点到,的距离之积等于,
20、求点的轨迹的方程;19设椭圆方程为,过点的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程20过双曲线:的左焦点作直线与双曲线交于、两点,以线段、为邻边作平行四边形,求顶点的轨迹方程21设点和为抛物线上原点以外的两个动点,已知,求点的轨迹方程,并说明它表示什么曲线(一)求轨迹方程的一般方法:1. 定义法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。 2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立
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